昆特管实验原理分析.pdf

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第34卷第8期大学物理Vol34No82015年8月COLLEGEPHYSICSAug2015收稿日期:

20141231;修回日期:

20150123作者简介:

路峻岭（1946），男，河北南宫市人，清华大学教授，主要从事大学物理实验教学工作和力敏传感器物理的研究工作櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍殻殻殻殻物理实验昆特管实验原理分析路峻岭，秦联华，傅敏学，李复，任乃敬（清华大学物理系，北京100084）摘要:

根据声学原理对昆特管演示实验进行分析，给出了对实验现象细节的一种物理解释，即在昆特管中除主驻波模式之外还激励起了最低一级高次驻波模式振动，昆特管内的声波场实际上是主驻波模式和最低一级高次驻波模式叠加形成的声波场关键词:

昆特管实验;驻波模式;贝塞尔函数中图分类号:

O4364文献标识码:

A文章编号:

1000-0712（2015）08-0023-051866年，德国科学家昆特（AKundt，18391894）通过测量长管中声驻波波节间距离的方法测量气体中的声速，后人把这类实验称为昆特管实验近年来，人们把昆特管实验引入大学物理演示实验教学，用以演示声驻波，实验效果良好实验现象局部照片如下图所示实验装置的主体如图1所示一段水平放置的透明长（有机）玻璃圆管，其一端连接到一个大功率喇叭口处，另一端封闭，玻璃圆管内的下部放入一些轻质泡沫小球或注入一些煤油用以演示声驻波，不过用煤油时需要把玻璃圆管靠近喇叭的一段做成略弯曲向上以免煤油浸湿喇叭做实验时，调节喇叭的激励频率，当1/4声波波长的整数倍等于玻璃圆管的长度时，玻璃圆管内将激发出声驻波来，泡沫小球或煤油滴屑将集中到驻波波腹区域，同时，泡沫小球或煤油滴屑将呈现出精细结构，在垂直圆管轴线的方向上出现动态而稳定的片状分布，如图1所示至今尚未见对此实验现象解释的报道1本文试对此作一分析图1昆特管实验装置主体及实验现象简图1昆特管实验原理分析11柱坐标系中声压波动方程2，4，5描述声波场的物理量可以是声波场中声介质质点的振动速度（振速）u、场点压强P或场点介质密度的变化量=0中的任何一个，但用的最多的是声强p，它表示由于声波的存在场点压强的变化量p=PP0

（1）声强p是标量，它是时空坐标的函数，知道了声强函数后，可以方便地把其它物理量表示出来例如质点的振速u=10（!

p）dt

（2）在由不同介质构成的平面边界面处，则要求声强函数p和振速函数u连续在刚性反射面处要求DOI:

10.16854/ki.1000-0712.2015.08.00824大学物理第34卷声强函数p达到极值和振速函数u为零声学中通常都是求解p或u的简谐振动解基于（质量守恒）连续性方程、牛顿第二定律方程和气体绝热过程方程，在声波场中质点作小振幅振动的近似下，可以得到声强的波动方程2，4，5!

2p=1c22pt2（3）其中，!

2为拉普拉斯算符;c为声速，一定温度下可认为c是一个常数，如按理想气体c=p0槡0（4）在20时空气中的声速c=344m/s12波动方程的满足有限长圆管刚性边界条件的驻波解具体到本实验，要研究长圆管中的声波场，将图1所示直角坐标系改为柱坐标系设圆管的内半径为a，以长圆管轴为z轴，以喇叭口处为坐标系的原点，以竖直向下为=0（对应直角坐标系x轴，水平方向对应y轴），长圆管封闭端z=L波动方程（3）具体化为1rrrp（）r+1r22p2+2pz2=1c22pt2（5）长圆管内壁及封闭端面均为刚性面，则在r=a和z=L时声强函数p达到极值满足刚性面边界条件的方程（5）的分立解（本征振动解）如下式所示3-5:

pmnnz（r，z，t）=AmnnzJmmnr（）acos（m+m）cosnz21z（）Leimnnzt（6）式中，m为积分常数，由初始条件决定Jmmnr（）a为m阶贝塞尔函数，m为整数，这是由含的因子必须是周期为2的函数而确定的mn为r=a时根据解式（6）满足边界条件而导出的超越方程Jm（x）=0的根3-5，其中根的序号n=0，1，2，3，m和n实质上分别表示长圆管横截面上驻波沿直径的节线数和沿圆环的节线数5mn的前几个数值如下面表1所示4，5表1超越方程Jm（x）=0的前几个根mn超越方程的根mnm=0m=1m=2m=3n=0018413054420n=1383253226705802n=27015853699651135n=31017117113171459n=41333148616351779nz为z=L时根据解式（6）满足边界条件而须取的整数，它与长圆管的轴线方向上垂直于轴线的节面数有关若不计封闭端的节面，在z的区间0，L）内，当nz为奇数时节面数为12（nz1）;当nz为偶数时节面数为12nz该本征振动解（以mnnz标志）的振动圆频率为mnnz=cmn（）a2+nz2（）L槡2（7）Amnnz常常取得使本征振动解的模为1，而使本征振动解成为正交归一函数族在自变量区间（r0，a;0，2;z0，L）内的任意函数，均可以以本征振动解为基函数进行展开5-7故长圆管中的任意声波场的声强均可以表示成上述本征振动解的线性叠加:

