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=6（天）

答略。

*例2生产350个零件，李师傅14小时可以完成。

如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成。

如果小王单独做这批零件，需多少小时？

题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。

李师傅1小时可完成：

350÷

14=25（个）

由“如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成”可知，李师傅和徒弟小王每小时完成：

10=35（个）

小王单独工作一小时可完成：

35-25=10（个）

小王单独做这批零件需要：

10=35（小时）

（350÷

10-350÷

14）

=350÷

（35-25

10

=35（小时）

*例3把生产2191打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。

甲组每小时生产毛巾128打，乙组每小时生产毛巾160打。

乙组生产2小时后，甲组也开始生产。

两组同时完工时超产1打。

乙组生产了多长时间？

两组共同生产的总任务是：

2191-160×

2+1=1872（打）

两组共同生产的时间是：

1872÷

（160+128）=6.5（小时）

乙组生产的时间是：

6.5+2=8.5（小时）

（2191-160×

2+1）÷

（160+128）+2

=1872÷

288+2

=6.5+2

=8.5（小时）

1、筑路队疾患修筑一条长2400米的公路，甲队单独做需要20天完成，乙队单独需要30天完成。

如果两队同时开工共同修筑，只需几天就可以完成？

2、甲、乙两个工程队合修一条长42千米的水泥路，甲队每天修0.5千米，比乙队的2倍多0.1千米。

（1）乙队每天修多少千米？

（2）两队合修多少天可以修完？

3、红星服装厂计划生产2800套夏季学生服，已经生产了5天，每天生产80套，剩下的20天完成，平均每天要生产多少套？

4、王师傅加工一种零件，由原来的每个用12分钟降低到每个8分钟，原来每天加工300个，现在每天加工多少个？

5、用两台机器生产108个齿轮。

第一台4.5小时能生产18个，第二台1.6小时能生产8个。

两台机器一同生产一段时间以后，还剩45个。

两台机器一同生产了多少小时？

二、工作总量不是具体数量的工程问题

工程问题方法总结

一：

基本数量关系：

　　工效×

时间=工作总量

二：

基本特点：

　　设工作总量为“1”，工效=1/时间

三：

基本方法：

　　算术方法、比例方法、方程方法。

四：

基本思想：

　　分做合想、合做分想。

五：

类型与方法：

　　一：

分做合想:

1.合想,2.假设法,3.巧抓变化（比例）,4.假设法。

等量代换：

方程组的解法→代入法，加减法。

按劳分配思路：

每人每天工效→每人工作量→按比例分配　　

休息请假：

方法：

1.分想：

划分工作量。

2.假设法：

假设不休息。

休息与周期：

1.已知条件的顺序：

①先工效，再周期，②先周期，再天数。

2..天数：

①近似天数，②准确天数。

3.列表确定工作天数。

六：

交替与周期：

估算周期，注意顺序！

七：

注水与周期：

1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。

八：

工效变化。

九：

比例：

1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想（周期）。

十：

牛吃草问题：

1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。

工程问题

.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也　　

需时间是　　

因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.　　

两个人的问题　　

标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.

（一）两个人的问题

例1．1一件工作，由A做20天完成，B做15天完成。

（1）两队合做5天可以完成工程的几分之几？

（2）两队合做6天，还剩下工程的几分之几？

（3）两队合做几天完成？

（1）

（2）

（3）

答：

（1）两队合做5天可以完成工程的

。

（2）两队合做6天，还剩下工程的

（3）两队合做8

天完成。

【解析】

此题是工作效率问题。

A用20天完成，总工程是“1”，所以甲队的工作效率是

，乙对的工作效率是

问题

（1）要求完成的工程量，用工作效率×

工作时间；

问题

（2）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用总工程量“1”减去已做工程量；

问题（3）要求完成时间，用总工程量“1”÷

总工效。

例1.2、一工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，现在甲、乙做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？

