数学归纳法在中学数学中的应用0Word文档格式.docx
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西南大学数学与统计学院，重庆400715
摘要:
数学知识发生过程就是归纳思想应用过程，解题中应用归纳思想,不仅能由此发现给定问题的解题规律，而且能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的命题．本文先叙述了归纳的意义、类型，进而讨论以归纳法为主要工具，去探索和发现数学问题的解题途径．数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法，具有两种基本意义，首先数学归纳法是一种推理方法，称为归纳推理，它可以为我们提出猜想，为论证提供基础和依据．其次归纳是一种研究方法，归纳是一种又创造性的探索式思维方法，能开发智力，拓宽思路，引出猜想，它在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要作用．数学归纳法可按照它的概括事物是否完全分为两种基本形式——不完全归纳和完全归纳．本文还介绍了在数学解题过程中归纳发现的思考方法：
利用归纳法发现和提出数学猜想，利用归纳法发现问题的结论，运用归纳法发现解题途径等．
关键词：
数学归纳法；
不完全归纳法；
完全归纳法
Thesimplediscussionaboutmathematicalinductionandusinginhigh
schoolmath
weiFuxiong
schoolofmathematicsandstatistics,southwestuniversity,chongqing400715,china
Abstract:
Theoccurrenceprocessofmathematicalknowledgeispreciselytheapplicationprocessofinductivethinking.usinginductivethinkinginproblemsolving,notonlycanfindagivenlawforthisproblemsolving,butalsocanfindnewobjectivelawsbasedonpractise,putforwardanewproposition.Thisarticlefirstdescribesthesignificanceandtypeofinduction,andthendiscussinductionasthemaintool,toexploreanddiscovermathematicalproblemsolvingapproach.mathematicalinduction,assummarizedbythegeneralasaspecialwayofthinking,hastwobasicmeanings,thefirstmathematicalinductionisakindofreasoning,knownasinductivereasoning,itcanbringupussuppose,providethebasisandfoundationfortheargument.second,inductionisaresearchmethod,inductionisacreativeexplorationofanothertypeofthinking,candevelopintelligence,broadenthinking,leadstospeculation,itplaysanimportantroleinfindingtheproblemandwaystoexploretheprocessofproblemsolving.mathematicalinduction,inaccordancewithitsgeneralmatteriscompletelydividedintotwobasicforms-incompleteinductionandcompleteinduction.Thisarticlealsodescribestheprocessofmathematicsproblemsolvingwayofinductivemethodsofdiscovery:
usingmathematicalinductiontofindandputforwardmathematicalsuppose,usinginductiontofindconclusionsoftheproblems,usinginductiontofindproblem-solvingapproach.
Keywords:
mathematicalinduction;
incompleteinduction;
completeinduction
1、数学归纳法
1.1归纳法定义
大家知道，数学中的许多命题都和正整数n有关，这里所说的n，往往是指任意的一个自然数，因此，这样的一个问题也就是一整数命题．在数学问题中，每一类问题都有一种专门的方法来解决．数学归纳法可以说是解决有关整数问题的一种工具．归纳法是从个别的论断归结出一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法．归纳法的基础是观察与实践，它是人类认识自然、总结生活、生产经验、处理科学实验材料的一种十分重要而有普遍应用的思想方法．在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．流行于我国各地的农谚如“瑞雪兆丰年”、“霜下东风一日晴”等，就是农民根据多年的实践经验进行归纳的结果．物理学家、化学家的最基本的研究手段是实验和归纳．例如化学中的元素周期表，就是用归纳法发现真理的典型例证．再例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．数学归纳法是一种特殊的论证方法，他使我们能够在一些个别实例的基础上，对某个普遍规律做出论断．虽然说数学归纳法适用于有关整数的问题，但是它在很多数学问题中都有重大的作用，在中学数学中，很多不等式问题、几何问题、函数迭代问题、整除性问题用它来解决都能收到很好的效果．
数学归纳法证明问题的步骤是：
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：
（1）证明当n取第一个值n0时结论正确；
（2）假设当n＝k（k?
n?
