五年级下学期培优.docx
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专题一数的整除特征
知识对对碰
1.常见数整除的特征
（1）能被11整除的数的特征。
奇位数字之和与偶位数字之和相减（以大减小）的差是11的倍数。
（2）能被7（11或13）整除的数的特征：
最后三位数与其余各位数所组成的数相减（以大减小），所得差是0，这个数既能被7整除．；也能被11（或13）整除。
如果所得的差是7（11或13）的倍数，这个数就能被7（11或13）整除。
（3）能被3（或9）整除的数的特征：
各位数字之和为3（或9）的倍数。
（4）能被4（或25）整除的数的特征：
末两位数为4（或25）的倍数。
（5）能被8（或125）整除的数的特征：
末三位数为8（或125）的倍数。
（6）能被6整除的数的特征：
这个数既是2的倍数，又是3的倍数。
2.数整除的性质
（1）如果数a，b都能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
（2）如果数a能被数b整除，c是整数，那么口c也能被b整除。
（3）如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除。
（4）如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除。
名题典中题
例1（★）判断25102能不能被7或11或13整除。
例2（★）在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除。
例3（★）自然数N由两种数字O和8组成，且是15的倍数。
当N可能小时，它是15的多少倍？
例4（★）在685后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，符合条件的最小六位数是多少？
例5（★）已知一个五位数□l691□能被55整除，那么符合题意的五位数是几？
例6（★★）四个学生同时做加法练习，老师在黑板上写出了一个六位数，然后把它的个位数字（不等于0）拿到这个数最左边得到一个新的六位数，老师要求将这个新得的六位数与原来的六位数相加，结果，他们四个人的得数分别是172536，568741，620708,845267。
问：
在这些答案中哪一个可能是正确的？
为什么？
例7（★★）试将1，2，3，4，5，6，7分别填人下面的方框中，每个数字只用1次：
（这是一个三位数）
□□□（这是一个三位数）
□（这是一位数）
使得这三个数中任意两个都互质，其中一个三位数已填好，它是714。
例8（★★★）三个连续自然数在100～200之间，其中最小的三位数能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，试写出所有这样的三个自然数。
例9（★★★）如果下面这个41位数能被7整除，那么中间方格内的数字是几？
例10（★★★）用0，1，2，…，9十个数字，各用1次，组成一个十位数。
将这个十位数依次分成三段，每一段不少于三位数。
第一段的数分别能被1，2，3整除；第二段的数分别能被4，5，6整除，第三段的数分别能被7，8，9整除，那么第一段的数是多少？
（只要求写1个答案）
魔法训练营
1．在25□79这个数的口内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填____。
2．在下式□中分别填入三个质数，使等式成立。
□+□+□=50
3．有55块糖分给甲、乙、丙三个人，甲分的块数是乙的2倍，丙最少，但也多于10块，三个人各分到糖多少块？
4．把7，14，20，21，28，30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。
5．一个三位数减去它的各个数位的数字之和，其差还是一个三位数，求是多少。
6．用数字1～9组成九位数，左起第一位能被1整除，前两位能被2整除，前三位能被3整除……前九位能被9整除。
已知第七位是7，求这个九位数。
7.173□是个四位数，在□中先后填人三个数字，所得到的三个四位数依次可被9，11，6整除，问先后填入的三个数字的和是多少。
8．在□内填上合适的数，使五位数7□36□能被15整除，共有几种不同的填法？
9．小明的妈妈要到银行去取钱，可是她忘了存折的密码，她记得密码是六位数，头三位是586，而且这个六位数能同时被3、4、5整除，且是符合条件中最小的一个。
聪明的同学们，你能帮助小明的妈妈回忆起存折的密码吗？
10.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是多少？
专题二质数、合数及分解质因数
知识对对碰
1.概念
质数：
一个数除了1和它本身没有别的约数，这个数叫做质数，如5，7，29。
合数：
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数，如20，45，30。
互质数：
公约数只有1的两个数叫做互质数。
分解质因数：
把一个合数用质因数相乘的形式表示，叫做分解质因数。
如12=2×2×3。
这时2和3都是12的质因数。
2.性质
（1）任何大于1的合数都能表示成质数的乘积。
（2）1既不是质数，也不是合数；
质数有无限多个；
最小的质数是2；
在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数；
每个质数只有两个约数：
l和它本身。
（3）如果一个质数是某个数的约数，就说这个质数是这个数的质因数。
（4）合数有无限多个；
最小的合数是4；
每个合数至少有三个约数。
（5）如果把相同的质因数合并为它的幂，则任意大于1的整数N只能唯一地表示成：
是自然数，它们分别是P1，P2，…，Pn的指数），此式称为Ⅳ的标准分解式。
3.分解质因数的方法
主要是短除法（在小学阶段），试除时一般从最小质数开始。
名题典中典
例1（★）连续9个自然数中至多有几个质数？
例2（★）边长为自然数，面积为165的形状不同的长方形共有多少种？
例3（★）某小学六年级（4）班王老师带领学生参加植树活动，全班学生恰好平均分成3个小组。
老师与学生每人种同样棵数的树，一共种了364棵。
