数学“傻问题”之二“牛奶兑水”好喝吗?(五下).doc
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数学“傻问题”之二——“牛奶兑水”好喝吗?
有这么一个让人忍俊不禁的笑话——“怎样让一瓶饮料喝出五瓶的感觉?
”:
买一瓶“冰糖雪梨”,喝掉半瓶,加满水就变成了“茉莉蜜茶”;再喝掉半瓶,加满水就变成了“茉莉清茶”;再喝掉半瓶,加满水就变成了“茉莉花茶无糖版”;再喝掉半瓶,加满水就变成了“农夫山泉(有点甜)”……且不说到底喝了几瓶(其实一共喝了4个半瓶和1个整瓶,其实是喝了3瓶,应该叫做“怎样让一瓶饮料喝出五种感觉”),这个笑话讽刺的是饮料几乎都是糖水加香精的现象,但在人教2013版五年级数学下册中也有这么一个类似的问题,同样有趣——“牛奶兑水”问题。
下图是教材原文:
一杯纯牛奶,乐乐喝了半杯后,觉得有些凉,就兑满了热水。
他又喝了半杯,就出去玩了。
乐乐一共喝了多少杯纯牛奶?
多少杯水?
一、原题解决
总览本题,那么为什么教材中会选择此题呢?
连“纯牛奶”也不纯,兑水后就更不纯了(见“后记”说明),乐乐能喝到的“纯牛奶”只有开始时的半杯啊!
原来题目想问的是“含有原来纯牛奶成分的那一部分”有多少,以及乐乐喝的“后加的水的那一部分”是多少?
也就是说,此题中将牛奶和水看作完全平均分布的液体(事实上搅拌完全后也几乎如此,如果将牛奶和水看成两种不相溶的液体,会更好理解),兑水稀释后的分布比例也完全相同,这是理解本题的难点与解题之关键所在。
试着分析题意,第一次喝半杯的纯牛奶,加满水后,一杯中含有半杯纯牛奶和半杯水,(假设均匀溶解)第二次喝的半杯中,就应当含有半杯牛奶的一半和半杯水的一半,即杯纯牛奶和杯水。
因此,两次总共喝了+=杯纯牛奶和0+=杯水。
因为每次喝半杯,总共喝了一杯,+=1,检验应当是正确的。
为了更好地理解题意,试着用图形帮助理解。
如下图,用一个黄色的正方形代表满满一杯纯牛奶。
第一次喝了一半,再加水(蓝色),变成一半水一半纯牛奶;第二次喝掉纯牛奶和水的各一半。
结果果然如上。
(下面一行的四个图显示的是再“加满水”和“喝一半”各两次后的样子)
一杯纯牛奶喝掉一半加满水再喝掉(奶+水的)一半
再加满水再喝掉一半第三次加满水第四次喝一半
二、规律拓展
如果再这样子操作下去,情况会更复杂,但规律也更明显——看来作图帮助理解的话,图形选择非常重要,正方形平均分成两半还比较好做,但是次数一多显然不够用——用圆形可能会好一些(图略),用线段图的方法也可以考虑。
从图形中我们发现了规律:
水的变化比较复杂,但牛奶每次被喝掉的都是上一次剩下的一半,因此尝试从牛奶入手寻求解决方法。
这次尝试列表法。
喝的次数
纯牛奶(杯)
水(杯)
每次喝的量(杯)
1
0
2
3
4
……
……
……
n
-或
哈!
从喝第三次时规律就清晰了,原来既然牛奶每次只喝上一次剩下的一半,而每次都要喝半杯,因此剩下的部分就是喝的水咯!
而要计算喝第几次时纯牛奶的总量,只要将这几次的纯牛奶量相加即可得到——这里可以用到“等比数列求和”的知识,也可以看图帮助理解,这里不展开解释,有兴趣的可以自己研究。
直接给出结果:
+++…+=1-,即喝第n次时总共喝纯牛奶1-杯。
而水不要傻傻相加,会算到吐血的,同样可以利用规律,因为每次喝杯,喝n次就喝掉杯,剩下的就是水咯,因此喝第N次时总共喝水-(1-)杯。
三、题型拓展
看来到此为止,只要每次喝半杯,不论乐乐要喝几次,我们马上就能给出每次喝的以及总共喝的纯牛奶和水的量了。
但如果“调皮的”乐乐每次不喝半杯,而是喝杯的话,情况会一样吗?
