欠采样频率估计方法.pdf

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欠采样频率估计方法王洪洋，廖桂生，吴云韬（西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室，陕西西安710071）摘要：

基于时延和旋转不变子空间技术（ESPRIT），本文提出了一种新的欠采样宽频带信号频率的高分辨估计方法.文中，欠采样所引入的频率模糊由增加的延迟通道提供的信息加以消除，并提出了相应的频率解模糊算法.为进一步降低运算量，文中给出了该频率估计方法的简易算法，增强了方法的实用性.文末推导给出频率估计的CRLB，并通过数值仿真实验验证了本文算法的有效性.关键词：

宽频带；欠采样；频率模糊；简易算法中图分类号：

TN911.7文献标识码：

A文章编号：

0372-2112（2004）12-1978-04FreguencyEstimationwithSub-nyguistSamplingWANGHong-yang，LIAOGui-sheng，WUYun-tao（KeyLa6oratoryforRadarSignalProcessing，XidianUniuersity，Xian，Shaanxi710071，China）Abstract：

Basedonanauxiiiarytime-deiaychanneiandESPRITapproach，anewaigorithmforwidebandfreguencyestimationwithsub-Nyguistsampiingwasproposed.Thefreguencyaiiasingduetosub-Nyguistsampiingcanberesoivedbytheproposedfreguen-cyaiiasingresoivingaigorithmandinformationfromthetime-deiaychannei.Tofurtherreducethecompiexityoftheproposedmethod，asimpiifiedaigorithmwithiittieperformancedegradationwasaisogiveninthispaper.Atiast，simuiationresuitsverifytheefficiencyoftheproposedmethod.Keywords：

wideband；sub-Nyguistsampiing；freguencyaiiasing；simpiifiedaigorithm!

引言谱估计技术因其在雷达、声纳、通信等方面的广泛应用而越来越受到重视，而频率估计是其重要的一个组成部分.常规的频率估计技术，如DFT，受到瑞利限约束，分辨力不高.另一类谱估计方法使用参数化模型，如Pisarenko谐波分解法、Prony方法等13，可突破瑞利限约束.利用子空间分解技术的频率估计方法有ML，MUSIC，ESPRIT等算法46，其分辨力和估计精度较高，是目前研究最为广泛的方法.以上频率估计方法需要对信号进行Nyguist采样，这在信号频率较低或频带较窄的情况下很容易实现，在宽频带情况下却很难实现.鉴于此，本文提出了一种欠采样情况下宽频带信号频率的估计方法，之所以讨论欠采样情况是因为限于当前的ADC技术水平和后端DSP吞吐能力，对宽频带信号进行Nyguist采样处理已相当困难.欠采样使得信号频谱混叠，必须增加额外的信息解模糊才能得到信号频率的无模糊估计.利用多个延迟通道和前后向稀疏线性预测（FBSLP）方法，文7，8解决了欠采样信号频率的无模糊估计问题，但这种方法需要的硬件量相当大.将信号适当延迟并结合MUSIC方法，文9同样解决了上述问题，但要求延迟通道数大于信号数并且估计精度取决于搜索步长，有一定的局限性.基于时延和Pro-ESPRIT方法10，文10解决了宽频带空时欠采样条件下信号频率和波达方向的联合估计.同样，文11利用Pro-ESPRIT算法解决了欠采样宽频带信号的频率估计问题，其运算量主要集中在两次相关矩阵估计和特征分解上.本文通过延迟通道提供的信息和欠采样后信号频率的估计来联合解模糊，并提出了相应的解模糊算法，分析和数值仿真结果验证了该方法的有效性.同时，为降低运算量，文中提供了简易算法，该简易算法不需要估计信号相关矩阵，并且仅需要一次特征分解就可实现频率估计，大大增强了方法的实用性.信号模型与本文算法设传感器感应的个复指数信号被功分成两路，一路直接被ADC以速率Fs采样，Fs小于信号Nyguist采样速率，为时间欠采样.另外一路延迟!

后被同步采样，!

小于信号Nyguist采样间隔.分别以x（n），y（n）表示对无延迟、有延迟信号的第n次快拍，有x（n）=!

KI=1sI（n）+wx（n）=!

