圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程及其应用.pdf

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圆锥曲线弦的定比分点的圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程及其应用轨迹方程及其应用福建仙游第二中学陈金瑞圆锥曲线是解析几何中的重要内容,与圆锥曲线有关的轨迹问题也是教学的一个难点.本文给出圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程的几个通式,并说明它的应用.命题命题1设斜率为k的直线与椭圆22bx+2222ayab=（0,0）ab相交于A、B两点,动点M满足AMMB=?

（为常数）,则点M的轨迹方程是22222222

（1）（）（4bxakybxay+22222）（）0abbak+=.证明证明设点（,）Mxy,直线AB的参数方程为00,xxtyykt=+=+（t为参数）,代入椭圆方程并整理得:

222222（）2（）baktbxakyt+2222220bxayab+=.设点11（,）Axy,22（,）Bxy对应的参数分别为12,tt,则:

22222122（）/（）ttbxakybak+=+,22222222212（）/（）ttbxayabbak=+.因为AMMB=?

由定比分点坐标公式得:

12（）/

（1）xxx=+,将11xxt=+,2xx=+2t代入得:

12（）（）/

（1）xxtxt=+,整理并化简得:

120tt+=.因而12222

（1）ttttt+=+=,2122ttt=,所以221212

（1）（）tttt+=.代入并整理即得点M的轨迹方程:

222222

（1）（）（4bxakybx+2222222）（）0ayabbak+=.特别地,当点M为弦AB的中点时1=,此时点M的轨迹方程是:

220bxaky+=.仿照命题1的证明同理可导出以下命题.命题命题2设斜率为k的直线与双曲线222222bxayab=（0,0）ab相交于A、B两点,动点M满足AMMB=?

（为常数）,则点M的轨迹方程是22222222

（1）（）（4bxakybxay+22222）（）0abbak=.特别地,当点M为弦AB的中点时1=,此时点M的轨迹方程是:

220bxaky=命题命题3设斜率为k的直线与抛物线2y2（0）pxp=相交于A、B两点,动点M满足AMMB=?

（为常数）,则点M的轨迹方程是2222

（1）（）

（2）04pkykypx+=.特别地,当点M为弦AB的中点时1=,此时点M的轨迹方程是:

0kyp=.如果直线过定点（,）Nmn,分别与命题1、命题2、命题3中的圆锥曲线相交于A、B两点,动点M满足AMMB=?

（为常数）,则点M的轨迹方程就是将上述各命题结论中的k用（）/（）ynxm替换整理后所得的方程.下面举例说明它们的简单应用.例例1设斜率为2的直线与椭圆2242xy+1=相交于A、B两点,

（1）求满足23AMMB=?

的动点M的轨迹方程.

（2）求AB中点M的轨迹方程.解解这里224,2,2abk=.

（1）由已知得2/3=,根据命题1知,点M的轨迹方程为:

2222（2/31）（242）（244（2/3）xyxy+42）（244）0+=,化简即得点M的轨迹方程221164134120xxyy+=（22x）.20

（2）此时1=,由命题1知,点M的轨迹方程为:

240xky+=.将2k=代入并化简得点M的轨迹方程40xy+=44（22）33x.例例2过椭圆22186xy+=内一定点N（1,0）,任作一弦AB,求AB的中点M的轨迹方程.解解设（,）Mxy,则直线AB的斜率k=/

（1）yx,根据命题1的特例知点M的轨迹方程6801yxyx+=,化简即得点M的轨迹方程:

223430xyx+=.例例3已知ABC的重心为（3,6）G,点（1,A8）,B、C在双曲线22149xy=上,求直线BC的方程.解解设BC的中点为（,）Mxy,因为G是ABC的重心,则G分有向线段AM?

