重力异常与垂线偏差新选Word格式.docx
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天文子午面间夹角
垂线与赤道面夹角
H正：
沿垂线至大地水准面距离
方位角
A:
子午面与包含照准点法截面间的夹角
子午面与包含照准点垂直面间的夹角
确疋方法
在椭球面上推算求得
不能经过推算求得
观测地面点或卫星获得
观测恒星独立获得
特点
依附于椭球面法线
依附于水准面垂线
各点大地坐标相关
各点天文坐标独立
计算求得，定位精度咼
观祭求得，定位精度低
由于大地水准面起伏，导致同一点的法线和垂线不一致，两者之间的微小夹角称为垂线偏差；
导致天地高和海
拔咼（正咼）不一致，两者之间的差距称为大地水准面差距。
设垂线偏差在子午面上的分量（即南北分量）以来表示，在卯酉面上的分量（即东西分量）以来表示，N表示大
地水准面差距。
考虑垂线偏差和大地水准面差距，大地坐标与天文坐标数学转换公式为
B
（L）cos
Atan
NH大H正
2.重力场
地球重力场的确定就是通过求解某种形式的大地测量边值问题得到一种表达扰动位或其泛函的数学模型，包括
解析表达模型和数值模型两种形式。
其中，解析表达模型利用斯托克司（Stokes）公式或莫洛金斯基（Molodensky）级数
给出积分表达式，或利用球谐函数技术给出谱展开式；
数值模型则是重力场参数的一定分辨率的格网数值，包括扰动位、大地水准面、重力异常和垂线偏差等。
例如EGM系列地球重力场模型计算软件给出的最终计算结果便是大地
水准面差距（geoidundulations），一般用N表示。
研究地球重力场的理论基础即是研究大地测量边值问题的解算，这一边值问题的描述为：
在大地水准面或地球自然表面给定边值条件和相应的边值，确定该边界面及其外部的引力位，并满足边值条件，同时在无限空间内是调和函数。
位理论自1785年由法国数学家勒让德（Legendre）提出后，经过格林（Green）和高斯（Gauss）等数学家和大地测
3个分力通过引入一个位函数在3
量学家的进一步研究，不仅解释了表征位场的基本数学关系，同时将引力或重力的
个分力方向上的偏导数来表达。
同时，引入等位面和大地水准面的概念，从而将地球形状和重力场的研究统一起来,即地球重力场可用地球重力位来表达，地球形状可用大地水准面的形状来代表。
由于地球表面形状的不规则和内部
质量分布不均匀，通常将地球重力位分为两部分：
正常场和扰动场，分别对应于正常位和扰动位。
前者可用4个大
地测量基本参数确定，是接近真地球位场的一种理想化位场；
后者是对应的异常质量分布产生的异常位场。
因此，
研究地球形状及外部重力场的关键在于确定扰动位。
2.1重力位函数
设有一个标量函数，它对各坐标轴的偏导数等于力在相应坐标轴上的分量，此函数定义为位函数。
由此定义可
得重力位函数为：
（X2Y2）
引力位函数的定义为
V（r,
GM
nmaxn
（a）n（Cnmcosm0r
Snmsinm
）Pnm（COS
其中，r—到地球质心的距离
—地心纬度—地心经度
参考椭球长半轴
Pnm（cos）
（nm）!
（2n
m1/2
1）（20）
巳m（COS），
1,i
0,i
j为克罗内克（kroneker）符号,
Pnm（cos）为蒂合Legendre函数
这些公式对于ra，即在地球表面或近地空间理论上是有效的，公式计算误差比较小，但这些公式不能用于
小于地球半径的情况。
2.2重力加速度和重力梯度
T
gxgygz
在地球重力场中，重力加速度为
ggrad（W）
重力加速度矢量的空间梯度即是重力位的二阶空间导数，称为重力梯度，可由下述张量表示:
x
y
z
xy
xz
gy
2W
xx
xy
xz
2
yx
yy
yz
yx
yz
gz
zx
zy
zz
zx
zy
2z
（8）
在不考虑地球离心力影响的情况下，地球重力场是一个保守场，重力场的旋度为零，说明重力梯度张量具有对
称性；
重力场的散度为零，意味着梯度张量的迹为零。
因此
xyyx，xzzx，yzzy
0（9）
xxyyzz0
重力梯度张量中只有五个独立项。
3.WGS84世界大地坐标系与EGM2008
3.1WGS84坐标系概述及有关常数
WGS84世界大地坐标系是由美国国家影像制图局NIMA和其前身美国国防部测绘局DMA从初始的世界大地坐
标系WGS60开始发展，并在随后的WGS66、WGS72基础上不断改进形成的。
WGS84坐标系使用协议地面参考系（CTRS）。
这个坐标系根据国际地球自转服务技术注解概要中的标准来定义。
这些标准如下：
它是一个地心坐标系，地心定义为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。
范围局限于地球，即在引力相对论意义下的局部地球框架内。
它的定向由国际时间局（BIH1984.0）给出。
定向的时间演化相对于地壳不产生残余的全球性旋转。
WGS84坐标系是右手地固直角坐标系，坐标原点和坐标轴定义如下：
原点：
地球质心。
Z轴：
指向国际地球参考系IERS极的方向（IRP）。
这个方向与BIH协议地面极的指向（在历元1984.0）相差土
0.005〃。
X轴：
