安徽省芜湖市联考九年级(上)期中数学试卷-Word格式.docx

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y

-7.5

-2.5

0.5

1.5

根据表格提供的信息，下列说法错误的是（　　）

A.该抛物线的对称轴是直线x=−2

B.b2−4ac>

C.该抛物线与y轴的交点坐标为（0,−3.5）

D.若（0.5,y1）是该抛物线上一点.则y1<

−2.5

10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+23x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+12AP的最小值为（　　）

A.3+2214

B.3+232

C.3

D.23

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.若点A（1，2）与点B（m，-2）关于原点对称，则m=______．

12.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°

，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为______．

13.如果抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上，则c=______．

14.我们设[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的若干结论：

①当m=-3时，该函数图象的顶点坐标是（13，83）；

②当m=1时，该函数图象截x轴所得的线段的长度为2；

③当m=-1时，该函数在x＞14时，y随x的增大而减小；

④当m≠0时，该函数图象必经过x轴上的一个定点．

上述结论中正确的有______．（只需填写所有正确答案的序号）

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

15.解方程：

x2+2x-1=0．

四、解答题（本大题共8小题，共82.0分）

16.已知关于x的方程（a2-4a+5）x2+2ax+4=0．小聪认为，无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程；

而小明认为，方程的类型要取决于字母a的取值．你认为谁的判断是正确的，并简述理由．

17.小王去年开了一家微店，今年1月份开始盈利，2月份盈利24000元，4月份盈利达到34560元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同．试求每月盈利的平均增长率．

18.已知关于x的方程x2-kx-2=0．

（1）求证：

方程总有两个不相等的实数根；

（2）已知方程的一个根为x=3+1，求k的值及另一个根．

19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠B=30°

，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，得到△DEC，若点D刚好落在AB边上，取DE边的中点F，连接FC，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．

20.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，0）、B（0，3），对△AOB连续作旋转变换可以依次得到三角形

（1）、

（2）、（3）、（4）、…请你仔细观察图形，并解决以下问题：

（1）第

（2）个三角形的直角顶点坐标是______；

（2）第（5）个三角形的直角顶点坐标是______；

（3）第（2018）个三角形的直角顶点坐标是______．

21.国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：

m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2．

（1）求y与x的函数表达式；

（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；

（3）若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．

22.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点是（1，4），且图象过点A（3，0），与y轴交于点B．

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；

（2）求直线AB的解析式；

（3）在直线AB上方的抛物线上是否存在一点C，使得S△ABC=278．如果存在，请求出C点的坐标；

如果不存在，请说明理由．

23.如图1所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°

，点E是AC上一点（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°

，连接AD，再分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

△AEF是等腰直角三角形；

（2）如图2所示，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，EF．求证：

（3）如图3所示，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=25，CE=2，试求线段AE的长．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

解：

A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误；

B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故B错误；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C正确；

D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D错误．

故选：

C．

根据轴对称及中心对称图形的定义对各选项进行逐一分析即可．

本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°

，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解答此题的关键．

2.【答案】D

x2-2x=0，

x（x-2）=0，

x=0，x-2=0，

x1=0，x2=2，

D．

先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．

3.【答案】A

方程整理得：

x2-6x=6，

配方得：

x2-6x+9=15，即（x-3）2=15，

A．

方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．

此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

4.【答案】C

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠ACB=60°

，

∵以点D为旋转中心，把△ABC顺时针旋转60°

得到△A′B′C′，而D是BC的中点，

∴∠A′B′C′=60°

，∠BDB′=60°

，DB=DB′，

∴点B′在AB上，

同理可得点C在A′C′上，如图．

根据等边三角形的性质得∠B=∠ACB=60°

，再利用旋转的性质得∠A′B′C′=60°

，DB=DB′，△BDB′为等边三角形，点B′在AB上，同理可得点C在A′C′上，则可画出图形，然后进行判断．

本题考查了旋转的性质：

对应点到旋转中心的距离相等；

对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

旋转前、后的图形全等．

5.【答案】C

根据选项可设一元二次方程为x2+ax+b=0，

∵该方程两个根为1和3，

∴有，解得：

．

即该一元二次方程为x2-4x+3=0．

结合选项设出一元二次方程为x2+ax+b=0，根据根与系数的关系可找出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．