KI=16Ie（2fIn）/Fs+wx（n）y（n）=!

KI=1e-2fI!

sI（n）+wy（n）=!

KI=16Ie2fI（n/Fs）-!

+wy（n）

（1）其中，sI（n）表示对第I（1IK）个信号的第n次快拍（本文不考虑欠采样后各信号相干的情况），6I、fI分别表示其复幅度和频率；e-2fI!

表示第I（1IK）个信号的延迟相位差；wx（n），wy（n）为相应输出的零均值加性高斯白噪声.将有收稿日期：

2003-09-01；修回日期：

2004-06-21基金项目：

国家自然科学基金（No.60172028）；教育部科学技术研究重点项目（No.01163）第12期2004年12月电子学报ACTAELECTRONICASINICAVoi.32No.12Dec.2004延迟、无延迟信号的连续O（OK）次快拍排成两列矢量X（I）=x（I），x（I+1），x（I+O-1）T=A（f）S（I）+Wx（I）Y（I）=y（I），y（I+1），y（I+O-1）T=A（f）!

S（I）+Wy（I）

（2）其中，A（f）=a（f1），a（fK）a（fI）=1，e（2KfI）/Fs，e2K（O-1）fI/FsT!

（fI）=1，e-2Kf1T，e-2KfKTS（I）=s1（I），sK（I）T（3）而Wx（I），Wy（I）分别表示相应输出的白噪声向量.由于对信号欠采样，直接由时间导向矢量a（fI）获得的信号频率估计有模糊，与真实信号频率差采样频率的整数倍.而直接由!

中各信号延迟相位差得到的频率估计虽无模糊，但估计方差较大.从下文可以看到，联合两次频率估计并通过一定的解模糊算法就可以获得无模糊且方差较低的频率估计.!

#本文算法合并无延迟、有延迟采样输出有Z（I）=XT（I）YT（I）T=AA!

S（I）+Wx（I）Wy（I）=BS（I）+W（I）（4）欠采样时间导向矢量和各信号延迟相位差都包含在B中.基于上述数学模型并结合ESPRIT方法可实现时间导向矢量和各延迟相位差的估计.首先计算Z（I）的相关矩阵Rzz=EZ（I）ZH（I）=BRssBH+S2I2O（5）E表示求数学期望，Rss为K个信号的相关矩阵，S2为噪声功率，I2O为2O阶单位阵.对相关矩阵进行特征分解Rzz=】2Oi=1XiuiuHi=EssEHs+S2EwEHw（6）其中，As=diag（X1，XK）为K个大特征值形成的对角阵，Es，Ew分别为K个大特征值、2O-K个小特征值（等于噪声功率）对应特征向量形成的矩阵，分别张成信号子空间和噪声子空间.存在一非奇异矩阵T，使得下式成立12Es=Es1Es2=AA!

T=BT（7）Es1，Es2分别为Es的前、后O行元素组成的维数为OXK的矩阵，并且有Es1=ATEs2=A!

TEs2=Es2（EHs1Es1）-1EHs1Es1A!

T=Es2E#s1ATEs2E#s1A=A!

（8）其中，E#s1=（EHs1Es1）-1EHs1表示伪逆运算.上式表明，对Es2E#s1特征分解，K个大特征值X1，XK为!

对角线元素e-2Kf1T，e-2KfKT的估计，对应特征向量u1，uK为A各列向量a（f1），a（fK）的估计，且由特征值与特征向量的一一对应关系实现了同一信号延迟相位差和欠采样时间导向矢量的自动配对.由各信号延迟相位差和欠采样时间导向矢量估计可得到无、有模糊频率的估计fcoarseI=-XI/（2KT）ffiIeI-PIFs=fI=Fs2K（O-1）】O-1l=1uI（l+1）uI（l），lJIJK（9）（）表示取主值相位.fcoarseI表示由第I个信号延迟相位差得到的频率估计，不存在模糊，但估计方差较大；ffiIeI-PIFs表示由欠采样时间导向矢量得到的第I个信号模糊频率的估计，ffiIeI表示真实频率，而PI对应信号欠采样后频率折叠次数，为一正整数且满足IffiIeI-PIFsIFs0PIJceiIffiIeIF（）s0PIJceiIfmaxF（）s（10）式中，ceiI（）表示取大于括号内的最小整数.fmax为可估计的最高频率.上式放大了PI的取值范围，使之仅与可估计的最高频率有关，PI=0对应过采样情况.估计信号真实频率ffiIeI的关键在于确定PI的取值，约束ffiIeI与fcoarseI绝对偏差最小有PI=argminPIIfI+PIFs-fcoarseII0O）次快拍数据来估计信号相关矩阵Rzz=1N-O+1】N-O+1I=1Z（I）ZH（I）（13）而式（78）近似成立.以上频率估计算法的运算量（主要指复乘法次数）主要集中在估计相关矩阵、求伪逆和两次特征分解上，整个算法运算量约为C1=4（N-O+1）O2+KO（O+2K）+0（9O3）+0（K3）（14）当N，O较大时，上算法运算量很大.下面给出上述频率估计方法的简易算法.!

