利用MATLAB分析圆环电流的磁场分布.pdf

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1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http:

/第29卷第1期Vol129No11长春师范学院学报（自然科学版）JournalofChangchunNormalUniversity（NaturalScience）2010年2月Feb.2010利用MATLAB分析圆环电流的磁场分布王玉梅,孙庆龙（陕西理工学院物理系,陕西汉中723003）摘要根据毕奥萨伐尔定律推导出圆环电流磁场分布的积分表示,利用MATLAB的符号积分给出计算结果,并绘制磁场分布的三维曲线。

在数值结果中选取一些代表点讨论磁场的分布规律。

关键词圆环电流;磁场;MATLAB;符号积分;三维绘图中图分类号O4-39文献标识码A文章编号1008-178X（2010）01-0020-04收稿日期2009-08-18作者简介王玉梅（1975-）,女,山西芮城人,陕西理工学院物理系讲师,从事大学物理教学与研究。

毕奥萨伐尔定律是以实验为基础经过科学抽象而得到的,描述的是电流元在空间任一点产生的磁感应强度。

原则上利用毕奥萨伐尔定律并结合磁感应强度叠加原理,可以计算任意形状的电流所产生的磁场。

本文主要讨论圆环电流所产生的磁场分布情况,利用MATLAB软件进行计算,并绘制磁场分布的三维曲线,最后对结果进行讨论。

1圆环电流在空间任一点的磁场分布图1圆环电流磁场分析用图如图1所示,根据毕奥萨伐尔定律,任一电流元Idl_在P点产生的磁感应强度dB_=04Idl_e_rr2,1其中r_和r_分别为P点相对于坐标原点和电流元Idl_的位矢,r_为电流元Idl_相对于坐标原点的位矢。

r_=r_+r_,r_=xi_+yj_+zk_,r_=R（cosi_+sinj_）（其中R为圆环电流半径）,dl_=Rdcos（+2）i_+sin（+2）j_=Rd（-sini_+cosj_）。

根据圆环电流的电流分布特点,可知在图1中以z轴上某点为圆心、圆面平行于圆环电流的圆周上各点的磁场大小相同,方向表述也应该相同,那么P点的坐标为（x,0,z）的结果也具有普遍性。

因此有:

dB_=04Idl_e_rr2=0IRd4r3zcosi_+zsinj_+（R-xcos）k_.dBx=0IRd4r3zcos,Bx=dBx=200IR4r3zcosd.

（1）dBy=0IRd4r3zsin,By=dBy=200IR4r3zsind.

（2）dBz=0IRd4r3（R-xcos）,Bz=dBz=200IR4r3（R-xcos）d.（3）其中r=x2+z2+R2-2Rxcos.2利用MATLAB进行积分计算021994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http:

/211利用MATLAB进行积分计算对于

（1）、

（2）、（3）,可利用MATLAB中的符号积分进行积分运算2,下面是计算的程序代码。

symssitaxzR%定义sita、x、z、R为变量R=1;%计算中圆环半径R取为1mf=R3z3cos（sita）/（R.2+x.2+z.2-23R3x3cos（sita）.1.5）;g=R3z3sin（sita）/（R.2+x.2+z.2-23R3x3cos（sita）.1.5）;h=R3（R-x3cos（sita）/（R.2+x.2+z.2-23R3x3cos（sita）.1.5）;Bx=int（f,sita,0,23pi）;By=int（g,sita,0,23pi）;Bz=int（h,sita,0,23pi）;%计算积分在计算积分时,对各式中的系数0I4可不考虑,因为该系数并不会影响磁场的分布特征。

程序运行后:

Bx=-23（EllipticK（23（1/（1+x2+z2+23x）3x）（1/2）3x2-EllipticE（23（1/（1+x2+z2+23x）3x）（1/2）3x2-23EllipticK（23（1/（1+x2+z2+23x）3x）（1/2）3x+EllipticK（23（1/（1+x2+z2+23x）3x）（1/2）3z2-EllipticE（23（1/（1+x2+z2+23x）3x）（1/2）+EllipticK（23（1/（1+x2+z2+23x）3x）（1/2）-EllipticE（23（1/（1+x2+z2+23x）3x）（1/2）3z2）3（1+x2+z2-23x）/（1+x2+z2+23x）（1/2）3z/（1+x2+z2-23x）（3/2）/x;By=0;Bz=23（EllipticK（23（1/（1+x2+z2+23x）3x）（1/2）3x2-EllipticE（23（1/（1+x2+z2+23x）3x）（1/2）3x2-23EllipticK（23（1/（1+x2+z2+23x）3x）（1/2）3x-EllipticE（23（1/（1+x2+z2+23x）3x）（1/2）3z2+EllipticK（23（1/（1+x2+z2+23x）3x）（1/2）+EllipticK（23（1/（1+x2+z2+23x）3x）（1/2）3z2+EllipticE（23（1/（1+x2+z2+23x）3x）（1/2）3（1+x2+z2-23x）/（1+x2+z2+23x）（1/2）/（1+x2+z2-23x）（3/2）;212利用MATLAB进行三维绘图对于EllipticE（x）和EllipticK（x）两种形式,在Matlab中,可用函数mfun（EllipticE,x）和mfun（EllipticK,x）3来计算其数值结果。

并用surfl（x,z,Bx）和surfl（x,z,Bz）命令绘制出磁场在径向和轴向的三维分布图,如图2和图3所示。

图2圆环电流径向磁场分布图图3圆环电流轴向磁场分布图部分程序代码如下:

x,z=meshgrid（0:

0.03:

2,-1:

0.03:

1）;121994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http:

/Bz=2.3（mfun（EllipticK,（2.3（1./（1+x.2+z.2+2.3x）.3x）.（1/2）.3x.2-mfun（EllipticE,（23（1./（1+x.2+z.2+2.3x）.3x）.（1/2）.3x.2-23mfun（EllipticK,（23（1./（1+x.2+z.2+2.3x）.3x）.（1/2）.3x-mfun（EllipticE,（23（1./（1+x.2+z.2+2.3x）.3x）.（1/2）.3z.2+mfun（El2lipticK,（23（1./（1+x.2+z.2+2.3x）.3x）.（1/2）+mfun（EllipticK,（23（1./（1+x.2+z.2+2.3x）.3x）.（1/2）.3z.2+mfun（EllipticE,（23（1./（1+x.2+z.2+23x）.3x）.（1/2）.3（1+x.2+z.2-2.3x）./（1+x.2+z.2+2.3x）.（1/2）./（1+x.2+z.2-2.3x）.（3/2）;4surfl（x,z,Bz）;xlabel（x）;ylabel（z）;zlabel（Bz）;3结果分析311圆环电流磁场方向分析从积分结果知,圆环电流在坐标为（x,0,z）点所产生的磁场在y轴上的分量By=0,说明圆环电流周围任一点的磁场方向在由该点和圆环电流的轴向所决定的平面内（在本例中即xoz面内）,其磁场可分解到轴向和径向（圆环电流的径向,如上边的x方向）这两个垂直方向上来。

312圆环电流磁场大小分析从图2和图3来看,不管是径向分量还是轴向分量,都是在z=0,x=1附近小范围内的磁场强,往周围扩展,磁场衰减非常快,从数值结果也可直观看到相应的现象,在z=0,x=1附近取了一些点的磁场计算结果如表1所示。