问六（4）班有学生多少人，每人种树多少棵？
例4（★）五个相邻自然数的积是55440，求这五个自然数。
例5（★★）如图4-1，4个小三角形的顶点处有6个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上一个质数，它们的和是20，且每个小三角形顶点的数之和相等。
问这6个质数的积是多少？
例6（★★）100×101×102×…×2001×2002的末尾有多少个连续的0？
例7（★★）已知，其中p、q为质数，且P、q均小于1000，奇数，求的最大值。
例8（★★）a、b、c都是质数，如果（a+b）×（b+c）=342，求a、b、c。
例9（★★）问360中共有多少个约数。
例10（★★）一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平方数。
例11（★★）把后面8个数14，30，33，35，39，75，143，169等分成两组，使每组中四个数的乘积相等。
例12（★★★）已知a×（b+c）=209，请把a,b,c各换成一个质数，使前面的等式成立。
魔法训练营
1.2340有多少个约数？
2．有两个质数的和是33，求这两个质数的积。
3．四年级某学生参加数学竞赛，他获得的名次、他的年龄、他得的分数三项的乘积是2910，这个学生得第几名？
分数是多少？
4．已知自然数1111155555是两个连续奇数的积，这两个连续奇数的和是多少？
5．原价5元一本的书，降低几角钱出售，共得款235元。
那么售出书多少本？
6．有两个质数，它们的和既是一个小于100的奇数，又是13的倍数，这是两个怎样的质数？
7．a与b是两个大于1的自然数，a+2b，a+4b，a+6b，a+8b，a+10b都是质数。
则a+b=____。
8．两个相邻自然数的积是1980，求这两个相邻的自然数。
9．在下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字，被盖住的四个数字的总和是多少？
10.在乘积1000×999×998×…×3×2×l中，末尾连续有多少个零？
11.用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成几个质数？
12.有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，而且这三个自然数的乘积是15400，求这三个自然数。
专题三最大公约数和最小公倍数
知识对对碰
1.基本知识
（1）约数与最大公约数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，所有的公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
自然数a，b的最大公约数记作（a，b），例如（12，8）=4，（4，6，10）=2。
如果（a，b）=l，则a与b互质。
如果a是b的倍数，则（a，b）=b。
自然数a能被自然数b整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。
（2）倍数与最小公倍数
几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
一般用符号[a，b]表示a，b的最小公倍数，例如：
[4，10]=20。
（3）求解方法
①求最大公约数常用的方法：
短除法，列举法，分解质因数法，辗转相除法。
②求最小公倍数常用的方法：
短除法，分解质因数法，列举法，最大公约数法。
2.性质
（1）两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。
如果（a，b）=d，c|d，那么c|a，c|b。
（2）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的。
如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）=1。
（3）若一个数c能同时被两个自然数a，b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除。
或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。
（4）两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
例1（★）已知两个数分别是4和B，已知4=2×2×3×5．B=2×3×3×5，求A，B的最大公约数。
例2（★）一箱图书可以平均分给2，3，4，5，6名小朋友，这箱图书最少有多少本？
例3（★）三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是半分钟，45秒钟和1分15秒钟，三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次同时在起点相会？
例4（★）在1500-8000之间能同时被12，18，24和42四个数整除的自然数共有多少个？
例5（★）将一块长3.57米，宽1.05米，高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积最大？
（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）
例6（★）加工某种机器零件，要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时可完成6个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个零件，第三道工序每个工人每小时可完成15个零件，要使加工生产均衡，试设计三道工序工人人数的分配方案。
例7（★★）有3根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.6倍，是第三根的一半，第三根比第二根长220厘米。
现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问共可以截成多少段。
例8（★★）四