这时画图显然没那么简单了(三等分不好画),仍然选用列表法。
喝的次数
纯牛奶(杯)
水(杯)
每次喝的量(杯)
1
0
2
(1-)×=
×=
3
(1--)×=
(+)×=
4
(1---)×=
(++)×=
……
……
……
n
-或
分析到喝第三次,脑袋就有点不够用了,借助了一下图形,再回到表格,发现:
每次喝的纯牛奶是上一次剩下的部分的,越来越少,而每次喝的水则相当于“填补纯牛奶喝掉的空缺后”的,越来越多,但它们的和仍旧是杯,永远不变。
同样利用“等比数列”求和的方法,直接给出喝n次时喝的纯牛奶的总量的答案:
+++…+=1-,而因为喝n次总共喝了杯,因此喝的水的总量是-(1-)杯。
比较每次喝杯和杯的两种情况,喝n次时牛奶总量与每次喝几杯有很大关系,规律似乎是:
假设每次喝k杯(0有毅力、有兴趣的同学可以尝试每次喝杯验证看看(其实k=0或1的极端情况也适用以上表达式,k=0表示每次都不喝,那么所喝牛奶和水永远都是0,k=1表示每次都全喝完,那么牛奶只喝1杯,而水喝n-1杯)。
四、经验归纳
做到这里,不论乐乐每次喝多少我们都能快速给出所喝纯牛奶与水的总量了,解题与分析暂告一段落。
回顾解题过程,我们得到的经验是:
1、复杂的问题需要慢慢分析,才有可能找到规律;
2、做题时可以借助画图和表格,但没有唯一正确的方法,要根据情况使用;
3、要相信自己,只要方向正确,计算上的困难都可以克服,反之,如果计算太过繁杂,试着检验一下自己的解题思路是否正确;
4、要常常变换思路,通过不同数据检验方法的正确性,寻找共同特征与普适规律,这样可以帮助简化问题。
……
总而言之,“牛奶兑水”是个可悲的“傻问题”(见“后记”),但只要我们仔细分析,从中发现规律,锻炼了数学思维,这样的问题还是有用的。
最后,“实践出真知”,体验过后我的结论是:
“牛奶兑水”不好喝,至少1:
1兑水口感有明显的差别——至于兑水比例多少能不影响口感,这个问题就有待同学们继续研究吧(我想奸商们肯定早就在研究了)。
加油!
后记:
“数学来源于生活,应用于生活”,一拿到题目,赶紧百度“牛奶兑水”之真伪,大吃一惊:
第一条,检验牛奶兑水的方法=鉴别牛奶中掺假的方法,看来牛奶兑水同样是奸商的手段之一啊;第二条,“纯牛奶”就是奶粉兑水的还原奶,因此“纯牛奶”也不纯,还有香精等添加剂;第三条,“牛奶不兑水日本人傻到家”,这个不解释,无语了;第四条,为什么牛奶兑水喝不好,里面有一句“忌掺开水,水温高,营养成分有影响,而且温度忽然高,蛋白变性”,再次百度“牛奶加开水”证实确有其事【牛奶里含有水,蛋白质,脂肪,碳水化合物(乳糖),矿物质(主要是钙,铁,磷),维生素(A,B1,C,D,胡萝卜素)用开水冲牛奶会使营养物质流失,其中维生素B1,C,D损失最多,另外蛋白质也会发生凝固结块,冲牛奶最好的温度在60~65左右】。
看来“牛奶兑水”特别是兑开水是不健康,不仅会影响口感,还会破坏营养成分,正确的方法是加热到60°C左右再喝。
Editedbyhcj0131
2015.5.21