所成的比为2,由定比分点坐标公式有:

1233x+=,8263y+=,解得（4,5）M.根据命题2知,双曲线22149xy=的斜率为k的平行弦中点的轨迹方程为:

940xky=,因为点（4,5）M在此轨迹上,将M点的坐标代入方程求得9/5k=,所以BC的直线方程为59（4）/5yx=,即:

95110xy=.例例4过一定点（3,1）作直线交双曲线2x22y=于P、Q两点,求PQ中点M的轨迹方程.解解设点（,）Mxy,则直线PQ的斜率为

（1）/（3）kyx=,因为222ab=,由命题2中的特例知PQ中点M的轨迹方程为22xky=0,所以103yxyx=,即2230xyxy+=.例例5设11（,）Axy和22（,）Bxy是双曲线22145xy=上的两点,且满足126xx+=,求证线段AB的垂直平分线经过一个定点.解解设直线AB的斜率为k,根据命题2得,双曲线22145xy=的斜率为k的平行弦中点的轨迹方程为:

540xky=,又设线段AB的中点为（,）Mxy,因为126xx+=,所以1（xx=+2）/23x=,且51544xykk=,即点M的坐标为15（3,）4k,则线段AB的垂直平分线方程是y151（3）4xkk=,此直线必经过定点27（,0）4N.例例6设过点（2,0）的直线交抛物线22yx=于A、B两点,动点M满足3AMMB=?

求点M的轨迹方程.解解依题意得1,3p=.设（,）Mxy,则直线AB的斜率为2ykx=,根据命题3得点M的轨迹方程为2222（31）

（1）

（2）043kykyx+=,将2ykx=代入并化简即得所求的M点的轨迹方程42224831212120yxyxyx+=.例例7已知正方形ABCD的两个顶点A与C在抛物线24（3）yx=+上,一条对角线BD在直线210xy+=上,求这个正方形的边长.解解依题意得直线BD的斜率为12,则直线AC的斜率为2k=,根据命题3知,抛物线24（3）yx=+的斜率为k的平行弦中点的轨迹方程为:

20ky=,因为2k=,所以1y=.将1y=代入直线BD的方程即可求得对角线AC的中点坐标为（1,1）,于是得直线AC的方程是23yx=+,代入抛物线方程并化简得24x830x+=.设11（,）Axy、22（,）Cxy,则21122xx+=,1234xx=,221212（）（）ACxxyy=+2212（）

（1）xxk=+（）212124xxxx=+21k+,即223

（2）4（）12354AC=+=,所以正方形的边长2703522AB=.由此可见,用上述命题结论解决有关问题甚为简单.四个不等式的加强四个不等式的加强福建邵武第一中学杨浦斌翻阅了一些杂志,觉得有几个不等式还可以加强,今班门弄斧如下:

1勾股定理推广后的加强勾股定理推广后的加强文1将勾股定理推广为:

函数（）xfxa=xxbc+,当02x2时为负.其中,abc分别为RtABC的勾,股,弦.加强加强当02x时,2（）2xxxxccab时,2（）2xxxxcabc+,当且仅当ab=时,“”为“=”号.证明证明设sinac=,则cosbc=.（0）2（）（sincos）.xxxxxfabc=+=+令11（）（sincoscossin）xxxfcxx=12sincos（tan1）0xxxxc=,得tan1=,即/4=.若02x,则当0/4,1sincos0xxxc,有（）0f.此时（）f在（0,/4）内是增函数,得（0）（）（/4）fff,即2（）2xxxxccab+.当/4/2时,21tan1,sincos0xxxxc,有（）0f.此时（）f在（,）42内是减函数,得（）（）（）24fff,即2（）2xxxxccab,则（）f的单调性恰好与上情形相反,同理得2（）2xxxxcabc+.2一个三角不等式的再加强一个三角不等式的再加强文2将三角不等式:

在ABC中,cot2A+cotcot3322BC+,加强为13cotcotcot1222ABCRr+.其中,Rr分别表示ABC的外接圆和内切圆的半径（下同）.再加强再加强165cotcotcot222RABCr+2423（）RRrr+.证明证明设ABC的半周长为p（下同）.将等式cotcotcot222ABCpr+=,代入Gerretsen不等式2222165443RrrpRRrr+,整理得式.由Euler不等式2Rr知是的加强.3一道竞赛题的加强一道竞赛题的加强第24届全苏奥林匹克竞赛题:

证明不等22