，k≥n0）时结论正确,证明当n＝k＋1时结论也正确．
完成这两个步骤后,就可以断定命题对从ｎ?
开始的所有正整数n都正确．
1.2数学归纳法体现的数学思想
1.2.1从特殊到一般
“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，而在人类探索世界奥秘的奋斗中诞生和发展起来的任何一门学科，都将受到这一规律的制约．数学当然也不例外，同样要被纳入这一规律的模式之中．
由于事物的特殊性中包括着普遍性，即所谓共性存在于个性之中，而相对于“一般”而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知．另一方面，由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质，因而当我们在处理问题的时候，若能置待解决的问题于更为普遍的情形中，进而通过对一般情形的研究去处理特殊情形的思考方式，不仅是可行的，而且是必要的．
正因为如此，实践和归纳成了数学家寻找真理和发现真理的主要手段．如勾股定理，多面体的面顶棱公式，前n个自然数的立方和公式，二项展开式和杨辉三角形等，无一不是观察、实验和归纳的结果．伟大的数学家欧拉曾说“数学这门科学，同样需要观察、实验”．无独有偶，大数学家高斯也曾说过，他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是一个补行的手续．纵观古今，科学的发展史其实也是一部观察史、一部猜想史，更是一部论证史．数学的发展更是这样的．科学结论的得到大致包含以下几个阶段：
观察、实践→推广→猜测一般性结论→论证结论．而数学归纳法恰恰是论证结论的最佳方法．这与数学大师所说的“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上论证这一规律的一般性，这是人们认识自然的客观法则之一”的观点大致相同．
1.2.2递推思想
其中
（1）是递推的基础，没有它归纳假设就失去了依据，递推就没有奠基．
（2）是递推的根据，有了它无限次递推成为可能．所以数学归纳法的两个步骤缺一不可．数学归纳法证题的两个步骤虽然都是重要的但在证题时第一步较易第二步证明较难．解决的关键就是做从k到k＋1的转化工作,而这种转化工作往往涉及到代数、三角、几何等知识,有时还要用不同的方式进行．学生往往感到很困难,绞尽脑汁都难以完成这一步．针对这个问题本文把中学数学教材及一些常见教学参考资料中用数学归纳法证明的各种问题进行整理分类并以若干比较典型、比较困难的问题作为示例,探讨数学归纳法在中学数学中的应用．
2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧
2.1强调
2.1.1两条缺一不可
在这里，必须强调一下，在数学归纳法的步骤里，两条缺一不可．不要认为，一个命题在n＝1的时候，正确；
在n＝2的时候，正确；
在n＝3的时候也正确，就正确了．老实说，不要说当n＝3的时候正确还不算数，就算当n＝1000的时候正确，或者1万的时候正确，是不是对一切自然数都成立，还得证明了再说．不妨举两个例子：
例1费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈n时，
22n
＋１一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．因为当n
＝0，1，2，3，4时，它的值分别等于3，5，17，257，65537．这五个数都是素数．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（euler）却证明了225
＋１＝4294967297＝
6700417×
641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．后来，有人还证明了当n＝6，7，8，9的时候，式子的值也都不是素数．由此可见，数学归纳法的第
（2）步是至关重要的．
例2所有的正整数都相等．
这个命题显然是荒谬的，但是当我们丢开“当n＝1的时候，这个命题是正确的”不管，那么可以用数学归纳法来“证明”它．这里，第k号命题是：
“第k－1个正整数等于第k个正整数”，就是k－1＝k，两边都加上1，得到k＝k＋1．这就是说第k个正整数等于第k＋1个正整数，这不就证明了所有的正整数都相等吗？
错误就在于我们没有考虑当n＝1的情况．由此可见，验证初始值对数学归纳法证明问题时是非常重要的．
2.2技巧
2.2.1认真用好归纳假设
如果说在用数学归纳法证题时．归纳过渡是解题的关键，那么归纳假设就是过渡的基础，数学归纳法之所以显得有生命力，就是因为它避开了直接接触n的任意性，而把
篇二：
数学归纳法及其在图论中的应用
莆田学院
毕业论文
题
学生姓名余晶晶
学号
专业
班级数本054
指导教师
二00九年五月十日
0引言
（1）1数学归纳法的理论基础
（2）
1.1数学归纳法的理论基础是peano公理
（2）
1.2第一数学归纳法
（2）2数学归纳法的基本步骤
（2）
2.1n0的取值
（2）
2.2验证初值（3）3数学归纳法的其他形式（4）
3.1第二数学归纳法（4）
3.2跳跃数学归纳法（4）
3.3反向数学归纳法（6）
3.4二重数学归纳法（7）4数学归纳法原理在图论中的应用（8）
4.1对顶点数进行归纳证明（8）
4.2对边数进行归纳证明（9）
4.3对顶点集（或边集）的子集中的元素个数进行归纳证明?