本文算法的一种简易实现设B前K行元素组成的满秩矩阵为B1，后2O-K行元素组成的矩阵为B2，则存在一矩阵V使得下式成立13VHB1=B2（15）不考虑噪声影响，记数据矩阵Z=Z

（1），Z

（2），Z（N），有Z=Z1Z2=BS

（1），S

（2），S（N）=B1B2S（16）Z1，Z2为数据矩阵Z的前K行和后2O-K行元素构成的子矩阵，S=S

（1），S

（2），S（N）.对Z1左乘VHVHZ1=VHB1S=B2S=Z2（17）考虑噪声时，上式近似成立，可通过下式（V）=argminZ2-VHZ12（18）估计V.上式中表示Frobenius范数，解式（18）有V=（Z1ZH1）-1Z1ZH2（19）9791第12期王洪洋：

欠采样频率估计方法令VH=IKVH，则VHB1=IKVHB1=B1B2=B=AA!

（20）用基于数据矩阵得到的VH可以估计信号频率，而不需要（5）、（6）计算相关矩阵和特征分解.将VH按行平均分成两个矩阵块，记其前O行元素形成的子矩阵为VH1，后O行元素形成的子矩阵为VH2，有VH1B1=AVH2B1=A!

VH2（VH1）#A=A!

（21）上式同式（8）具有相同的形式，只不过用VH2代替ES2，用VH1替代了ES1，其他运算和分析与简化前相同.简易算法的运算量主要集中在求解V、伪逆和特征分解上，约为C2=K（N+1）（2O+K）+KO（K-O）+0（O3）+20（K3）（22）为保证估计精度，一般N和O的取值远大于K，则简化后与简化前运算量之比约为!

K（N+1）（2O+K）+KO（K-O）+0（O3）4O2（N-O+1）+KO（O+2K）+0（9O3）（23）显然运算量有所降低，降低程度视各参数的取值.3计算机仿真设待估计信号频率fmax=500MHZ，延迟!

=1IS，采样率FS=200MHZ.两次实验中采样快拍数N=64，并取O=20.基于以上参数设置可知：

DFT频率分辨力为3.125MHZ；式（11）搜索仅进行3次；若取O阶正定阵特征分解14运算量为34O3，则简化后是简化前运算量的8%，是式（11）运算量的1/5.仿真实验中称简化前、后的频率估计算法为方法一、方法二.实验1两信号频率分别为327Mhz和330Mhz，小于信号DFT分辨力.信噪比取20dB，做200次Monter-carIo实验.本文提出的两个方法可以很好地分辨和估计两个信号频率.表1本文方法对信号频率的估计结果单位Mhz信号频率方法一估计均值方法一估计RMSE方法二估计均值方法二估计RMSE327326.90.96326.671.5330330.020.87330.221.36实验2两个信号频率分别为200Mhz和330Mhz，信噪比范围为030dB，每个信噪比取值做200次Monter-carIo实验.图1给出方法一、二对第一个信号频率估计的均值随信噪比变化曲线.图2给出方法一、二对第一个信号频率估计的均方根误差随信噪比变化曲线，由图可见，在低信噪比时方法二的估计性能比方法一稍差，当信噪比大于5dB时，两种方法估计性能相当，接近cRLB.4结论基于ESPRIT思想，本文给出了一种欠采样情况下信号频率的估计方法和其简化算法.该方法无需对整个频段搜索，几个定点搜索后直接给出待估计参数的闭式解.计算机仿真表明本文提出的欠采样解模糊算法是可行的，并且算法分辨力和估计精度很高.本文欠采样频率估计方法运算量适中，有望得到实际应用.附录：

