嵩县五高二年级数学导学案.doc

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嵩县五高二年级数学导学案

编写人：

孙书团审核人：

张迎会时间：

2013年3月

第二章推理与证明

课题：

2.1.1合情推理

（一）——归纳推理

教学目标：

1、体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.理解归纳推理是从特殊到一般的推理方法，知道它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点：

了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：

用归纳进行推理，做出猜想。

问题引入

1、推理-

2、据推理的结构形式上表现出不同的特点可分为与。

3、三角形的内角和是，凸四边形的内角和是，凸五边形的内角和是由此我们猜想：

凸边形的内角和是。

3、，由此我们猜想：

（均为正实数）

归纳推理.（简称：

归纳）-

归纳推理的一般步骤：

⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；

⑵提出带有规律性的结论，即猜想；

⑶检验猜想。

实验，观察

概括，推广

猜测一般性结论

问题探究

例1已知数列的通项公式，，试通过计算的值，推测出的值。

【学生讨论：

】（学生讨论结果预测如下）

（1）

由此猜想，

学生讨论：

1）哥德巴赫猜想：

任何大于2的偶数可以表示为两个素数的之和。

2）三根针上有若干个金属片的问题。

课堂练习：

1、已知，经计算:

，推测当时，有__________________________.

2、已知：

，。

观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之。

3、观察

（1）

（2）。

课堂小结：

1.

2.归纳推理的一般步骤：

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编写人：

孙书团审核人：

张迎会时间：

2013年3月

课题：

2.1.1合情推理

（二）——类比推理

教学目标：

1、了解合类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

（教学重点）

2、用类比进行推理，做出猜想。

（教学难点）

问题导入

1、从一个传说说起：

春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）发明了锯子.这个推理过程是归纳推理吗？

问题探究

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：

猜想不等式的性质：

（1）a=bÞa+c=b+c;

（1）a＞bÞa+c＞b+c;

（2）a=bÞac=bc;

（2）a＞bÞac＞bc;

（3）a=bÞa2=b2;等等。

（3）a＞bÞa2＞b2;等等。

问：

这样猜想出的结论是否一定正确？

例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.

圆的性质

球的性质

圆心与弦（不是直径）的中点的连线垂直于弦

球心与截面圆（不是大圆）的圆点的连线垂直于截面圆

与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长

与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大

圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

经过切点且垂直于切面的直线必经过球心

类比推理是由特殊到特殊的推理．

类比推理的一般步骤：

⑴⑵⑶即

观察、比较

联想、类推

猜想新结论

课堂练习

1．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

直角三角形

 3个面两两垂直的四面体

∠C＝90°

3个边的长度a，b，c

2条直角边a，b和1条斜边c

 ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°

4个面的面积S1，S2，S3和S

3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S

课堂小结：

1.2.

嵩县五高第二学期高二理科数学导学案

孙书团编写张迎会审核班级______姓名_____

课题§2.1.2演绎推理

学习目标

1、结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；

2、掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.

问题导学

1、归纳推理是由到的推理.

类比推理是由到的推理.

2、合情推理的结论.

3、演绎推理的概念为:

4、“三段论”是演绎推理的一般模式：

大前提——；

小前提——；结论——

问题探究

例1把下列推理恢复成完全的三段论:

1、边长分别为3,4,5的△ABC,△ABC则是直角三角形.

2、函数y=2x+1的图象是一条直线.

例2下面的推理形式正确吗？

推理的结论正确吗？

为什么？

所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）

菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）

菱形是正多边形.（结论）

例3在锐角三角形ABC中，，D，E是垂足.

求证：

AB的中点M到D，E的距离相等.

例4证明函数在上是增函数.

课堂练习

1.因为指数函数是增函数，是指数函数，则是增函数.这个结论是错误的，这是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

3.有一段演绎推理是这样的：

“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

4.归纳推理是由到的推理；

类比推理是由到的推理；演绎推理是由到的推理.

5.合情推理的结论；演绎推理的结论

6.用三段论证明：

通项公式为的数列是等比数列.

7.在中，，CD是AB边上的高，求证.

证明：

在中，，

所以，

于是.

指出上面证明过程中的错误.

8、用三段论证明：

在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，则.

9、用三段论证明：

为奇函数.

课堂小结

1.合情推理；结论不一定正确.

2.演绎推理：

由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.

