初一下三角形.docx

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初一下三角形

初一下三角形练习题

1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABC的周长为26cm．求△ABD的周长．

2．如图，△ABC中，AB=AC，AE是外角∠CAD的平分线，求证：

AE∥BC．

3．（2012•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．

（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）

4．（2009•江津区）如图，在△ABE中，AB=AE，AD=AC，∠BAD=∠EAC，BC、DE交于点O．求证：

（1）△ABC≌△AED；

（2）OB=OE．

5．

（1）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于F，过点F作DF∥BC，求证：

BD=DF．

（2）如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？

并证明这种关系．（3）如图3，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？

请写出你的猜想．（不需证明）

6．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．

（1）求证：

BE=CF；

（2）求AE的长．

7．已知，如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，△BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过点D的直线DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（或AC延长线）

（1）求证：

AE=AF；

（2）求证：

BE=CF；

（3）求AE的长．

8．如图，已知∠ADC=∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，且∠1=∠2，试说明AB∥DC的理由．

9．如图：

在△ABC中，AB=AC，AB=AP，且AP∥BC．求证：

∠C=2∠P．

10．已知：

BE平分∠ABC，DE∥BC，F为BE中点，试说明：

DF⊥BE．

11．

（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？

为什么？

（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？

证明你的猜想．12．如图：

∠1=∠2，AE∥BC，F是AC的中点，能判定BF⊥AC吗？

说明理由．

13．如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．

（1）若∠B=20°求∠BAE的度数，

（2）若∠EAN=40，求∠F的度数，（3）若AB=8，AC=9，求△AEN周长的范围．

14．（2013•太原）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．

（1）实践与操作：

利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；①作∠DAC的平分线AM；②连接BE并延长交AM于点F；

（2）猜想与证明：

试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．

15．（2013•十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：

AD=AE．

16．（2013•衢州）【提出问题】

（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：

∠ABC=∠ACN．

【类比探究】

（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，

（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？

请说明理由．

【拓展延伸】

（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

17．（2011•株洲）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．

（1）求∠ECD的度数；

（2）若CE=5，求BC长．

19．（2011•扬州）已知：

如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．

（1）求证：

△ABC是等腰三角形；

（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．

20．如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于点O．①若OC=OB，求证：

点O在∠BAC的平分线上．（提示：

连接AO）②若点O在∠BAC的平分线上，求证：

OC=OB．50．已知：

在等腰Rt△ABC中，AC=BC∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm，

（1）求证：

BD+DE=AC．

（2）求△DBE的周长．

21．观察、猜想、探究：

在△ABC中，∠ACB=2∠B．

（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：

AB=AC+CD；

（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？

不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

22．如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．

（1）若∠B=20°求∠BAE的度数，

（2）若∠EAN=40，求∠F的度数，（3）若AB=8，AC=9，求△AEN周长的范围．

23．（2012•石景山区二模）已知，如图，点D在边BC上，点E在△ABC外部，DE交AC于F，若AD=AB，∠1=∠2=∠3．求证：

BC=DE．

24．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．

（1）求证：

DF=BE；

（2）若AB=10，AD=8，求AE的长．

25．（2010•南宁）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB．

（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；

（2）求证：

CF=EF．

26．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：

BM=CN．

27．如图，OA，OB是两条公路，C，D是两所大学，求作一点P，使它到OA，OB的距离和到C，D的距离相等．保留作图痕迹．

28．作图题：

（1）某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图1中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位．请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

（2）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图2，准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置．（保留痕迹，不写画法）

29．

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

如图1，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等；

（2）若点A、B分别表示2个居民小区，直线l表示公交通道，欲在其旁建1个公交车站，且使从该站到2个小区的总路程最短，应如何确定车站的位置？

请在图2中画出来．

30．AF平分∠BAC，P是AF上任意一点，过P向AB、AC作垂线PD、PE，D、E分别为垂足，连接DE．求证：

AF垂直平分DE．

31．如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，与边AB、BC交于点D、E，如果△ACD的周长为17cm，△ABC的周长为25cm，根据这些条件，你可以求出哪些线段的长？

32．在锐角△ABC中，∠A=52°，边AB、AC的垂直平分线相交于点O，求∠BOC的大小．

33．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE垂足为E，AD⊥CE垂足为D，AD=2.5cm，BE=1.7cm，求DE的长．

34．已知，如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，若AD=BD，DE=DC，求证：

∠1=∠C．

35．在△ABC中，点D为BC上一点，连接AD，点E在线段AD上，并且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：

AD垂直平分BC．

36．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．求证：

CE=CF．

37．如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PE⊥OA交OA于E，PF⊥OB交OB于F，Q是OC上的另一点，连接QE，QF．求证：