（1）班学生分组做游戏，如果每3人一组就多出1人，如果每4人一组就多出2人，如果每5人一组就多出3人。
问：
这个班至少有多少个学生？
例9（★★）一支队伍不超过1000人，列队时分别按2人、3人、4人、5人、6人一排，最后一排都缺1人，改为7人一排时正好。
问：
这支队伍共有多少人？
例10（★★）用自然数a去除374，410，464，得到相同的余数。
a最大是多少？
例11（★★★）两个自然数的差是27，它们的最大公约数与最小公倍数的和是1179。
那么这两个数的和是_________。
魔法训练营
1．A、B两个数都恰恰只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和等于多少？
2．有12分米长的铁丝12根，18分米长的铁丝9根，24分米长的铁丝10根。
现在要把它们截成一样长的铁丝，不能浪费，截下的铁丝要最长，铁丝长是多少分米？
可以截成多少根？
3．有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干小学生。
学生人数在30～50之间，分到最后余铅笔13支、橡皮8块，问小学生究竟有多少人。
4．把一张长147厘米、宽105厘米的长方形纸截成大小一样且长与宽之比是5:
3的长方形纸，且没有剩余，问最少可截成几张。
5．现有252个红球，396个蓝球，498个黄球。
把它们分组装在n个袋子里，要求每个袋子里都有红、黄、蓝三种颜色的球，而且每个袋子里的红球数相同，黄球数相同，蓝球数也相同。
求n最大是几。
6．一箱鸡蛋，两个两个数、三个三个数、四个四个数、五个五个数、六个六个数均多出一个，如果七个七个数正好数尽，问这箱鸡蛋至少有多少个。
7．六年级学生参加植树活动，人数在30和50之间。
如果分成3人一组、4人一组、6人一组或8人一组，都恰好分完。
六年级参加植树活动的学生有多少人？
8．用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块多少块？
9．某班学生参加一次考试，成绩分为优、良、中、下四等。
已知该班有的学生得优，有的学生得良，有的学生得中，其余学生得下。
该班学生人数不超过60人，该班得下的学生有多少人？
10.从甲地到乙地原来每隔45米安装一根电线杆，加上两端的共53根。
现在改为每隔60米安装一根，除两端的两根不必移动外，中间还有多少根不必移动？
11.甲校和乙校有同样多的同学参加数学竞赛，学校用汽车把学生送往考场。
甲校用的汽车，每车坐15人；乙校用的汽车，每车坐13人，结果甲校比乙校少派一辆汽车。
后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了。
最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，乙校又要比甲校多派一辆汽车。
问最后两校共有多少人参加竞赛。
12.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整时响一次铃，中午12时整，电子钟既响铃又亮灯，问：
下一次既响铃又亮灯是几时？
13.大雪后的一天，小飞和爷爷共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，小飞每步长48厘米，爷爷每步长72厘米，由于两人脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下40个脚印，求花圃的周长。
14.有两个油桶，一个容积为27升，另一个容积为15升，只利用这两个油桶怎样从一个大油桶中倒出6升油来？
逻辑学的用处
有个学生请教数学家逻辑学有什么用。
数学家问他：
“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个干干净净，你认为哪一个该去洗澡？
”
“当然是脏的那个。
”学生说。
“不对。
脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里会去洗澡！
”
这就是数学家的逻辑学。
专题四分数计算
知识对对碰
1.有关概念
最简分数：
分子和分母是互质数的分数叫做最简分数，也叫做既约分数。
分数化简：
根据分数的基本性质，把一个分数化为最简分数的过程，叫做分数化简。
约分：
把一个分数的分子和分母都除以它们的公约数（1除外），化成与原来分数相等的分数，这种运算叫做约分。
2.分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数值的大小不变。
分数的基本性质是通分的基础和依据。
3.约分方法
（1）逐次约分法。
把分数的分子和分母逐次除以它们的公约数，直到得出一个最简分数为止。
（2）一次约分法。
把分数的分子和分母都除以它们的最大公约数，就得到一个最简分数。
（3）辗转相除法。
当分子和分母都比较大时，一般先用辗转相除法求它们的最大公约数再约分。
4.比较分数的大小
对于分数和来说，如果，则;
如果，则;
如果则。
名题典中典
例1（★）一个分数的分子扩大为原来的2倍，分母不变，分数值会发生什么变化？
如果分数的分母扩大为原来的2倍，分子不变，分数值会发生什么变化？
例2（★）计算：
例3（★）计算：
例4（★）化简：
例5（★）化简：
例6（★）计算：
例7（★）把下面各分数化成小数。
例8（★）比较和的大小。
例9（★）一个真分数，分子、分母是两个连续自然数，如果分母加3，这个分数是，求原分数。
例10（★★）分母是1998的最简真分数有多少个？
例11（★★）比大，比小，分子是17的分数共有多少个？
魔法训练营
1．写出所有分子是l，分母是两位数，而且只能化成不循环部分有一位数字、循环节最少位数是2的混循环小数的分数来。
2．指出下面的分数，哪些能化成有限小数？
哪些能化成纯循环小数？
哪些能化成混循环小数？
有限小数的位数、不循环部分数字的个数、循环节最少位数各是几？
3．计算：
4．不求值比较和的大小。
5．要使成立，那么A最多可能表示为多少个不同的自然数？
6．在分数中，最大数是哪一个？
7．比较和的大小。
8．比1大，比2004小，分母是10的最简分数有多少个？
9．观察下面一串分数：
，则是第几个分数？