?
（9）
4.4图论中其他与自然数有关命题的归纳证明（10）结束语（12）致谢（13）参考文献（13）
余晶晶
（数学与应用数学指导老师：
陈梅香）
摘要：
本文介绍了数学归纳法原理的两个基本步骤，以及由它的基本原理推导出的数学归纳法的其他
四种形式，包括：
第二数学归纳法、跳跃数学归纳法、反向数学归纳法、二重数学归纳法，并给出这四
个数学归纳法及其应用，并应用数学归纳法、证明图论中的图的顶点数、边数、顶点集或边集、距离、
途径等等各个方面与自然数n有关的命题。
数学归纳法形式归纳假设基本步骤图论
Abstract：
Thispaperintroducestheprincipleofmathematicalinductionofthetwobasicsteps,aswellasthe
basicprinciplesofitdeducethemathematicalinductionoftheotherfourforms,including:
secondmathematical
induction,jumpingmathematicalinduction,reversemathematicalinduction,doublemathematicalinduction,
andgivesthetheoremofthefourmathematicalinductionanditsapplications,andprovesomepropositionabout
naturalnumbernbymathematicalinductioningraphtheory,suchasthepropositionaboutverticesofthe
graph,edge,vertexsetoredgeset,distance,andsooningraphtheory.
mathematicalinductionforminductiveassumptionbasicstepgraphtheory
0引言
（n）数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题p的一种推理方法。
严格意义上的数学
归纳法产生于16世纪以后，意大利数学家莫罗利科首先对与自然数有关的命题作了深入的考察。
意大利数学家peano,giuseppe（1858-1932）于1889年在其著作《算数原理新方法》中提出了著名的自然数公理体系，其中欧冠的“归纳公理”成为数学归纳法的理论依据。
数学归纳法是数学中的一个重要的证明方法,也是中学数学的一个重要内容。
数学归纳法的发展几乎经历了整个数学的发展历程,从而也从一个侧面给出数学发展的缩影。
数学归纳法的产生、发展和确立的历史，一定程度上反映了数学产生与发展的历史，而且这是与人类文明的进程休戚相关，同时也显示出人们认识世界、改造世界的力量。
数学归纳法的产生经历了一个较长的历史时期。
在中学数学中的许多重要结论：
如等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式、二项式定理都可以利用数学归纳法进行证明。
在实际问题中由归纳、猜想得出的一些与正整数有关的数学命题，通过用数学归纳法加以证明，可以使学者对有关知识的认识更加深入，理解更加透彻。
运用数学归纳法可以证明许多数学命题，通过这些命题的证明，既可以开阔学者的眼界，又可以使他们受到推理论证的良好训练。
数学归纳法在今后的数学研究过程中经常用到，它是很重要的一种数学工具。
因此，掌握数学归纳法，研究数学归纳法及其应用具有重要的意义。
图论以图为研究对象，包括点、边、面、距离与自然数联系密切，图论中的许多定理在证明的时候，运用数学归纳法证明，能起到化繁为简，避免证明过程复杂的作用。