频率估计的CRLB推导以接收的复信号为原始数据模型，则采样信号

（1）的对数似然函数为L=-NIn

（2）-NIn（#2）-12#2ENI=1x（I）-6TcI2-12#2ENI=1y（I）-bT!

cI2（24）其中，b=61，6KT=b+bcI=e2If1/FS，e2IfK/FST（25）b，b分别表示信号复幅度向量b的实、虚部.似然函数中未知变量包括#2，b，b和频率向量f=f1，fKT，共3K+1个.上似然函数对应的FiSher信息矩阵F为3K+1的对称方阵，我们仅求解对角线上半部分即可.下面分别给出矩阵中各块元素的解析表达式.

（1）3L-（#2#2）3L3#2=-N#2+124ENI=1wx（I）2+12#4ENI=1wy（I）2（26）E3L3#（）22=N2#4-N#6EENI=1wx（I）2+ENI=1wy（I）2+14#82EENI=1ENm=1wx（I）2wx（m）2+2EENI=1ENm=1wx（I）2wy（m）2=-N2#4+12#8ENI=1ENm=1m#IEwx（I）2Ewx（m）2+ENI=1Ewx（I）4+N2#4=-N2#4+12#8N（N-1）#4+3N#4+N2#4=N#4（27）

（2）3L-（#2b）3L3b=-12#2ENI=13（x（I）-bTcI）3b（x（I）-bTcI）e-12#2ENI=13（x（I）-bTcI）e3b（x（I）-bTcI）-12#2ENI=13（y（I）-bT!

cI）3b（y（I）-bT!

cI）e-12#2ENI=13（y（I）-bT!

cI）e3b（y（I）-bT!

cI）0891电子学报2004年=1!

2Nn=1Recnwx（n）+1!

2Nn=1Re!

cnwy（n）（28）EL!

2L（）bT=-N!

4ENn=1Recnwx（n）+cnwy（n）+12!

6ENn=1Nm=1wx（n）2+wy（n）（）2Recnwx（m）+!

cnwy（m（））=0（29）这里利用了零均值高斯随机变量奇次阶矩为0的性质.（3）L（!

2b）Lb=-1!

2Nn=1Incnwx（n）-1!

2Nn=1im!

cnwy（n）EL!

2L（）bT=0（30）（4）L（!

2f）Lf=-1!

2Nn=1im2#nFScnbwx（n）-1!

2Nn=1im2#（nFS-$）!

cnbwy（n）（31）EL!

2L（）fT=0（32）其中，cn=diag（cn）.（5）L（bb）ELbL（）bT=1!

2Nn=1Recnchn+1!

2Nn=1Re!

cnchn!

（33）（6）L（bb）ELbL（）bT=-1!

2Nn=1imcnchn-1!

2Nn=1im!

cnchn!

（34）（7）L（bf）ELbL（）fT=-1!

2Nn=1im2#nFxcnbhcn-1!

2Nn=1im2#（nFS-$）cnbhcn!

（35）（8）L（bb）ELbL（）bT=1!

2Nn=1Recnchn+1!

2Nn=1Re!

cnchn!

（36）（9）L（bf）ELbL（）fT=1!

2Nn=1Re2#nFScnbhcn+1!

2Nn=1Re2#（nFS-$）cnbhcn!

（37）（10）L（ff）ELfL（）fT=1!

2Nn=1Re2#nF（）S2cnbbhcn+1!

2Nn=1Re2#nFS-2（）#$2!

cnbbhcn!

