一次函数与几何综合-培优.doc

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一次函数与几何综合

1．一次函数与全等三角形的综合

以一次函数为背景的常见的几何模型如下：

2.一次函数与面积的综合

解决在坐标系中的图形面积计算的常用方法：

（1）割补法；

（2）转化法；（3）加减法；（4）铅垂线法．有的问题还需要分类讨论．

3．一次函数与特殊图形的综合

以一次函数为背景的常见的特殊图形有等腰三角形、直角三角形和平行四边形．

（1）等腰三角形

①确定点的位置

如下图所示，在直线L上找一点C，使得△ABC是等腰三角形.

以A点为圆心，AB长为半径画圆，交直线L于两点

以B点为圆心，AB长为半径画圆，交直线L于两点

Ⅲ作AB的中垂线交直线L于点

②求点的坐标：

若△ABC是等腰三角形，则分三种情况分类讨论：

然后利用等腰三角形的性质或勾股定理计算（或建立方程）解题．

（2）直角三角形

若△ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：

然后利用勾股定

理解题．

（3）平行四边形

①确定点的位置

如右图所示，在△ABC中，点A、B在直线L上，点C在x轴上，在坐标平面内找一点D，使得A、B、C、D围成的四边形是平行四边形.

作法：

分别为过A、B、C的三个顶点作对边的平行线，交点即为平行四边形的第四个顶点，如右图所示.

②求点的坐标：

若四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质解题．

基础演练

1．点P是等边△ABC的边上的一个作匀速运动的动点，点P从点A开始沿AB边运动到B再沿BC边运动到C为止，设运动时间为t，△ACP的面积为S，S与t的大致图像是图19-4—1中的（）

2．

（1）如图19-4-2所示，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接

则b的值为（）．

（2）如图19-4-3所示，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转后得到则点的坐标是（）．

3．平面直角坐标系中，0是坐标原点，点A的坐标是（4，O），点P在直线上，且

则m的值为（）．

或或或或

4．若函数与x轴交于点A，直线上有一点M，若△AOM的面积为8，则点M的坐标

5．

（1）在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知A（1，a）在直线上，在坐标轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数有个．

（2）如图19-4-4所示，直线和x轴、y轴分别交于点A、B，点C在坐标平面内，若以线段AB为边作等边三角形ABC，则点C的坐标是

6．

（1）如图19-4-5所示，点A的坐标为（-1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为

（2）如图19-4-6所示，在平面直角坐标系中有两点A（-2，2），B（l，4），P为x轴上一点.

①当BP+AP的值最小时，P点的坐标为；

②当BP-AP的值最大时，P点的坐标

7．探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和（或差）的问题，这种方法称为面积法．请你运用面积法求解下列问题：

在等腰△ABC中，为腰AC上的高．

（1）若是直线BC上的任意一点，M到AB、AC的距离分别为ME、MF．

①若M在线段BC上，请你结合图形19-4-7（a）证明：

②当点M在线段BC的延长线上时ME、MF和h之间的关系为．（请直接写出结论，不必证明）

（2）如图19-4-7（b）所示，在平面直角坐标系中有两条直线若上的一点M到的距离是3，请你利用以上结论求点M的坐标．

8．如图19-4-8所示，已知轴于点B，且满足

（1）求直线AO的解析式；

（2）分别以AB、AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系．

能力提升

9．在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点0作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，已知是常数），设△ABC的周长为y，△AEF的周长为x，在下列图像中，大致表示y与x之间的函数关系的是（）．

10.如图19-4-9所示，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x轴的垂线与三条直线相交，其中a>0．则图中阴影部分的面积是（）．

11.如图19-4-10所示，直线分别交x、y轴于B、C两点，一边在x轴上，另一个顶点在BC边上的等边三角形分别是第1个第2个第3个则第n个等边三角形的边长等于（）．

12.已知平面上四点A（O，O），B（10，0），C（12，6），D（2，6），直线将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为

13.如图19-4-11所示，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线与y、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（O，1），过点C作CD⊥AO交AB于点D，x轴上的点P和A、B、C、D、0中的两个点所构成的三角形与△ACD全等，这样的三角形有个．

14．已知直线交x、y轴于A、B两点，点C的坐标为（6，3），在坐标平面内找一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为

15.如图19-4-12所示，已知平行于y轴的动直线a的解析式为直线b的解析式为

直线c的解析式为且动直线a分别交直线b、c于点D、E，P是y轴上一个动点，且满足△PDE是等腰直角三角形，则点P的坐标是

16.如图19-4-13所示，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点A、C的坐标分别为（3，O），（0，5）.

（1）直接写出点B的坐标；

（2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把长方形OABC的周长分为1:

3两部分，求直线CD的解析式；

（3）设点P沿O-A-B-C的方向运动到点C（但不与点0、C重合），求△OPC的面积y与点P所行路程x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．

17.如图19-4-14所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，O），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（0C>1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E.

（1）△OBC与△ABD全等吗？

判断并证明你的结论；

（2）求直线AB的解析式；

（3）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？

若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．

18.如图19-4-15所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、D的坐标分别为

点E在CD上，且满足AE、BE分别平分

（1）求直线BC的解析式；

（2）请你判断下列哪个结论成立，并证明你的结论；

（3）已知直接写出线段BC的长．

19.如图19-4-16所示，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A（2，0），交y轴于点B.点D为x轴上一点，且

（1）求m的值；

（2）求线段OD的长；

（3）当点E在直线AB上（点E与点B不重合），且求点E的坐标．

20．如图19-4-17所示，直线AB交z轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足

（1）求直线AB的解析式；

（2）如图19-4-17（a）所示，D为OA的中点，连接BD，过点0作于点F，交AB于点E，

求证：

（3）如图19-4-17（b）所示，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中

直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？

若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围，

21.已知，A点坐标为B点坐标为（0，3）.

（1）求过A，B两点的直线解析式；

（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使求△ABP的面积．

22.如图19-4-18所示，对于平面直角坐标系中的任意两点我们把叫做两点间的直角距离，记作

（1）已知0为坐标原点，动点P（x，y）满足请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；

（2）设是一定点，Q（x，y）是直线上的动点，我们把的最小值叫做到直线的直角距离，试求点M（2，1）到直线的直角距离．

23.如图19-4-19所示，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长

线交线段BC于点P，连AP、AG.

（1）求证：

△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；

（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．

24.如图19-4-20所示，△AOB为正三角形，点B的坐标为（2，0），过点C（-2，0）作直线L交AO于点D，交AB于点E，且△ADE与△DCO的面积相等，求直线L的解析式．

25.已知，直线与直线是正整数）及x轴围成的三角形的面积为

（1）求证：

无论川取何值，直线的交点均为定点；

（2）求的值.