解：

答：

乙需要做1天可以完成全部工作。

要解决此题，就要清楚此工程的过程，此工程是甲和乙完成一件工作，先是甲和乙一起做，之后转由乙单独完成，求的是乙单独完成剩下的工作时间。

总工程是“1”，就可以知道：

甲的工作效率是

求乙单独完成剩下的工作时间，还需要知道乙的工作总量，乙的工作总量=1-甲乙一起3天做的工作量。

甲和乙3天的工作总量：

工作时间＝工作总量

，

剩下：

乙完成剩下的工作时间：

利用工作总量÷

工作效率＝工作时间

练习一

1、一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做16天完成。

甲、乙两队合做，多少天可以完成？

（适于六年级程度）

把这项工程的工作总量看作1。

甲队单独做24天完成，做1天完成

2、一项工程，由甲工程队修建需要20天，由乙工程队修建需要30

把这项工程的工作总量看作1，由甲工程队修建需要20天，知甲工

3、一项工程，甲、乙合做5天可以完成，甲单独做15天可以完成。

乙单独做多少天可以完成？

把这项工程的工作量看作1。

甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合

需要多长的时间。

=7.5（天）

乙单独做7.5天可以完成。

例2.1：

一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。

现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？

解一：

把这件工作看作1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做3天完成的1/3。

乙每天可完成这件工作的六分之一，（1-1/3）÷

1/6=4（天）　　

乙需要做4天可完成全部工作.　　

解二：

9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是　　

（18-2×

3）÷

3=4（天）.　　

解三：

甲与乙的工作效率之比是　　

6∶9=2∶3.　　

甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.　　

练习二

1、一项工程，甲独做需15天，乙独做需12天，现在甲乙合作若干天后，乙再接着做3天，就完成了全部工程，问甲乙合作了多少天？

2、一项工程，甲队单独做需20天完成，如果甲乙合作12天可以完成，如果乙队单独做，多少天可以完成？

●例3.1：

一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

共做了6天后，　　

原来，甲做24天，乙做24天，　　

现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.　　

这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率　　

如果乙独做，所需时间是50天　　

如果甲独做，所需时间是75天　　

甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.　　

练习三

1、甲乙两人合作生产一批零件，6天可以完成任务，甲先做5天，因有事外出，这时只完成任务的

，如果接下来由乙完成，还需要多少天？

2、一批零件，先由20人生产了10天完成任务的

，余下的工程要提前10天完成，还要增加多少人？

3、甲乙二人合作一批零件需20天，甲比乙多做了这批零件的1/9，甲单独做需多少天完成？

4、一项工程，甲乙两队需10天完成，甲乙两队合作了几天，因乙队有事调离，由甲队又干了8天，又知甲队独做需20天完成，问甲、乙两队合干了多少天？

例4.1：

一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？

　　解一：

甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量　　

余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是　　

2+8+1=11（天）.　　

从开始到完工共用了11天.　　

设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作　　

（30-3×

8-1×

2）÷

（3+1）=1（天）.　　

甲队做1天相当于乙队做3天.　　

在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-8=2（天）工作量.相当于乙队要做2×

3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.　　

4=3+1，　　

其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.　　

解四：

分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休息.）　　甲队每天工作量为1/10，乙为1/30，因为甲休息了2天，而乙休息了8天，因为8>

2，所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。

那么甲开始工作时，乙还要休息：

8-2=6（天）那么这6天内甲独自完成了这项工程的1/10×

6=6/10，剩下的工作量为1-6/10=4/10，而这剩下的4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10需要甲乙合作：

（4/10）÷

（1/10+1/30）=3天。

所以从开始到完工共需：

8+3=11（天）　　

●例4.2：

一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？

如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是（1÷

20）×

16+（1÷

30）×

16=4/3　　

由于两队休息期间未做的工作量是4/3-1=1/3　　

乙队休息期间未做的工作量是

1/3-1/20×

3=11/60　　

乙队休息的天数是11/60÷

（1/30）=11/2　　

乙队休息了5天半.　　

设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.　　

两队休息期间未做的工作量是　　

（3+2）×

16-60=20（份）.　　

因此乙休息天数是　　

（20-3×

2=5.5（天）.　　

甲队做2天，相当于乙队做3天.　　

甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.　　

如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是　　16-6-4.5=5.5（天）.　　

练习四

1、一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？

2、加工一批零件，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，现在两人合作完成，中间甲休息了2.5天，乙休息了若干天（两人没有同事休息一天），这样共用14天完工，问乙休息了多少天？

3、一件工作，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要10天完成，现在甲乙合作8天完成任务，已知这段时间甲休息了2天看，那么乙休息了多少天？

4、一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要8天完成，现在两人合作，中途休息了2天，乙没有休息，完成这件工程共用了多少天？