（38）上面10个子矩阵块元素与对称方阵F对角线上半部元素一一对应，所以由上可以很容易得到F矩阵.众所周知，任一无偏估计子的CRB为F-1ii，即F-1的第i个对角线元素，由此即可得到各个信号频率估计的CRLB.推导完毕.参考文献：

1WahIbergBO.ARMAspectraIestimationofnarrowbandprocessesviamodeIreductionJ.iEEETransASSP，1990，38（7）：

1144-1154.2ChanYT，LangfordRP.SpectraIestimationviathehighorderYuIe-WaIkereguationsJ.iEEETransASSP，1982，30（5）：

689-698.3LangW，MccIeIIanH.FreguencyestimationwithmaximumentropyspectraIestimatorsJ.iEEETransASSP，1980，28（6）：

716-723.4StoicaP，MosesL.MaximumIikeIihoodestimationoftheparametersofmuItipIesinusoidsfromnoisymeasurementsJ.iEEETransASSP，1989，37（3）：

378-392.5RoyR，PauIrajA，KaiIahT.ESPRiT-AsubspacerotationapproachtoestimationofparametersofsinusoidsinnoiseJ.iEEETransASSP，1986，34（5）：

1340-1342.6ErikssonA，StoicaP.Sencond-orderpropertiesofMUSiCandESPRiTestimatesofsinusoidaIfreguenciesinhighSNRscenariosJ.iEEPro-ceedings-F，1993，140（4）：

266-272.7TuftsW，GeY.DigitaIestimationoffreguenciesofsinusoidfromwidebandundersampIeddataA.iCASSPC，1995.3155-3158.8SandersonB，TsuiY，FreeseN.ReductionofaIiasingambiguitiesthroughphasereIationsJ.iEEETransAES，1992，28（4）：

950-956.9唐斌，肖先赐.欠采样环境下信号多频率估计J.电子科学学刊，1997，19（10）：

619-624.10ZoItowskiD，MathewsP.ReaI-timefreguencyand2-DangIeestimationwithsub-Nyguistspatio-temporaIsampIingJ.iEEETransSP，1994，42（10）：

2781-2794.11黄佑勇，王激扬，陈天麒.基于欠采样的宽频段信号频率估计技术J.电波科学学报，2001，16

（2）：

275-279.12RoyR，KaiIahT.Esprit-estimationofsignaIparameterviarotationaIin-variancetechnigueJ.iEEETransASSP，1989，37（7）：

984-995.13MarcosS，MarsaIA，BenidirM.Thepropagatormethodforsourcebear-ingestimationJ.SignaIProcessing，1995，42

（2）：

121-138.14GoIubH，LoanF.MatrixComputation（TheThirdEdition）M.BaIti-moreMaryIand：

JohnsHopkinsUniversityPress，1996.352-375.作者简介：

王洪洋男，1976年2月出生于天津市静海县，分别于1999年、2002年获得西安电子科技大学电子工程学院学士和硕士学位，2001年被推荐攻读西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室博士研究生，主要研究方向为阵列信号处理及其在移动通信（智能天线）和雷达（分布式小卫星成像）中的应用.廖桂生男，1963年6月出生于广西桂林市，教授，博导，西安电子科技大学雷达信号处理重点实验室副主任，副所长，iEEE会员，1985年毕业于广西大学数学系，分别于1990年和1992年获西安电子科技大学计算机系和电子工程系硕士和博士学位，主要从事统计信号处理，子波变换和神经网络及其在雷达、通信中的应用研究.1891第12期王洪洋：

欠采样频率估计方法欠采样频率估计方法欠采样频率估计方法作者：

王洪洋，廖桂生，吴云韬作者单位：

西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室,陕西西安,710071刊名：

电子学报英文刊名：

ACTAELECTRONICASINICA年，卷（期）：

2004,32（12）被引用次数：

3次参考文献（14条）参考文献（14条）1.WahlbergBOARMAspectralestimationofnarrowbandprocessesviamodelreduction外文期刊1990（07）2.唐斌;肖先赐欠采样环境下信号多频率估计1997（10）3.SandersonB;TsuiY;FreeseNReductionofaliasingambiguitiesthroughphaserelations外文期刊1992（04）4.TuftsW;GeYDigitalestimationoffrequenciesofsinusoidfromwidebandundersampleddata19955.StoicaP;MosesLMaximumlikelihoodestimationoftheparametersofmultiplesinusoidsfromnoisymeasurements1989（03）6.LangW;McclellanHFrequencyestimationwithmaximumentropyspectralestimators1980（06）7.ChanYT;LangfordR