分离参数还是分类讨论.pdf

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重点辅导国家实际上是放大了的家庭四川张勇喻良刚当时，不等式（）或（）恒成立，这是一类恒成立问题，解决这类问题的一般方法是将问题转化为（）或（）若函数（）的解析式中含有参数，则（）的最大（小）值求解会比较烦琐，较常用的方法是对参数进行分类讨论，或是通过代数变形将参数与变量分离出来再进行求解，以下举例分析，以比较其方法的优劣例若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围方法分类讨论设（），则问题等价于（）若，即，则（）在区间，上单调递增，所以（）（），令，解得；）若，即，则（）在区间，上先减后增，（）（），令，解得槡；）若，即，（）在区间，上单调递减，（）（），令，此时无解综上所述，实数的取值范围是槡方法分离参数因为，所以不等式等价于易知函数在区间，槡上单调递减，在区间槡，上单调递增，故（）槡，所以实数的取值范围是槡在该例中，分离参数的方法体现出了较大的优势，通过对参数与变量的分离，转化成了求函数的最值，从而避免了烦琐的分类讨论但我们应注意到，该方法并不是万能的，本题若将区间，改为，对方法没有任何影响，但方法将变得非常困难，需要对的符号进行分类讨论，其简洁的优势将不复存在例已知函数（）（），（）（），（）若关于的不等式（）的解集为，求实数、的值；（）若，（）（）成立，求实数的取值范围（），（过程略）（）方法由（）（）知（）（）易知时，所以（），令（）（）（），则只需（）因为（）（）（）（）（），令（）（）（），则（）（）且（），所以当时，（），所以（），从而（）在区间（，）上单调递增，所以（），即实数的取值范围是（，方法令（）（）（）（）（）（），问题等价于（）因为（）（）（），要判断（）的符号需进行较复杂的分类讨论，难度较大为减少分类讨论的次数，先通过取特殊值成立，以缩小参数的取值范围当时，不等式成立，即，所以记（）（），则（）为开口向下的二次函数，对称轴为轴且（）（），所以（）恒成立，从而（）在（，）上单调递减，由（），所以的取值范围是（，本题按方法，同学得到（）（）（）（）（）后，面对如此ChaoXing重点辅导题诗寄汝非无意，莫负青春取自惭复杂的式子很难有勇气再继续讨论下去；按方法，若不取特殊值，先得到的一个必要条件，则对（）（）的讨论将会非常复杂例已知函数（）（）若，时，（）恒成立，求实数的取值范围要使得，时，（）恒成立，一方面可以求出（）在区间，上的最大值，再解不等式（）；另一方面可以先将参数分离出来，将（）变形为，再求函数（），（，的最小值方法当时，不等式成立；当（，时，由于，不等式（）等价于令（），（，则问题等价于（）因为（）（）（）（），令（）（）（），（，则（）在区间（，上单调递增因为（），所以，当（，时，（），从而（），所以（）在区间（，上单调递增，但问题在于时（）无意义，（）无法求出要想解决问题，必须用洛必达法则，（）（），但这已超出了学生的知识范围，学生面对该问题是没有办法解决的以下看方法方法对（）求导，有（）设（），则（）在区间，上单调递减又（），（）若，则，时，（），（）单调递减，（）（），满足题意，所以若，则，时，（），（）单调递增，（）（），令（），得，矛盾若，则（，），使（）在区间（，）上单调递增，（，）上单调递减，则（）（）（），不满足题意综上，实数的取值范围是例（年全国卷）设函数（）（）（）若，求（）的单调区间；（）若当时，（），求实数的取值范围（）易知（）在（，），（，）上单调递增，在（，）上单调递减（）方法当时，（），满足题意；当时，（），即令（），则原不等式等价于（）（）（），令（）（），则（），又（），所以当时，（），即（），所以（）在（，）上单调递增但（）无意义，方法失效方法（），即，令（），则（）若，则时，（）恒成立，所以（）在（，）上单调递增，而（），所以当时，（），即（）；若，则（，）时，（），（）单调递减，而（），从而当（，）时，（），即（）综上所述，实数的取值范围是（，从例、例可以看出，分离参数的方法尽管可以转化为一个具体函数的最值问题，但可能出现最值点不存在的情况，需要用到高等数学中的洛必达法则才能解决，这已经超出了我们的知识范围所以尽管分离参数的方法在多数恒成立问题的解决中具有优势，但不可盲目运用，需根据具体情况具体分析，对参数进行分类讨论也是解决问题的重要方法例（年全国卷）设函数（）（）（）（）求（）的解析式及单调区间；（）若（），求（）的最大值（）由已知得（）（）（）所以（）（）（），即（）又（）（），所以（）从而（）由于（），故当（，）时，（）；当（，）时，（）从而，ChaoXing重点辅导人所缺乏的不是才干而是志向，不是成功的能力而是勤劳的意志（）在（，）单调递减，在（，）单调递增（）由已知条件得（）若，则对任意常数，当且时，可得（），因此式不成立）若，则（）若，设（）（），则（）（），当（，（）时，（）；当（），）时，（）从而（）在（，（）单调递减，在（），）单调递增，故（）有最小值（）（）（），所以（）等价于（）（）所以（）（）（）（）设（）（）（）（），则（）（）（）所以（）在（，）单调递增，在（，）单调递减，故（）在处取得最大值从而（），即（）当，时，式成立，故（）综上，（）的最大值为櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒毃毃毃毃链接练习已知（）（），（），且直线与曲线（）相切（）求实数的值；（）若对，）内的一切实数，不等式（）（）恒成立，求实数的取值范围已知函数（）（）在处的切线斜率为，其中是自然对数的底数（）求的值及（）的最小值；（）当时，（）成立，求实数的取值范围链接练习参考答案（）；（）（），（）；（）（作者单位：

四川省双流县棠湖中学）甘肃何芳含参型导数问题所涉及的知识面广，具有很强的综合性及较高的逻辑性，在高考中备受命题者青睐从近年高考试题看，其中大部分判断函数单调性时涉及参数分类讨论其分类标准通常由系数不同、判别式不同、导函数零点大小不同、导函数零点与给定区间的位置不同等决定，本文以利用导数法判断函数单调性问题中所涉及的分类讨论，举例说明导函数是否存在零点导函数的零点通常为函数单调性的分界点进而函数的单调性问题就转化为导函数零点的存在问题但参数的存在决定了零点存在的不确定性例设函数（）（）当时，求函数（）的单调区间由题意知（）当时，方程的判别式（）当时，有，即槡时，（）恒成立，这时（）在上单调递增；）当时，有，即槡，令（），解得槡，槡且，所以函数（）在区间（，槡）和（槡，）单调递增，在区间（槡，槡）单调递减对于可导函数（），（）是在处取得极值的必要非充分条件，解题时要注意检验（）在附近的符号，如函数（），在时，有（），根据（）在（，）上为增函数可知，不是函数（）的极值点所以（）的极值点，只有（）这个条件还不够，还要考虑是否满足（）在的两侧异号本题导函数为二次函数型，则导函数零点的存在问题转化为二次函数根的存在问题，若二次项系数为，则转化为一次函数零点问题；若二次项系ChaoXing