例题5一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的

，乙队单独完成全部工程需要几天？

【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是

，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量

－

×

3＝

，从而求出甲队的工作效率。

所以

1÷

【

－（

3）÷

（5－3）】＝20（天）

乙队单独完成全部工程需要20天。

练习五

1、师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。

师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着做1天，共完成任务的

如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？

2、某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的

如果这项工程由甲队独做2天，再由乙队独做3天，能完成全部工程的

甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

3、甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。

先由甲队独做8天，再由乙队独做12天，还剩这项工程的

甲、乙两队独做各需几天完成？

例题6

一项工程，甲队独做12天可以完成。

甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的

现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。

做完后发现两段所用时间相等。

求两段一共用了几天？

【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：

（

2＝

；

再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。

（1）乙队每天完成这项工程的

（

（2）两段时间一共是

2+

）×

2＝6（天）

两段时间一共是6天。

练习六

1、一项工程，甲队独做15天完成。

若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的

现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。

做完后发现，两段时间相等。

这两段时间一共是几天？

2、一项工程，甲、乙合做8天完成。

如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成任务时发现乙比甲多了3天。

乙独做这项工程要几天完成？

3、某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。

这件工作先由甲做了若干天，再由乙接着做；

乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2倍。

终于完成了这一工作。

问总共用了多少天？

（二）、多人的工程问题

例1.一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成，问甲一人独做需要多少天完成？

（天）

独做完成，甲需90天，乙需60天，丙需180天。

此题有别与以上3题，是要对工作效率更深刻的理解，寻找数学量之间的关系。

1、有一项工程，甲队独做需8天，乙队独做需10天，丙队独做需20天，现在由丙队先独做9天后，再由甲乙合作，问再需多少天可以完成？

2、一项工程，甲乙两人合作8天完成，乙丙两人合作9天完成，甲丙两人合作18天完成，如果丙一人来做，完成这项工程需要多少天？

3、一项工程，甲乙两人合作8天完成，乙丙两人合作6天完成，丙丁两人合作12天完成，那么甲丁两人合作多少天可以完成？

4、一项工程，甲乙两人合作6天完成，乙丙两人合作9天完成，甲丙两人合作15天完成，现在甲乙丙三人合作需多少天？

5、生产一批零件，甲乙两人合作12小时完成，乙丙两人合作15小时完成，甲丙两人合作20小时完成，现在甲乙丙三人合作需多少小时？

6、某工程如果由甲乙丙合作18天完成，有乙丙丁队合作15天完成，由甲乙丁队合作12天完成，有甲丙丁队合作20天完成，由甲队单独做需要多少天完成？

例题2。

一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。

如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的

如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的

如果由甲、丙合做，需几小时完成？

【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的

”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的

”，则求出甲的工作效率。

同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。

甲每小时完成这项工程的几分之几

2）÷

（6－2）＝

丙每小时完成这项工程的几分之几

（6－3）＝

甲、丙合做需完成的时间为：

+

）＝7

（小时）

甲、丙合做完成需要7

小时。

练习二

1、一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。

如果甲做4小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的

如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的

这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？

2、一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。

现在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。

乙独做这项工程要几天就可以完成？

3、一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。

现在甲、乙、丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做5

乙队单独做这项工程需多少天可以完成？

4、一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。

现在由甲、丙合做2小时后，余下的由乙6小时完成。

乙独做这件工作需几小时才能完成？

例题3。

一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。

先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。

如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？

【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。

”就可以求出丙队的工作效率。

丙队每天修这条公路的

【1－（

）】×

（4+7）＝

三队合修完成时间为

）＝10（天）

10天可以完成。

1、一件工作，甲单独做12小时完成。

现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。

这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？

2、一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。

现在两队合挖8天，剩下的由丙队加入一起挖，又用12天挖完。

这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？

3、一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。

如果甲、丙合做3天后，由乙单独做，还要9天才能完成。

如果全部工作由3人合做，需几天可以完成？

4、一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，两队又合做了12天。

这时甲队调走，乙队又继续做了15天才完成。

甲队独做这项工程需要多少天？

综合练习

1、一项工程，甲、乙两人合做，10天完成；

乙、丙两人合做，15天完成；

甲、丙两人合做，18天完成。

甲、乙、丙独做，各需多少天完成？

2、一项工作，甲单独做8小时完成。

现在甲、乙合做3小时后，乙又用5小时才完成。

这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成。

3、一项工程，甲、乙合做8天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。

现在先由甲、乙、丙合做2天后，余下的乙再做4天则可以完成。

4、一项工作，甲、乙、丙三人合做4小时可以完成。

甲工作3小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的

如果甲、乙合做1小时后，丙做4小时，也可以完成这项工作的