10.分母不大于50，分子不大于5的最简真分数有多少个？
11.分母是20的所有最简真分数的和是多少？
12.化简：
14.分子与分母都是不为0的自然数，而且分子、分母的和是十位上数字为2的两位数的质数，如果分母增加17，则得到的新分数化简后得，求原来的分数？
15．是最简真分数，a可取的整数有多少个？
请写出从小到大排的第五个数。
专题五棋盘中的数学
知识对对碰
所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（如图9-1
（1）），围棋盘（如图9—1
（2）），还有国际象棋棋盘（如图9-1（3））。
以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。
这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。
解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称为棋盘中的数学。
名题典中典
例1（★★）这是一个中国象棋盘，（图9-2中小方格都是相等的正方形，“河界”的宽等于小正方形的边长）黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置。
问：
这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？
例2（★★）如图9-4是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个方阵时，尚余12枚棋子，如果要将这个方阵改摆成每边各加一枚棋子正方阵，则差9枚棋子才能摆满。
问：
这堆棋子原有多少枚？
例3（★★）如图9-6
（1）是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入。
请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？
若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由。
例4（★★）国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子（中间没有棋子的情况下），如图9-7
（1）上虚线所示。
如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉。
那么，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？
例5（★★）如图9-8是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制二下（要符合象棋规则，“相”走“田”字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置。
“马”走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）。
例6（★★★）如图9-10
（1），在中国象棋盘上，乙方一只边卒已经过河，它可以向前移一步到8，也可以横行一步到A，要使这个小卒沿最短路线走到对方帅所在的位置（假定前进路上没任何阻难），问有多少种不同的走法。
例7（★★★）围棋盘上横竖各有19条线（如图9-12），在棋盘上组成许多大小不同的正方形，问其中有多少个和图中右侧小正方形大小一样的正方形（小正方形面积是这个围棋盘面积的）。
魔法训练营
1.如图9-16是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上，问：
共有多少种不同的放法？
2．如图9-17是象棋盘的一部分，一个小卒过河后沿最短的路线走到对方“帅”处，试问这小卒有多少种不同的走法。
3．如图9-18表示某城市的街道图，若从A走到日（只能由北往南，由西向东），问共有多少种不同的走法。
4．图9-19是一个道路图，4处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果最后有60个孩子到过路口B，问：
先后共有多少孩子到过路口C?
5．如图9-20，在5×5的棋盘上放了二十枚棋子，问：
以这些棋子为顶点的正方形共有多少个？
6．从8x8的方格棋盘（图9-21）中取出一个由三个小方格组成的“L”形（，可旋转），问有多少种不同的取法。
7．如图9-22在5x5棋盘格中，共有多少个正方形？
8．图9-23中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的三个点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
数学家刘徽
刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有重要的地位。
他的杰作《九章算术》和《海岛算经》是我国宝贵的数学遗产。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。
在许多方面：
如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但在此之前因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。
在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献。
他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。
在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法。
在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。
他利用割圆术科学地求出了圆周率是3.14的结果。
刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之
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