本题考查了根与系数的关系以及用待定系数法求方程系数，解题的关键是找出关于a、b的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，只要牢牢记住根与系数的关系即可得出结论．

6.【答案】D

根据旋转的性质可知，∠PBP1=∠ABC=90°

，BP=BP1=5，

∴△BPP1为等腰直角三角形，

由勾股定理，得PP1==5．故选D．

依题意得，旋转中心为点B，旋转角∠PBP1=∠ABC=90°

，对应点P、P1到旋转中心的距离相等，即BP=BP1=5，可证△BPP1为等腰直角三角形，由勾股定理求PP1．

本题考查了旋转的两个性质：

①旋转角相等，②对应点到旋转中心的距离相等．解题时要注意是按顺时针旋转．

7.【答案】B

∵一次函数y=ax+c经过第一、三、四象限，

∴a＞0，c＜0，

∴△=b2-4ac＞0，

∴关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．

B．

由一次函数图象经过的象限可得出a＞0，c＜0，进而可得出△=b2-4ac＞0，再利用根的判别式可得出方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．

本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，牢记“k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．

8.【答案】B

函数y=x2图象向右平移3个单位，得抛物线y=（x-3）2，再向下平移移2个单位可得到抛物线y=（x-3）2-2=x2-6x+7

按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．

考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：

左加右减，上加下减．

9.【答案】C

A、正确．因为x=-1或-3时，y的值都是0.5，所以对称轴是x=-2．

B、正确．因为抛物线与x轴有交点，所以b2-4ac＞0．

C、错误．该抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2.5）．

D、正确．因为在对称轴的右侧y随x增大而减小．

根据表格提供的信息以及抛物线的性质一一判断即可．

本题考查二次函数的图象以及性质，需要灵活应用二次函数的性质解决问题，读懂信息是解题的关键，属于中考常考题型．

10.【答案】C

连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，

当y=0时，-x2+2x=0，解得x1=0，x2=2，则B（2，0），

y=-x2+2x=-（x-）2+3，则A（，3），

∴OA==2，

而AB=AO=2，

∴AB=AO=OB，

∴△AOB为等边三角形，

∴∠OAP=30°

∴PH=AP，

∵AP垂直平分OB，

∴PO=PB，

∴OP+AP=PB+PH，

当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，

而BC=AB=×

2=3，

∴OP+AP的最小值为3．

连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，解方程得到-x2+2x=0得B（2，0），利用配方法得到A（，3），则OA=2，从而可判断△AOB为等边三角形，接着利用∠OAP=30°

得到PH=AP，利用抛物线的对称性得到PO=PB，所以OP+AP=PB+PH，根据两点之间线段最短得到当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，然后计算出BC的长即可．