其他区域的磁场较弱,磁场的空间变化率也较小。

表1z=0,x=1附近一些点的磁场数值zxBx（103）Bz（103）-0.00200.99800.99901.00001.00101.0020-0.5005-0.8004-1.0000-0.7996-0.49950.50750.40740.0073-0.3926-0.4926-0.00100.99800.99901.00001.00101.0020-0.4004-1.0005-2.0000-0.9995-0.39960.80801.00810.0080-0.9919-0.792000.99800.99901.00001.00101.002000NaN001.00832.0090NaN-1.9910-0.99170.00100.99800.99901.00001.00101.00200.40041.00052.00000.99950.39960.80801.00810.0080-0.9919-0.79200.00200.99800.99901.00001.00101.00200.50050.80041.00000.79960.49950.50750.40740.0073-0.3926-0.4926从表1可知,在圆环上（z=0,x=110000）,B为无穷大。

这是因为与该位置电流元对应的r=0所致。

313圆环电流所在的平面磁场分析221994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http:

/从表1中可知,在z=0处,即在圆环电流所在面上（除环上各点）的磁场在径向无分量,磁场方向在轴向上。

表2给出了圆环电流所在面上一些点的磁场数值结果。

表2圆环电流所在面上的磁场Bz（103）xBzxBzxBzxBz00.00630.9910.22901.001-1.99101.100-0.01590.2000.00650.9920.25701.002-0.99171.200-0.00670.3000.00670.9930.29281.003-0.65881.300-0.00380.4000.00720.9940.34061.004-0.49241.400-0.00250.5000.00780.9950.40741.005-0.39261.500-0.00180.6000.00880.9960.50761.006-0.27871.600-0.00140.7000.01060.9970.67461.007-0.24311.700-0.00100.8000.01420.9981.00841.008-0.21551.800-0.00080.9000.02460.9992.00901.009-0.19341.900-0.00070.9800.10601.000NAN1.010-0.17532.000-0.0005从表2知环内（x0,而环外（x11000）的Bz11009区域,磁场逐渐减小,而且随着x增加变化越缓慢。

若以圆环边界（即x=11000）为准,把圆环内外对称点（例如x=01998和x=11002两点）的磁场比较,可以发现环外磁感应强度比环内略小。

这是由于在环内,所有电流元的磁场方向都相同,而在环外对应点,电流元产生的磁场方向并不都相同,因此叠加后总的磁场要比环内略小。

4结束语对圆环电流产生磁场的分布进行分析,根据毕奥萨伐尔定律推导出磁场分布的积分表示,再利用MAT2LAB的符号积分可以方便地计算出积分结果,绘制出磁场分布曲线,直观地揭示出了磁场的分布规律。

而且只要圆环电流已知,它周围任一点的磁场都可以给出确切的表示。

一方面对工程实际应用载流圆环及类似载流圆环（如亥姆赫兹线圈、螺线管等）的磁场具有一定的指导意义5;另一方面也说明了MATLAB强大的数学分析和绘图功能可以很好地应用于物理学研究中。

参考文献1马文蔚.物理学（中册）M.北京:

高等教育出版社,2001.2苏金明.王永利.Matlab7.0实用指南M.北京:

电子工业出版社,2004.3云舟工作室.MATLAB6数学建模基础教程M.北京:

北京人民邮电出版社,2001.4陈怀琛.Matlab及其在理工课程中的应用指南M.西安:

西安电子科技大学出版社,2004:

292-295.5王晓颖,李武军.载流圆环空间磁场分布的研究J.西安工业大学学报,2004（3）.AnalysisontheMagneticFieldDistributionofRingElectricCurrentwithMATLABWANGYu-mei,SUNQing-long（PhysicsDepartment,ShaanxiUniversityofTechnology,Hanzhong723003,China）Abstract:

ThispaperderivestheintegralrepresentationofthemagneticfielddistributionofcircularcurrentaccordingtoBiot-SavartLaw,givesthecomputedresultsusingthesymbolicintegrationofMATLAB,anddrawsthethree-dimensionalcurveofthemagneticfielddistribution.Somerepresentativepointsinthecomputedresultsareselectedtodiscussthedis2tributedruleofthemagneticfield.Keywords:

ringelectriccurrent;magneticfield;MATLAB;symbolicintegration;three-dimensionalcartography32