指向国际地球参考系IERS首子午面且垂直于Z轴的方向，这个方向与BIH协议零子午面（在历元1984.0）相
差土0.005〃。
Y轴与其他两轴构成右手地心地固ECEF（Earth-CenteredEarth-Fixed）直角坐标系。
表2WGS84椭球基本常数
参数
符号
值
长半轴
a
6378137.0m
扁率倒数
1/f
298.257223563
地球角速度
7292115.01011rad/s
地球引力常数（包括大气质量）
832
3986004.41810m/s
表3WGS84椭球导出的几何常数
常数
数值
短半轴
b
6356752.3142m
第一偏心率
e
8.181919084262210
第二偏心率
8.20944337949696102
表4WGS84椭球导出的物理常数
椭球正常重力位理论值
U0
22
62636851.7146m/s
赤道正常重力理论值
9.7803253359m2/s2
极点正常重力理论值
P
9.8321849378m/s
正常重力平均值
—
9.796432222m/s
理论正常重力公式常数
k
0.00193185265241
地球质量（包括大气质量）
M
5.97333281024kg
m2a2b2/GM
m
0.0034978650684
3.2WGS84水准椭球正常重力公式
3.3
，即正常位函数U的梯度大小公式:
Simigliana闭合公式给出了椭球面理论正常重力
示大地纬度。
这个正常重力公式就是WGS84椭球重力公式。
这个等位椭球面不仅作为地球水准面和铅垂面或地球的几何参考面，而且也作为地球正常重力的参考面。
若以椭球面法线向下为正方向，一个经常被使用的正常重力泰勒展开式为
1-（1
m2fsin2）hgh2
（11）
当计算点的大地高比较高时，采用上式计算得到的结果精度要小于预期的精度。
解决办法详见《大地坐标系与
大地基准》P116-117。
3.4EGM2008模型
官方版地球重力场模型EGM2008由美国国家地理空间情报局地球重力场研发小组发布，该模型的球谐展开阶数达到了2159,并且还提供扩展到2190阶的扩展参数，此模型目的是希望在WGS84坐标系下解算地球水
准面的起伏。
EGM2008地球重力场模型数据来源主要为地面重力、卫星测高、卫星重力等，地面数据覆盖率达83.8%，部分重力数据空白区主要集中在南极，用卫星重力数据补充。
目前能够获取到的文件包括：
引力位函数的球谐系数文件EGM2008_to2190_TideFree.gz
扩展到2160阶的大地水准面差距计算参数文件Zeta-to-N_to2160_egm2008.gz
Tx1'
的大地水准面网格文件Und_min1x1_egm2008_isw=82_WGS84_TideFree.gz
2.5'
x2.5'
的大地水准面网格文件Und_min2.5x2.5_egm2008_isw=82_WGS84_TideFree.gz
x2.5'
的垂线偏差及重力异常网格文件：
重力异常g文件：
Dg01_cnt2.5x2.5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh
垂线偏差南北分量文件：
xi_cnt2.5x2.5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh
垂线偏差东西分量文件：
eta_cnt2.5x2.5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh
5'
x5'
Dg01_cnt5x5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh
xi_cnt5x5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh
eta_cnt5x5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh
3.3.1EGM2008文件说明
所有以下数据均为无潮汐系统下的数据。
1）引力位函数球谐系数文件EGM2008_to2190_TideFree.gz
该文件中引力位函数的定义见公式（4）。
文件对正常化的地球引力系数Cnm和Snm的存储方式为：
每行内容为
n,m,Cnm,Snm,sigmaCnm,sigmaSnm，共2159x2190行。
2）大地水准面差距计算参数文件Zeta-to-N_to2160_egm2008.gz
该文件中的大地水准面差距计算公式如下
C（,）（CCnmcosmCSnmsinm）Rm（COS）（12）
n0m0
文件对系数CCnm和CSnm的存储方式为：
每行内容为n,m,CCnm,CSnm，共2160X2160行。
3）TX1'
的大地水准面网格文件Und_min1x1_egm2008_isw=82_WGS84_TideFree.gz
该文件为一10801X21600的矩阵，起始位置为北纬90°
东经0°
从第一行到最末行表示90°
N~90°
S,每行间隔为1'
从第一列至最后一列表示从0°
E~360°
E,每列间隔T。