本题考查了抛物线与x轴的交点：

把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径的解决方法．

11.【答案】-1

∵点A（1，2）与点B（m，-2）关于原点对称，

∴m=-1．

故答案为：

-1．

根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．

本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数是解题的关键．

12.【答案】15°

∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°

，得到△ADE，

∴∠BAD=150°

，AD=AB，

∵点B，C，D恰好在同一直线上，

∴△BAD是顶角为150°

的等腰三角形，

∴∠B=∠BDA，

∴∠B=（180°

-∠BAD）=15°

15°

先判断出∠BAD=150°

，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．

此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．

13.【答案】16

根据题意，得=0，

解得c=16．

16．

顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答．

本题考查二次函数的性质，解题的关键是牢记求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单．

14.【答案】①、②、④

由题意得：

a=2m，b=1-m，c=-1-m，

①当m=-3时，由函数图象的顶点坐标公式计算为：

（，），正确；

②当m=1时，该函数图象截x轴所得的线段的长度=x2-x1=2，正确；

③当m=-1时，y=-2x2+2x，对称轴是x=，该函数在x＞时，该函数随x的增大而减小，错误；

④当m≠0时，该函数图象当x=1时，y=2m+1-m-1-m=0，即必经过x轴上的一个定点（1，0），正确．

故答案是①、②、④．

a=2m，b=1-m，c=-1-m，①由函数图象的顶点坐标公式计算可求；

②当m=1时，该函数图象截x轴所得的线段的长度=x2-x1=2；

③当m=-1时，y=-2x2+2x，该函数在x＞时，该函数随x的增大而减小；

④当m≠0时，该函数图象当x=1时，y=2m+1-m-1-m=0，即必经过x轴上的一个定点（1，0）．

本题考查的是二次函数图象点的性质，涉及到顶点坐标、对称轴、函数的增减性等知识，考查的知识比较全面．

15.【答案】解：

方程变形得：

x2+2x=1，

x2+2x+1=2，即（x+1）2=2，

开方得：

x+1=±

2，

解得：

x1=-1+2，x2=-1-2．

方程常数项移到右边，两边加上1变形后，开方即可求出解．

16.【答案】解：

小聪正确．

∵a2-4a+5=（a2-4a+4）+1=（a-2）2+1，

又∵（a-2）2≥0

∴（a-2）2+1＞0

即该方程的二次项系数不为0

∴无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程．

根据一元二次方程的定义得到a2-4a+5＞0，由此推知小聪正确．

考查了配方法的应用和一元二次方程的定义，配方法的关键是：

先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．

17.【答案】解：

设该商店的每月盈利的平均增长率为x，

根据题意得：

24000（1+x）2=34560，

x1=0.2，x2=-2.2（舍去），

答：

每月盈利的平均增长率为20%．

设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据“2月份盈利24000元，4月份盈利达到34560元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．

本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．

18.【答案】

（1）证明：

由于x2-kx-2=0是一元二次方程，△=b2-4ac=k2-4×

1×

（-2）=k2+8，

无论k取何实数，总有k2≥0，k2+8＞0，

所以方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：

把x=3+1代入方程x2-kx-2=0，有（3+1）2-k（3+1）-2=0，

整理，得 

k=2．

此时方程可化为 

x2-2x-2=0．

解此方程，得 

x1=1+3，x2=1-3．

所以方程的另一根为x=1−3．

（1）根据△=b2-4ac进行判断；

（2）把x=3代入方程x2-（k+2）x+2k-1=0即可求得k，然后解这个方程即可．

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；

当△=0，方程有两个相等的实数根；

当△＜0，方程没有实数根；

还有方程根的意义等．

19.【答案】解：

四边形ACFD是菱形．

理由：

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°

∴∠A=90°

-∠B=60°

，AC=12AB，

∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，得到△DEC，

∴CA=CD，AB=DE，∠ACB=∠DCE=90°

∴△ACD是等边三角形，

∴AC=AD，

∵F是DE的中点，

∴DF=CF=12DE，

∴AC=CF=DF=AD，

∴四边形ACFD是菱形．

由在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，易得△ACD是等边三角形，则可得AC=AD=AB，又由旋转的性质与直角三角形斜边的中线的性质，证得DF=CF=DE，则可得AC=CF=DF=AD，继而证得四边形ACFD是菱形．

此题考查了旋转的性质、菱形的判定、含30°

直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质．注意证得AC=CF=DF=AD是关键．

20.【答案】

（445，125） 

（1645，125） 

（806845，125）

∵点A（-4，0），B（0，3），

∴OA=4，OB=3，

∴AB==5，

∴第

（2）个三角形的直角顶点的坐标是（4，）；

第（5）个三角形的直角顶点的坐标是（16，）

∵2018÷

3=672余2，

∴第（2018）个三角形是第673组的第二个直角三角形，

∵672×

12=8064，

∴第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是（8068，）．

（4，）；

（16，）；

（8068，）．

利用勾股定理列式求出AB的长，再根据图形写出第（3）个三角形的直角顶点的坐标即可；

观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2018除以3，根据商和余数的情况确定出第（2018）个三角形的直角顶点的坐标即可．

