正态分布及其应用.pdf

资源描述

正态分布及其应用.pdf

《正态分布及其应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正态分布及其应用.pdf（15页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

正态分布及其应用.pdf

13955236046,Email:

1正态分布及其应用安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌一一.随机变量及及其其分分布布（RandomvariableandDistribution）定定义义1.1设E是随机试验，它的样本空间为=为基本事件，对每一个样本点即基本事件，都对应一个实数X（），对于任意实数x，集合|X（）x有确定的概率则称X（）为随机变量，简记为X。

随机变量按其取值情况可以分为两类：

离散型与非离散型，常见非离散的连续型。

定定义义1.2设X为离散型随机变量，它的所有可能取值为x1,x2,，xk，（有限个或可列无限个），X取值为xk的概率记为）.,3,2,1（,L=kpxXPkk（2.1）称（2.1）式为随机变量X的概概率率分分布布或分分布布律律（Lawofdistribution），简称（2.1）式为X的分分布布。

定定义义1.3设X是随机变量，任意给定实数x，记事件xX的概率为）（xXPxF=（2.4.1）则F（x）为实值函数，称F（x）为X的分分布布函函数数（distributionfunction）。

随机变量X的分布函数）（xF具有如下性质：

（1）单调非降性；

（2）规范性；（3）右连续性。

定定义义1.4设设随机变量X的其分布函数为F（x），若存在非负可积函数f（x），使得对于任意实数x,有=xdttfxXPxF）（）（3.1）则称X为连续型随机变量，称f（x）为X的概概率率密密度度函函数数（Densityfunctionandnature），简称概概率率函函数数或密密度度函函数数，记为Xf（x），读作X服从以f（x）为概率密度函数的随机变量。

X的概率密度函数f（x）具有两条基本性质：

（1）非负性；

（2）完备性。

13955236046,Email:

2二、正态分布（Normaldistribution）1一般正态分布定定义义2.1如果连续型随机变量X的密度函数为）,（,21）（22）（21+为常数，则称X服从参数为和2的（一般）正正态态分分布布或或高高斯斯分分布布（NormaldistributionorGaussdistribution），记作）,（2NX。

能够验证（2.1）式满足密度函数的两条性质，即

（1）0）（xf；

（2）1）（=+dxxf。

正态分布的密度函数f（x）的图形称为正正态态概概率率曲曲线线（如图3-6），其特征为：

（1）曲线为钟形，关于直线x=对称；在图形上横坐标为=x的点是曲线的拐点。

（2）当x=时，f（x）取最大值21）（=f，习惯上称此值为图形峰值。

（3）曲线以x轴为水平渐近线；（4）若参数固定，曲线的形状随的不同而变化，越大，峰值越小，图形也就越平坦，越小，峰值越大，图形也就越陡峭。

（5）若参数固定，则曲线随参数的不同沿x轴方向左右平移。

称为位置参数（ParametersPosition）。

13955236046,Email:

32.标准正态分布（Standardnormaldistribution）定定义义2.2在在正态分布）,（2N中，若参数,1,0=则称此正态分布为标准正态分布，记为）1,0（N。

通通常常，设）1,0（NX，则X的密度函数记为）,（,21）（22+0是常数）：

（1））

13955236046,Email:

（2））（aaXP=；（3））（11aaXPaXP=；（4））（）（abbXaP=；（5）1）

（2）（）（|=0的情形，x0是常数）

（1）（=aaXPaXP（3.13）

（2）（）（=abbXaP（3.14）（3）1）（2|=ccXP（3.15）4.正态分布的3原则若）,（2NX，则;9973.0199865.021）3（23|;9545.0197725.021）2（22|;6828.018413.021）1（2|=XPXPXP结果表明X取值于区间）3,3（+内的概率达99.73%。

13955236046,Email:

55.正态分布的期望与方差定定义义4.1设X为离散型随机变量，其分布律为）,3,2,1=（,=LkpxXPkk若级数1=iiipx绝对收敛，则称1=2211=+iiinnpxpxpxpxLL（5.1）为X的数学期望，简称为期望，记为E（X）。

定定义义4.2设连续型随机变量X的密度函数为f（x），若反常积分+dxxxf）（绝对收敛，则称该积分为X的数数学学期期望望，记记为）（XE，即+=dxxxfXE）（）（。

（5.2）若反常积分+dxxxf）（不绝对收敛，则称X的期望不存在。

（1）正正态态分分布布的的期望设）,（2NX，则=）（XE。

13955236046,Email:

6=+=+=+）（212121）（21）（21）（）（22222222222）（22）

（2）

（2）（xtdxedttedxedxexdxexdxxfxXExtxxx其中分项积分可见，正态分布）,（2N中的参数正是其数学期望。

（2）正正态态分分布布的的方方差差定定义义4.3设X是随机变量，若2）（XEXE存在，称2）（XEXE为X的方差，记作D（X），即2）（）（XEXEXD=。

方差的简化计算公式22）（）（）（XEXEXD=正正态态分分布布的的方方差差：

设）,（2NX，则2）（=XD。

这因为.22|）（2221）（）（）（222222222）（2222=+=+dteetxtdtetdxexxEXEXDtttx表明正态分布中的参数2正是其方差。

13955236046,Email:

76.正态分布的性质

（1）（线线性性性性质质）若）,（2NX，令baXY+=（其中ba,0为常数），则）,（22abaNY+。

（2）（平平方方性性质质）若）1,0（NX，则）1（22X。

（3）（分分布布的的可可加加性性）若X与Y相互独立,且）,（）,（222211NYNX则）.（2221,21+=NYXZ（4）（线线性性组组合合性性质质）若nXXX,21相互独立，且,2,1）,（2nkNXkkk=则）.,（12211=nkkknkkknkkkaaNXaZ（5）（平平均均值值性性质质）若nXXX,21相互独立，且,2,1）,（2nkNXk=则）.,（121nNXnnkk=7.抽样分布定理

（1）（卡卡方方分分布布的的生生成成性性）设设）1,0（NXi，且且）,2,1（niXiL=相相互互独独立立，则则）（212222212nXXXXniin=+=L。

13955236046,Email:

8（）211221,nnFYnXnnYnXF=.（4）（抽抽样样分分布布的的基基本本定定理理）设设总总体体）,（2NX，）,（21nXXXL为为取取自自该该总总体体的的样样本本，则则1）样样本本均均值值）,（2nNX；2）为样本方差其中221222）,1（）（）1（SnXXSnnkk=；3）相互独立与2SX.（5）设设nXXX,21L为为来来自自总总体体）,（2N的的样样本本，则则统统计计量量）1（=ntnSXT.8.中心极限定理

（1）（林林德德贝贝格格-勒勒维维（Lindeberg-Levy）定定理理）设相互独立的随机变量LL,21nXXX服从同一分布，且）,2,1（0）（,）（2L=iXDXEii则对于任意x，随机变量nnXYnkkn=1的分布函数）（xFn趋于标准正态分布函数）（x，即有）（21lim）（lim22xdtexYPxFxtnnnn=

13955236046,Email:

9时，1）=nkkXX1近似服从正态分布）,（2nnN；2）=nkkXn11近似服从正态分布）,（2nN。

（3）（二二项项分分布布的的极极限限分分布布）设随机变量）10）（,（ppnbX的二项分布，则对于任一实数x，恒有=xtndtexpnpnpXP2221）1（lim.特别地，有近似计算公式（）=npqnpknpqnpknpqnpknpqnpXnpqnpkPkXkPenpqkXPnpqnpk1221212;212其中pq=1。

9.典型例题例例1.若随机变量2

（2）XN，且PX.2403=，则=2XP；PX4XP。

解：

由正态分布的对称性，得=2XP0.5；PX4XP0.2。

例例2已知随机变量且X与Y相互独立，设随机变量，则Z。

解：

由正态分布的可加性与线性性，得）5,2（NZ。

例例3设X服从标准正态分布，其密度函数为（）x，分布函数为）（x，则对任意实数a有（B）。

13955236046,Email:

10（）A=adxxa0）

（1）（）B=adxxa0）（21）（）C）（）（aa=（）D1）

（2）（=aa例例4设X和Y相互独立，且均服从）1,0（N，则（A）（A）2/10=+YXP（B）2/11=+YXP（C）2/11=YXP（D）A、B、C都不对。

例例5在电源电压不超过200，200240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压）25,220（2NX，试求

（1）该电子元件被损坏的概率;

（2）电子元件被损坏时，电源电压在200240伏内的概率。

（提示：

788.0）8.0（=）解：

设A1-“电源电压不超过200伏”；A2-“电源电压在200240伏”；A3-“电源电压超过240伏”；B-“电子元件被埙坏”。

13955236046,Email:

11例例6设X的概率密度为（），则=EX1；=DX1/2。

解：

）2/1,1（,2121）（212）1（2NXexfx=Q例例7设）2,1（2NX，）1,0（NY，且相互独立，则=2EX；若YXZ+=2，则:

=EZ；=DZ。

若YXZ=2，则:

=EZ；=DZ。

例例8已知rvX、Y分别服从正态分布）3,0（2N和）4,2（2N，且X与Y的相关系数XY=12/，设ZXY=+/32，求：

（1）数学期望EZ，方差DZ；

（2）X与Z的相关系数XZ。

解：

（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得EZ1221031）2（）3（）23（=+=+=+=YEXEYXEDZ=+=+DXYDXDYXY（）（）（）（）3232232Cov，DYDXDYDXXY21312213122+=324143）21（213124213312222=+=+=

13955236046,Email:

12值，0已知，记2121）（11XXnSnii=，2122）（1XXnSnii=，则服从自由度为1n的t分布统计量是（B）。

）（A1/10=nSXT）（BTXSn=21/）（CnSXT/20=）（DnSXT/10=例例10设243221）43（）2（XXbXXaX+=，其中4321XXXX，是来自总体）20（2，N的简单随机样本。

试问当a、b各为何值时，统计量X服从2分布，并指出其自由度。

解：

依题意，要使统计量X服从2分布，则必需使）2（212/1XXa及）43（432/1XXb服从标准正态分布。

由相互独立的正态随机变量的性质知）164（0（）2（212/1aaNXXa+，从而解得=a1/20。

）6436（,0（）43（432/1bbNXXb+从而解得=b1/100。

故=a1/20，=b1/100时，统计量X服从2分布。

且自由度为2。

例例11某单位招聘2500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10000人报名，假设报名者的成绩）,（2NX，已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问被录用者中最低分为多少？

分析：

已知成绩）,（2NX，但不知、的值，所以，本题的关键是求、，再进一步根据正态分布标准化方法进行求解.解：

根据题意：

13955236046,Email:

139641.0）90（9090=XPXP，反查标准正态分布表，得：

8.190=

（1）同样，1151.010000115160=XP，而1151.0）60（606060=XPXPXP，通过反查标准正态分布表，得：

2.160=

（2）由

（1）、

（2）两式解得：

10,72=，所以）10,72（2NX；已知录用率为25.0100002500=，设被录用者中最低分为0x，则75.0100=xXPxXP，而75.0）1072（10721072000=xxXPxXP，反查标准正态分布表，得：

675.010720x，解得：

75.780x故：

被录用者中最低分为79分.例例12设随机变量X服从正态分布）,（2N，求随机变量函数XeY=的概率密度.分析：

由于函数xey=在）,（+上单调增加，且可导，故可按公式法求Y的概率密度.解：

由+=xey，所以Y的取值区间为）,0（+.当0y时，0）（=yfY；当0y时，有反函数yxln=，从而22222）（ln2）（ln21121）（=yyYeyyeyf，由此得随机变量Y的概率密度为：

13955236046,Email:

14=0,00,21）（222）（lnyyeyyfyY.例例13设）,（2NX，）,（2NY，且YX、相互独立，试求YXZ+=1和YXZ=2的相关系数.、为不等于零的常数.分析：

求函数的数字特征，可有以下三种方法：

（1）先求函数的概率分布，再依公式计算数字特征；

（2）直接依随机变量函数数字特征的公式计算；（3）利用数字特征的有关定理计算.解：

）,cov（）,cov（）,cov（）,cov（221YXYXYXYXZZ=+=222222）（）（）（）,cov（）,cov（=+YDXDYXYX；而）（）（）（222221ZDYXDZD=+=+=，所以2222222222）（）（21+=+=ZZ.例例14某运输公司有500辆汽车参加保险，在一年里汽车初事故的概率为0.006，参加保险的汽车每年交800元的保险费.若出事故，保险公司最多赔偿50万元，计算保险公司一年收入不小于20万元的概率？

13955236046,Email:

15（）（）7781.019591.07190.0737.1579.0982.23982.21982.234982.23982.23040=+=XPXP可见，保险公司在一年里赚钱不小于20万元的概率为0.7781.例例15设）,（2NX，nXXX,21L是取自总体的简单随机样本，X为样本均值，2nS为样本二阶中心矩，2S为样本方差，问下列统计量

（1）22nnS，

（2）1/nSXn，（3）212）（=niiX各服从什么分布？

分析：

利用已知统计量的分布进行分析.解：

（1）由于）1（）1（222nSn，又有21221）（1SnnXXnSniin=22）1（SnnSn=，因此）1（222nnSn；

（2）由于）1（/ntnSX，又有1=nSnSn，因此）1（1/ntnSXn；（3）由）,2,1）（,（2niNXiL=得：

）,2,1）（1,0（niNXiL=，由2分布的定义得：

）（）（2212nXnii=.

展开阅读全文