QE=QF．

38．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，DE⊥AB于点E，

AC=7cm，△DEB的周长为12cm．

（1）求证：

AC=AE；

（2）求△ABC的周长．

39．求证：

任意一个三角形的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上．

40．如图，△ABC中，∠B=25°，∠C=40°，AB的垂直平分线DN交BC于D，AC的垂直平分线EF交BC于E，连接AD、AE．求△ADE各内角的度数．

40．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．

（1）若BC=5，则△ADE周长是多少？

为什么？

（2）若∠BAC=120°，则∠DAE的度数是多少？

为什么？

41．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=65°，AB=12，BC=10，DE垂直平分AB交AC、AB于E、D两点．求：

（1）∠EBC的度数；

（2）△BCE的周长．

42．已知：

如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：

∠B=∠E．

43．如图

（1），在△ABC中中，直线ME垂直平分AB，分别交AB、BC于点E、M，直线NF垂直平分AC，分别交AC、BC于点F、N．

（1）求证：

△AMN的周长等于BC的长；

（2）结合

（1）的启发，解决下列问题：

如图

（2），在∠AOB=60°内部有一定点P，且OP=4，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD周长最短，并求出最短周长．

44．如图所示．△ABC的高AD与BE相交于H，且BH=AC．求证：

∠BCH=∠ABC．

45．如图，已知∠ACB=90°，点D是AB上一点，若DB=DC．求证：

点D是AB的中点．

46．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点M，证明：

△BCD是等腰三角形．

47．（2002•哈尔滨）已知：

如图，在四边形ABCD中，E是AC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：

∠5=∠6．

48．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交BC于D，△ABC的周长是30，△ABD的周长为20，求AE的长．

49．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N，

（1）若△CMN的周长为18cm，求AB的长．

（2）若∠MCN=48°，求∠ACB的度数．

112．两两相交的三条公路经过A、B、C三个村庄．

（1）要建一个水电站P到三个村庄的距离相等，请通过画图确定点P的位置．

（2）要建一个加油站Q，使加油站Q到三条公路的距离相等，这样的加油站Q的位置有处．

50．

（1）已知：

如图RT△ABC中，∠ACB=90°，ED垂直平分AC交AB与D，求证：

DA=DB=DC．

（2）利用上面小题的结论，继续研究：

如图，点P是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥FH于M，PN⊥FG于N，FP与MN交于点K．当P运动到某处时，MN与FP正好互相垂直，请问此时FP平分∠HFG吗？

请说明理由．

51．利用网格线用三角尺画图，

（1）在图中找一点O，使得OA=OB=OC；

（2）在AC上找一点P，使得P到AB、BC的距离相等；（3）在射线BP上找一点Q，使得QA=QC．

2．（2004•宜昌）已知：

如图，点C、D在△ABE的边BE上，BC=ED，AB=AE．求证：

AC=AD．

53．如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，且AE平分∠BAC，如果∠B=30°，求∠C的度数．

54．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于D、E点．MN垂直平分AC，分别交AC、BC于M、N点．

（1）若∠BAC=100°，求∠EAN的度数；

（2）若∠BAC=70°，求∠EAN的度数；（3）若∠BAC=α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．

55．如图，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线．

（1）若∠A=90°，求∠ABC和∠CDE的度数；

（2）若AC=9，△ADB的周长为15，求AB的长．

56．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长．

57．如图，在△ABC中，BC＞AC，∠C=90°．

（1）在BC上作点M，使点M到点A，B的距离相等．（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）当满足

（1）的点M到AB，AC两边的距离相等时，求∠B的度数．

58．操作与解答：

如图，只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写作法）：

①P到A、B两点的距离相等；②点P到∠MON两边的距离相等．

59．（2005•遵义）如图，△ABC中，AB=AC=1，BD平分∠ABC，且∠A=36°，请你仔细观察图形，提出一个与点D相关的结论，并进行证明或计算．

60．（59．已知：

△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：

（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．

（2）通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB-∠B之间的关系应为：

（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么

（2）中的结论仍然成立吗？

为什么？

61．（2004•嘉兴）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E．已知：

DA=DC，E为AC中点．求证：

（1）AC⊥BD；

（2）∠ABD=∠CBD．

62．如图所示，A、B两村在一条公路的同一侧，现在要在路边建一垃圾回收站．

（1）若要使垃圾回收站M到两村的距离之和最短，回收站M应选在哪个位置最为合适？

（2）若要使垃圾回收站MM到两村的距离相等，回收站M应选在哪个位置最为合适？

（在图中作出M的位置，并保留作图痕迹）

63．如图，为了做好2013年沈阳全运会起降的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后再到B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？

64．体育课上有这样一个游戏，从A点起跑，跑到直线l上某一点抱一个篮球，先后经过B点和C点，再回到点A．要想赢得比赛，请你设计出最短路线．在图中用实线画出路线，并将篮球的位置用O表明．

65．A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）

66．如图，P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求作一点M，使△PQM的周长最短（不写作法）．