每个元素代表其对应网格左上角的大地水准面
差距。
X2.5'
的大地水准面网格文件与其格式相同，每行和每列的间隔为2.5'
，共4321行X8640列。
4）2.5'
的垂线偏差及重力异常网格文件
3个文件的存储方式相同，均为4321X8640的矩阵，起始位置为北纬90°
N~90°
S,每行间隔为1'
E,每列间隔1'
。
每个元素代表其对应网格中
间点的垂线偏差或重力异常数据，例如文件Dg01_cnt5x5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh的第1行第1列元素为
［（90°
-1.25'
）N,（0°
+1.25'
）E］处的重力异常g的数值。
的垂线偏差及重力异常网格文件文件与其格式相同，每行和每列的间隔为5'
共2161行X4320
列。
3.3.2EGM2008精度数据
表5和表6由2008年4月在奥地利维也纳举行的欧洲地球科学联盟大会提供，文件名为《AnEarthGravitational
ModeltoDegree2160:
EGM2008»
报告人NikolaosK.Pavlis,SimonA.Holmes,SteveC.Kenyon,andJohnK.Factor。
其中表6括号内的值代表在与独立数据比较的基础上观测到的性能。
表5不同模型有关垂线偏差的与天文测量比较得到的均方差
模型（最大展开阶数）
美国本土（3561个观测站）
澳大利亚（1080个观测站）
（〃）
EGM96（360）
2.80
3.22
1.91
2.23
GGM02C_EGM96（360）
1.89
2.22
EIGEN-GL04C（360）
2.81
3.20
1.92
EGM2008（2190）
1.12
1.16
1.19
1.29
DEFLEC99（1'
-10800）
0.91
0.92
--
AUSGeoid98（2'
-5400）
1.31
1.37
注：
DEFLEC99为美国本土重力模型，AUSGeoid98为澳大利亚本土重力模型。
表6EGM2008误授（commissionerror）估计
地区
大地水准面差距N（cm）
垂线偏差东西分量（”）
垂线偏差南北分量（〃）
纬度小于66°
的海洋区域
5.8（5.2）
0.38（~0.30）
0.39（~0.30）
美国大陆
5.9（4.8）
0.47（1.12）
0.47（1.16）
陆地
18.3（~10.3）
1.69
海洋
6.1
0.42
全球
11.1
0.98
EGM2008模型在我国大陆的适用性摘自文献《EGM2008地球重力场模型在中国大陆适用性分析[J]》，作者章传
银，测绘学报2009年第38卷第4期P283-289。
具体如下：
利用我国大陆GPS水准实测高程异常和地面平均空间异常数据，对EGM2008地球重力场模型进行外部精度测
试，结果显示:
20cm,华东华中地区12cm,华北地区达到9cm，西部地
（4）与WDM94，DQM系列，EGM96相比，EGM2008模型高程异常精度提高了3~5倍，比利用GRACE数据的IGG05b，EIGEN-5C模型提高了2倍以上，空间异常的改善程度更为突出。
其中，WDM94模型（360阶）由武汉大学（原武汉测绘科技大学）研制，DQM94a（360阶）和DQM2000（2160阶）由模型西安测绘研究所研制，IGG05b模型（360阶）由中科院测量与地球物理研究所研制，EGM96模型（360阶）由美国多
家机构联合研制，EIGEN-5c模型（360阶）由德国地球科学中心（GFZ）2008年发布。
GRACE卫星是美国国家航空航天局（NASA）跟德国航空中心的合作项目，是观测地球重力场变化的卫星，GRACE卫星于2002年升空后开始将重力数
据传回地球。
3.3.3垂线偏差及重力异常网格文件部分数据图
图2-图4的数据均由2.5'
的垂线偏差及重力异常网格文件获得，截取的数据区域为80°
E〜130°
E,
10°
N〜50°
N。
可以看出，该区域内垂线偏差东西分量变化范围为（-88.2816，91.9243）,单位角秒，南北分量
变化范围为（-122.3146，94.8497），单位角秒，重力异常变化范围为（-349.1605，680.5345）mGal，其中海拔剧烈变化区域重力异常及垂线偏差较大，如西藏地区及海陆交会处。
垂线偏差东西分量
100-.--
130
3U
110
20
J.
-
100
90
1030
-100^.--
50
纬度厂
经度严
40
碰90
HP
25
⑻区域内垂线偏差东西分量三维示意图
go
100110
图2（b）区域内垂线偏差东西分量平面示意图
垂线偏差南北分量昇‘
图3（a）区域内垂线偏差南北分量三维示意图
垂线偏差南北分蚤畀"
ao90100110120130
图3（b）区域内垂线偏差南北分量平面示意图
重力异常值Cg/mGal
woo^---
120
30
1080
一石毎Bg
-500£
纬度严
经戾严
图4（a）区域内重力异常三维示意图
图4（b）区域内重力异常平面示意图
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