p（r，z，t）=m=0n=0nz=0BmnnzJmmnr（）acosm+（）mcosnz21z（）Leimnnzt（8）式中，Bmnnz已包含本征振动解的归一化系数Amnnz13昆特管实验现象解释昆特管实验实质上是在z=0处由喇叭产生激励声压，从而在昆特管中出现驻波振动当喇叭激励的声压给定时，则可利用任意函数的傅里叶贝塞尔级数展开6，7的方法求得各阶（m）各号（n）的本征振动解的振幅Bmnnz，其中nz可据式（7）得出，从而得出管中具体包含哪些本征振动解昆特管中的声波场即是这些本征振动解叠加的声波场但具体到本实验，由于喇叭激励的声压未知，不能完全按照上述方法进行严格的数学运算来求解，但我们可以根据实验现象猜解据声学的叠加原理2，4，设喇叭激励的声压幅值随r的变化如图2所示激励声压可分解为不随r变化的主波部分和随r变化的高次波部分主波部分为（0，0，n0）本征振动解（要演示的驻波模式，其nz用n0表示），即为p00n0（r，z，t）=p0cosn021z（）Lei00n0t（9）由式

（2）可得相应的振速（沿z方向）u00n0（r，z，t）=n0p02L000n0sinn021z（）Lei00n0t+i2（10）第8期路峻岭，等:

昆特管实验原理分析25图2声压的叠加与分解可见，n0为奇数时对应喇叭口处为波腹的模式，n0为偶数时对应喇叭口处为波节的模式实验时长管中的泡沫小球将被声波由驻波波节（声压高）区域推向波腹（声压低）区域由式（7）可得主波的频率为f00n0=n0c4L（11）欲理解泡沫小球或煤油滴屑集中到驻波波腹区域且在垂直于圆管轴线的方向上出现动态而稳定的片状分布的精细结构的现象，需从高次波部分入手来进行分析从式（6）可见，圆长管中的驻波模表达式中的r方向因子（贝塞尔函数）与方向的因子（三角函数）是相关联的我们设:

除了主波（0，0，n0）之外还有最低次高次波（1，0，nz）模式存在，看会有什么结果下式即1，0，n（）z模式的表达式:

p10nz（r，z，t）=A10nzJ110r（）acoscosnz21z（）Lei10nzt（12）根据式

（2）对式（12）进行运算，可得相应的振速ur=10ipr=A10nz10a0i10nzJ110r（）acoscosnz21z（）Lei10nztu=10irp=A10nz0i10nzrJ110r（）asincosnz21z（）Lei10nztuz=10ipz=A10nznz2L0i10nzJ110r（）acossinnz21z（）Lei10nzt（13）以下对声波场中质点的振速进行分析由式（13）可见，其中含z的三角函数因子把长圆管内的空间分成了一串周期性的截片区间，（参见图5）令=nz21z（）L，若在截面S1内cos中的恰为2的整倍数时，则截面S1内质点振速的r、方向的分量不为零而z方向的分量为零我们看振速在r、方向的分量如何进行合成，从ur和u的两个表达式可见，其中的三角函数表明，这是两个正交矢量的合成，合矢量总是沿x轴方向，即处于截面S1内任何位置的质点的两振速的合矢量总是在竖直方向再看合振速的大小，先看ur，由于J1（x）=12J0（x）J2（x），如图图33个低阶次贝塞尔函数图形3所示，ur的模较大的区域就是x较小的区域（对应长圆管内轴线的邻域），J1（）x05，ur的模近似为A10nz1020a10nz，A10nz10a0i10nzJ110r（）acos表示它将投影到x轴方向上进行合成再看u，由于J1（）xxx012，即在x较小的区域（对应长圆管内轴线的邻域），u的模近似为A10nz1020a10nz，26大学物理第34卷A10nz0i10nzrJ110r（）asin表示它也将投影到x轴方向上进行合成，质点振速的合成图如图4所示也就是说，在长圆管中的这一片垂直于轴线的竖直介质截片内，各质点都沿竖直方向作上下振动，越靠近中心处其振速幅度越大图4长管S1截面内质点振速的合成在接近内壁（ra）处，径向分量ur0，向分量u因因子sin而在竖直方向（n）的内壁处趋于零（n为整数），而在水平方向2n（）+12的内壁处不为零，它的模为A10nz0i10nzrJ110r（）aA10nz010nzaJ1（10）=05816A10nz010nza，方向与中心处质点的合速度一致在垂直于轴线的竖直介质截片内质点的振速分布如图5左侧截面图所示，振速幅度较大者用较粗的箭头来表示随着z的增加，当式（13）中含z的三角函数中方括号中的量变化了2（到达截面S2）时，振速的r、方向的分量全变为零而z方向的分量uz不为零由式（13）可知，uz的幅度随r的变化通过J110r（）a来体现，又由图3可见，在r0，a区间，r越大J110r（）a越大，当r=a时，此一阶贝塞尔函数达到它的第一个极大值05816也就是说，越靠近圆管的内壁，uz的振幅越大再者，由于因子cos影响，若在截面S2上过其中心做一条平行于x轴的x轴，则越靠近x轴的区域中的质点的uz越大;同时，在截面S2下半部质点的uz沿负z方向，在S2上半部质点的uz沿正z方向图5长圆管内声场中质点的振速分布示意图随着z的增加，若再变化2（到达截面S3）时，其振速的分布与在截面S1上时相同，只是反向;随着z的增加，若再变化2（到达截面S4）时，振速的分布与在截面S2上时相同，只是反向随着z的再次增加，振速的分布与在截面S1上相同，振速的分布的空间周期性就表现了出来，在xz平面截面上的质点振速的空间周期性分布，如图5所示可见，在圆管内由于高次波声驻波的存在而形成了空间周期性的类环流的同步振动泡沫小球或煤油滴屑将集中到振速最大的区域泡沫小球或煤油滴屑集中到驻波波腹区且在垂直于圆管轴线的方向上出现动态而稳定的片状分布的精细结构，根本原因是有最第8期路峻岭，等:

昆特管实验原理分析27低一级高次波模式的存在在长圆管内声驻波稳定后，当主波模式叠加上最低一级高次波模式时，声波场中质点的振速就是主波模式的振速加上如图5所示出现了空间周期性的片状分布的振速，泡沫小球或煤油滴屑在声波的作用下就往振速较大的区域集中，加上重力的作用，昆特管内就出现了如图1所示的精细结构，其分布周期为振速空间周期之半2结论昆特管演示实验中，主波模式驱使泡沫小球或煤油滴屑集中到其驻波的波腹区域由于管中置入了泡沫小球或煤油，或者喇叭不是完全轴对称，在管中激励起了最低一级高次波模式昆特管内的声波场实际上是主波模式和最低一级高次波模式叠加形成的声波场最低一级高次波模式的存在使集中到主波驻波波腹区域的泡沫小球或煤油滴屑在垂直于昆特管轴线的方向上出现了动态而稳定的片状分布的精细结构参考文献:

1王群，董平，刘淑娥，等部分充满液体昆特管的实验原理探析J，贵州教育学院学报（自然科学版），2009，20（12）:

10-152杜功焕，朱哲民，龚秀芬声学基础（上）M上海:

上海科学技术出版社，1981:

165-196;2313杜功焕，朱哲民，龚秀芬声学基础（下）M上海:

上海科学技术出版社，1981:

44-584杜功焕，朱哲民，龚秀芬声学基础M3版南京:

南京大学出版社，2012;107-126;148;183-1915何祚镛，赵玉芳声学理论基础M北京:

国防工业出版社，1981:

49-58;112-1306梁昆淼数学物理方法M2版北京:

高等教育出版社，1978:

370-3717郭敦仁数学物理方法M北京:

人民教育出版社，1965:

289-335InvestigationontheprincipleofKundtstubeexperimentsLUJun-ling，QINLian-hua，FUMin-xue，LIFu，ENNai-jing（DepartmentofPhysics，TsinghuaUniversity，Beijing100084，China）Abstract:

TheprincipleofKundtstubeexperimentsisstudiedAnexplanationoftheexperimentalphenome-nonisgivenindetail，whichisthatbesidesthemainstandingwavemode，thefirsthighermodeisexcitedThesoundfieldinaKundtstubeisthesuperposingofthetwostandingwavemodesKeywords:

Kundtstubeexperiments;modesofstandingwave;Besselfunction欢迎广大老师登录使用教指委工作网站教育部高等学校物理学类专业教学指导委员会的工作网站现已上线试运行，网站包含各地区工作委员会、各教学研究会的日常信息，以及教学项目申请、基金委会议通知等版块，欢迎各位老师登录使用（http:

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