本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理的应用，观察图形，发现每3个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键．

21.【答案】解：

（1）由题意可得：

y=（8-x）（6-x）

=x2-14x+48（0＜x＜6）；

（2）由题意可得：

y=48-13=35，

则x2-14x+48=35，

即（x-1）（x-13）=0，

x1=1，x2=13，

经检验得：

x=13不合题意，舍去，

x的值为1；

（3）y=x2-14x+48

=（x-7）2-1

当0.5≤x≤1时，y随x的增大而减小，

故当x=0.5时，y最大，y=1654m2．

（1）直接利用直角三角形面积求法得出答案；

（2）利用已知得出y=35，进而解方程得出答案；

（3）利用配方法得出函数顶点式，再利用二次函数增减性得出答案．

此题主要考查了一元二次方程以及二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．

22.【答案】解：

（1）∵（1，4）是二次函数的顶点，

∴设二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4．

又∵图象过点A（3，0），

∴代入可得4a+4=0，

解得a=-1，

∴y=-（x-1）2+4或y=-x2+2x+3；

（2）由y=-x2+2x+3可知，B为（0，3）．

设直线AB的解析式为：

y=kx+t（k≠0），

将A（3，0）和B（0，3）代入可得k=-1，b=3

∴直线AB的解析式为：

y=-x+3；

（3）∵C在直线AB上方的抛物线上，

∴可设C（x，-x2+2x+3）其中x＞0

过C作CD∥y轴，交AB于D点．

则D坐标为（x，-x+3）

又∵S△ABC=278，

∴12[（-x2+2x+3）-（-x+3）]×

3=278，

解得x1=x2=32，代入-x2+2x+3得154．

∴C点坐标为（32，154）．

（1）设二次函数解析式为顶点式：

y=a（x-1）2+4，将点A的坐标代入求得a的值即可；

（2）根据二次函数解析式求得点B的坐标，利用待定系数法确定直线AB解析式；

（3）由二次函数图象上点的坐标特征可设C（x，-x2+2x+3）其中x＞0，结合三角形的面积公式可以求得点C的坐标．

主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

23.【答案】解：

（1）如图1，∵四边形ABFD是平行四边形，

∴AB=DF，

∵AB=AC，

∴AC=DF，

∵DE=EC，

∴AE=EF，

∵∠DEC=∠AEF=90°

∴△AEF是等腰直角三角形；

（2）如图2，连接EF，DF交BC于K．

∵四边形ABFD是平行四边形，

∴AB∥DF，

∴∠DKE=∠ABC=45°

∴∠EKF=180°

-∠DKE=135°

，EK=ED，

∵∠ADE=180°

-∠EDC=180°

-45°

=135°

∴∠EKF=∠ADE，

∵∠DKC=∠C，

∴DK=DC，

∵DF=AB=AC，

∴KF=AD，

在△EKF和△EDA中，

∵EK=ED∠EKF=∠ADEKF=AD，

∴△EKF≌△EDA（SAS），

∴EF=EA，∠KEF=∠AED，

∴∠FEA=∠BED=90°

∴△AEF是等腰直角三角形．

（3）如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，

设AE交CD于H，

依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，

∴EH=DH=CH=2，

Rt△ACH中，AH=（25）2−

（2）2=32，

∴AE=AH+EH=42．

（1）依据AE=EF，∠DEC=∠AEF=90°

，即可证明△AEF是等腰直角三角形；

（2）连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可得出结论；

（3）当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，先求得EH=DH=CH=，Rt△ACH中，AH=3，即可得到AE=AH+EH=4．

本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点．

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