对勾函数的性质及应用(史上上最完整版)Word文档下载推荐.doc

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特殊点

奇偶性

奇函数

增区间

减区间

三、对勾函数的应用

【题型1】函数

此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到

【例1】函数的值域为

【解析】显然函数的定义域为，。

①当时,,,当且仅当，即取等号;

②当时,,,当且仅当，即取等号;

综上所述，函数的值域为。

【例2】函数的值域为

【解析】易知函数的定义域为，

。

①当时,,,当且仅当，即时取等号;

②当时,,,当且仅当，即时取等号;

【题型2】函数。

此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到。

【例3】函数的值域为

【解析】函数的定义域为，

①当时，，当且仅当，即时取等号;

②当时，,当且仅当，即时取等号;

综上所述，函数的值域为.

【题型3】函数。

此类函数定义域为，且可变形为（当时单调考虑。

）

类型

单调递增区间

单调递减区间

最值

当时，

【例4】函数的在区间上的值域为

【解析】，，函数在上单调递增，，当且仅当时取等号，即。

【例5】如，，则实数的取值范围是

【解析】由题可知，，令，，，

在上单调递减，，即，，故，得。

【题型4】函数.

可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到。

【例6】已知，求函数的最小值。

【解析】由题可知，，，，，函数的最小值为。

【例7】已知，求函数的最大值。

【解析】由题可知，，，，故，故函数的最大值为。

【题型5】函数

这类型题目，可以令，得，代入原函数，将其转化为关于的函数求解。

【例8】求函数在区间上的最大值。

【解析】由题可知，令，则，，令，故，当且仅当，即，即时取等号。

函数在区间上的最大值。

【例9】求函数在区间上的最大值。

【解析】由题可知，，，令，则，即

，当且仅当，即取等号，故函数在区间上的最大值为。

类型八：

函数.

此类函数可变形为对勾函数的标准形式，即。

【例10】求函数的最小值。

【解析】由题可知，函数的定义域为，

，当且仅当，即时取等号。

【例11】求函数的值域。

①当时，;

②当时，，当且仅当，即时取等号，此时。

类型九：

函数。

此类函数可变形为标准形式：

.

【例12】求函数的最小值。

【解析】由题可知，函数，令，则，显然在上单调递增，故，此时，故函数的最小值为。

【例13】求函数的值域.

【解析】由题可知，函数，令，故，故函数的值域为。

类型二：

斜勾函数

单调性

在上单调递增

在上单调递减

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