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编写人：

孙书团审核人：

张迎会时间：

2013年3月

课题：

2.2.1综合法分析法

（一）

教学目标：

理解综合法，会用综合法解题

问题导学

1、这个证明方法叫综合法。

（也叫顺推证法或由因导果法）

问题探究

例1、已知a,b,c是不全相等的正数，

求证：

a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc

证：

∵b2+c2≥2bc,a>0,∴a（b2+c2）≥2abc

同理：

b（c2+a2）≥2abc,c（a2+b2）≥2abc

∴a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）≥6abc

当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a,b,c是不全相等的正数

∴三式不同时取等号，三式相加得a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc

例2、a,b,cÎR,求证：

1°

2°

3°

证：

1°、法一：

,两式相乘即得。

法二：

左边

≥3+2+2+2=9

2°、∵

两式相乘即得

3°、由上题：

∴，即：

例3、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：

证明：

左－右=2（ab+bc－ac），∵a，b，c成等比数列，∴

又∵a，b，c都是正数，所以≤，∴

∴∴

课堂练习

1、设a,b,cÎR，1°求证：

2°求证：

3°若a+b=1,求证：

2、设a>0,b>0,c>0且a+b+c=1,求证：

8abc≤（1-a）（1-b）（1-c）.

3、设a,b,c为一个不等边三角形的三边，求证：

abc>（b+c-a）（a+b-c）（c+a-b）.

4、已知a,bÎR+，求证：

5、设a>0,b>0，且a+b=1，求证：

课堂小结

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2013年3月

课题：

2.2.1综合法分析法

（二）

问题导入

1、这个证明方法叫综合法。

（也叫顺推证法或由因导果法）

2、这个执果所因的思考证明方法叫分析法。

问题探究

例1、求证：

证：

分析法：

综合表述：

∵∵21<25

只需证明：

∴

展开得：

∴

即：

∴

∴∴

即：

21<25（显然成立）∴

∴

例2、设x>0，y>0，证明不等式：

证一：

（分析法）所证不等式即：

即：

即：

只需证：

∵成立

∴

证二：

（综合法）∵

∵x>0，y>0，∴

例3、已知：

a+b+c=0，求证：

ab+bc+ca≤0

证一：

（综合法）∵a+b+c=0∴（a+b+c）2=0

展开得：

∴ab+bc+ca≤0

证二：

（分析法）要证ab+bc+ca≤0∵a+b+c=0

故只需证ab+bc+ca≤（a+b+c）2

即证：

即：

（显然）

∴原式成立

证三：

∵a+b+c=0∴-c=a+b

∴ab+bc+ca=ab+（a+b）c=ab-（a+b）2=-a2-b2-ab=

例4、已知，求证：

，并求等号成立的条件。

分析：

不等式右边是常数，能用均值定理（一正、二定、三相等）

左==（看到了希望！

）

=（已知）

当时，由解出当时等号成立。

例5、a>0,b>0,且a+b=1,求证:

≤2.

证明:

≤2（a+）+（b+）+2·≤4

≤1ab+≤1ab+≤1ab≤

∵a>0,b>0,且a+b=1,∴ab≤（）2=成立，故≤2.

课堂练习

1.求证:

.

2、若a,b>0,2c>a+b,求证:

（1）c2>ab；

（2）c-

3、求证:

a,b,c∈R+,求证:

4、设a,b,c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：

课堂小结

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2013年3月

课题：

2.2.2.反证法

教学目标：

理解反证法，会用反证法解题

问题导学

1、反证法。

即通过否定原结论――导出矛盾―――从而达到肯定原结论的目的。

问题探究

例1、若x,y>0，且x+y>2，则和中至少有一个小于2。

反设≥2，≥2∵x,y>0，可得x+y≤2与x+y>2矛盾，∴原式成立

例2、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：

a,b,c>0

证：

（1）设a<0,∵abc>0,∴bc<0

又由a+b+c>0,则b+c=-a>0

∴ab+bc+ca=a（b+c）+bc<0与题设矛盾

（2）若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可证：

b>0,c>0

例3、设0

（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a,不可能同时大于

证：

设（1-a）b>,（1-b）c>,（1-c）a>,

则三式相乘：

（1-a）b•（1-b）c•（1-c）a>①

又∵0

同理：

以上三式相乘：

（1-a）a•（1-b）b•（1-c）c≤与①矛盾.

∴（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a,不可能同时大于

例4、若a,b,c,dÎR+，求证：

证：

记m=

∵a,b,c,dÎR+

∴

∴1

例5、当n>2时，求证：

证：

∵n>2∴

，∴n>2时,

例6、求证：

证：

∵

∴

思考：

若把不等式的右边改成或，你可以证明吗？

例7、求证：

证：

∵|a+b|≤|a|+|b||a|+|b|-|a+b|≥0,

课堂练习

1、设0

（2-a）c,（2-b）a,（2-c）b,不可能同时大于1

2、设试证明:

3、设求证：

中至少有一个不小于

4、设x>0,y>0,,，求证：

a

5、证明：

6、证明：

lg9•lg11<1

7、证明：

若a>b>c,则

课堂小结

课堂小结

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2013年3月

课题：

2.3数学归纳法及其应用举例

教学目标

1．使学生了解归纳法,理解数学归纳的原理与实质．（教学重点）

2．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．

问题导学

不完全归纳法：

-

完全归纳法：

问题探究

1、已知＝（n∈N），

（1）分别求；；；．

（2）由此你能得到一个什么结论？

这个结论正确吗？

2、费马（Fermat）推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．

3、,当n∈N时，是否都为质数？

验证：

f（0）＝41，f

（1）＝43，f

（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1601．但是f（40）＝1681＝，是合数．

4、播放多米诺骨牌录像

5、证明等差数列通项公式：

（1）；

（2）,即,则=,即n＝k＋1时等式也成立。

可下结论：

等差数列的通项公式对任何n∈都成立．

证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：

（1）；

（2）．

完成这两个步骤后,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都正确．这种证明方法叫做数学归纳法．

6、例1、在数列{}中,＝1,（n∈）,先计算，，的值，再推测通项的公式,最后证明你的结论．

课堂练习：

1、用数学归纳法证明：

1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝．

2、首项是，公比是q的等比数列的通项公式是．

3、用数学归纳法证明：

（n∈）时,其中第二步采用下面的证法：

设n＝k时等式成立,即,则当n＝k＋1时,．

你认为上面的证明正确吗？

为什么？

课堂小结：

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2013年3月

第三章数系的扩充与复数的概念

课题：

3.1.1数系的扩充与复数的概念

教学目标

（1）了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位的必要性和作用。

（重点）

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．（难点）

教学，：

复数的基本概念以及复数相等的充要条件．

问题导学

1、数的概念的发展

2、虚数单位规定：

①；②

3、复数概念及复数集

形如叫做复数．叫做复数集，一般用字母来表示，

即．显然有N*NZQRC．

4、复数的有关概念

1）复数的表示：

2）虚数和纯虚数

①复数（），，就是实数．

②复数（），当时，叫做虚数

特别的，当叫做纯虚数

3）复数集的分类

4）两复数相等的充要条件

5）两个复数不能比较大小：

问题探究

1．例1．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．

例2．实数取什么值时，复数是

（1）实数？

（2）虚数？

（3）纯虚数？

例3．已知，求实数的值

课堂练习1、已知，复数，当为何值时：

（1）；

（2）是虚数；（3）是纯虚数．

思考：

是复数为纯虚数的充分条件吗？

答：

不

2、已知，求复数．

3、已知复数，且，则．

课题小结：

1、2、

嵩县五高二年级数学导学案

第四章编写人：

孙书团审核人：

张迎会时间：

2013年3月

课题：

3.1.2复数的几何意义

掌握复数的加法运算及意义

过程与方法：

理解并掌握实数进行四则运算的规律

教学目的：

知识与技能：

掌握复数的加法运算及意义

过程与方法：

理解并掌握实数进行四则运算的规律

情感、态度与价值观：

理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念

教学重点：

复数加法运算．

教学难点：

复数加法运算的运算率。

教学过程

课题

复数的四则运算

课型

新授

教学目的：

知识与技能：

掌握复数的加法运算及意义

过程与方法：

理解并掌握实数进行四则运算的规律

情感、态度与价值观：

理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念

教学重点：

复数加法运算．

教学难点：

复数加法运算的运算率。

教学过程

备课札记

讲解新课：

１．复数z1与z2的和的定义：

z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i.

2.复数z1与z2的差的定义：

z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i.

3.复数的加法运算满足交换律:

z1+z2=z2+z1.

证明：

设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R）.

∵z1+z2=（a1+b1i）+（a2+b2i）=（a1+a2）+（b1+b2）i.

z2+z1=（a2+b2i）+（a1+b1i）=（a2+a1）+（b2+b1）i.

又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.

∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.

4.复数的加法运算满足结合律:

（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）

讲解范例：

例1计算：

（1-3i）-（2+5i）+（-4+9i）

例2计算：

（1－2i）+（－2+3i）+（3－4i）+（－4+5i）+…+（－2002+2003i）+（2003－2004i）

解法一：

原式=（1－2+3－4+…－2002+2003）+（－2+3－4+5+…+2003－2004i）=（2003－1001）+（1001－2004）i=1002－1003i.

解法二：

∵（1－2i）+（－2+3i）=－1+i，（3－4i）+（－4+5i）=－1+i，

……

（2001－2002i）+（－2002+2003）i=－1+i.

相加得（共有1001个式子）：

原式=1001（－1+i）+（2003－2004i）

=（2003－1001）+（1001－2004）i=1002－1003i

4．乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i.

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

2.乘法运算律：

（1）z1（z2z3）=（z1z2）z3

（2）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3（3）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3.

例3计算（-2-i）（3-2i）（-1+3i）

例4.计算（a+bi）（a-bi）

5*.共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

课后作业：

复数的乘法法则是：

（a+bi）（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i.　复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.

教后反思：

课题

复数的四则运算

（2）

课型