67．如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ最短．

68．根据要求画出图形：

（1）作出下图中△ABC的中线AD、角平分线BE；（保留作图痕迹，不必写出作法）

（2）如图所示，E、F分别是△ABC的边AB、AC的两定点，在BC上求一点M，使△MEF的周长最短．

69．茅坪民族中学八

（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

70．如图，DE是等腰△ABC的腰AB的垂直平分线，交AB于D，交AC于E，若∠C=70°，求∠AEB的大小．

71．如图，在△ABC中，AB=3cm，AC=5cm．

（1）作图，作BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D、E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在

（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．

72．（2008•清远）如图，在△ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长．

73．（2011•株洲）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．

（1）求∠ECD的度数；

（2）若CE=5，求BC长．

74．（2002•龙岩）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1=∠B，AD=DE，求证：

△ADB≌△DEC．

75．（2003•无锡）已知：

如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是AD延长线上一点，连BE、CE．求证：

BE=CE．

76．（2003•河南）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：

AB垂直平分DF．

77．（1999•海淀区）已知：

如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E．若∠A=30°，DE=2，求∠DBC的度数和CD的长．

78．已知，如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？

如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．

79．（1997•山东）如图，在△ABC中，∠B=22.5°，边AB的垂直平分线交BC于D，DF⊥AC于F，并与BC边上的高AE交于G．求证：

EG=EC．

80．（1997•安徽）△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：

AD垂直平分EF．

81．（2013•宜昌模拟）如图：

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，∠A=30°，边AB的垂直平分线和AC相交于点M，和AB相交于点N．

（1）作出直线MN（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求线段MN的长．

82．如图，A处在C处的北偏西30°方向，B处在C处的北偏东45°方向，A处在B处的北偏西70°方向，求∠BAC．

83．如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？

84．（2011•福建）如图，AC=AD，∠BAC=∠BAD，点E在AB上．

（1）你能找出哪几对全等的三角形；

（2）请写出一对全等三角形，并证明．

85．（2011•北海）如图，已知CA=CD，∠1=∠2．

（1）请你添加一个条件使△ABC≌△DEC，你添加的条件是；

（2）添加条件后请证明△ABC≌△DEC．

86．如图AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E交AD于D，交BC于点C．求证：

AD+BC=AB．

87．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：

①AM平分∠DAB，②AD=AB+CD．

88．（2010•漳州）如图，AD∥BC，∠A=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AD于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，求证：

AB=FC．

89．273．如图所示．△ABC的高AD与BE相交于H，且BH=AC．求证：

∠BCH=∠ABC．

90．（2013•邵阳）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．

（1）求证：

CF∥AB；

（2）求∠DFC的度数．

91．（2002•汕头）如图．已知CE⊥AB，DF⊥AB，点E、F分别为垂足，且AC∥BD．

（1）根据所给的条件，指出△ACE和△BDF具有什么关系，请对你的结论给予说明．

（2）若△ACE和△BDF不全等，请补充一个条件，使这两个三角形全等，并给出证明．

92．（2013•陕西）如图，∠AOB=90°，OA=OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．求证：

AC=OD．

93．（2013•泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：

BE=CF．

94．（2000•吉林）如图，已知AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB．求证：

△EAD≌△CAB．

95．（2000•黑龙江）如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证：

△ADE≌△CFE．

96．（2014•台湾）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由．

97．.如图，点O是△ABC内一点，连接0B和OC．

（1）你能说明0B+OC＜AB+AC吗？

（2）若AB=5，AC=6，BC=7，你能写出OB+OC的取值范围吗？

98．（2010•宁德）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：

，并给予证明．

99．（2009•峨边县模拟）将一个45°角的直角三角板ABC和一把直尺按图示的位置放在一起，其中直角的顶点C在直尺上，如果分别过A、B两点向直尺作两条垂线段AM和BN．试探索线段AM、BN、MN之间的关系，并说明理由．

100．一条大河两岸的A、B处分别立着高压线铁塔，如图所示．假设河的两岸平行，你在河的南岸，请利用现有的自然条件、皮尺和标杆，并结合你学过的全等三角形的知识，设计一个不过河便能测量河的宽度的好办法．（要求，画出示意图，并标出字母，结合图形简要叙述你的方案）

101．如图，欲计算河中礁石（A点）离岸边B点的距离，请先采用如下方法画图：

顺河取一线段BC，在岸上画∠CBE=∠CBA，∠BCF=∠BCA，BE交CF于点D，则BD的长即为A到B的距离．（CBA、BCA的度数可由测角仪量得）然后根据所画图形说明理由．

102．如图所示，两根旗杆间相距12m，某人从B点沿BA走向A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，求这个人运动了多长时间？

103．如图1，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过D作DE∥AB，使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离．请你说明道理．你还能想出其他方法吗？

请把你的设计画在图2上．

104．如图，两根旗杆AC，BD相距10米，旗杆AC高3米，且AC⊥AB，BD⊥AB，一同学从B点出发向A点走去，当他走到点M时，发现自己刚好走了3米，此时他仰望旗杆的顶点C，D，又发现两条视线CM=DM．

（1）求旗杆BD的高为多少米？

（2）两条视线CM，DM有怎样的位置关系？

请说明理由．

105．综合应