数学归纳法是一种常用的不可缺少的推理论证方法，没有它，在图论中很多与自然数有关的命题难以证明。
同时对于与自然数有关的命题，把n所取的无穷多个值一一加以验证时不可能的，用不完
[1]
全归纳法验证其中一部分又很不可靠，数学归纳法则是一种用有限步骤证明与自然数有关的命题的可靠方法，不仅思路清晰，大大降低了问题的复杂性，又能找出相应的递推关系，非常奏效。
因此，图论中的很多命题的论证，数学归纳法不失为一种行之有效的方法。
处理数学问题时，经常涉及到关于任意正整数n成立的一些命题，这些命题实质上是由无限个n取具体整数时得到的无限个命题组成的。
我们不能逐一验证，此时数学归纳法往往是一种十分有效的方法.数学归纳是一种重要的推理方法。
它是与自然数有关的数学命题，依据数学归纳法原理，可以得到可靠的结论的一种归纳推理方法，称作完全归纳法又称数学归纳法。
数学归纳法有它因有的理论基础，运用起来有确定的程式和步骤，有灵活多变的技巧，又和数学各个部分有着广泛紧密的联系。
1数学归纳法的理论基础
（1）
（2）（n）假使我们证得特殊命题p，p成立，用不完全归纳法，断言对于所有自然数n，命题p
都成立。
这样的论断是不可靠的。
而用完全归纳法进行列举，往往又不可能。
数学归纳法正是解决这类矛盾的一种推理方法，数学归纳法从本质上说是一种演绎推理的方法，但又不能和归纳推理等同。
（n）一个和自然数有关的命题，我们记p，如果它实际上是一个包含无数个特殊命题，这命题序
，列即p
（1）,p
（2）,?
p（n），而且每一个特殊命题均可由它的前一个命题导出。
对于这类命题的证明，
我们通常要用到数学归纳法。
1.1数学归纳法的理论基础是peano公理[2]
公理：
如果某一自然数的集合m满足:
①1?
m②若自然数k?
m,则k+1?
m。
那么，集合m就是所有自然数所构的集合。
的证明，把这个公理应用于自然数有关的命题序列p
（1）,p
（2）,?
p（n），设使命题成立的自然数
集合是m。
就得到数学归纳法:
1.2第一数学归纳法[3]
（n）设p是一个表示与正整数n有关的命题。
（n）归纳奠基：
当n?
n0（n0?
n）时，p成立；
（n）（n）递推的依据：
假设当n=（时，p成立，由此可推出p在n=k+1时成立，那么kk?
n0）
p（n）对一切正整数n?
n0时都成立。
说明数学归纳法中的两步缺一不可，第一步验证p（n0）成立是奠基，第二步利用归纳假设（第二步中的“假设”被定义为归纳假设，不要把整个第二步称为归纳假设），结合已知的有关数学知识证出*p?
k+1?
成立是递推的依据，这两步对证明命题相辅相成，构成数学归纳法证明过程的逻辑结构，尤为重要的是在证明过程中必须用到归纳假设，这是检验是否用对了数学归纳法的一把尺。
2数学归纳法的基本步骤
前面已经介绍了数学归纳法的基本步骤：
第一步是数学归纳法的推理的基础和根据，如果缺了第
一步，即使证明了第二步，命题也不一定成立。
第二步在命题序列中建立了推理链的关系，在p?
n0?
成立的前提下，保证了命题序列中递推关系的成立，使推理链一环扣一环，直至对不小于n0的所有自
pn）然数n，（都成立。
两步缺一不可，我们应该注意的问题是：
2.1n0的取值
以p?
代表奠基步骤：
n往往从1开始，又不一定从1开始。
例1比较f（n）?
2n和n2的大小。
分析设f（n）?
2n,g（n）?
n2，
f
（1）212,g
（1）121
f
（2）224,g
（2）224
f（3）238,g（3）329
f（4）2416,g（4）4216
f（5）2532,g（5）5225
f（6）2664,g（6）6236
f
（1）?
g
（1）;
f
（2）?
g
（2）;
f（3）?
g（3）;
f（4）?
g（4）;
f（5）?
g（5）;
f（6）?
g（6）;
可见当n?
5时，f（n）?
g（n）,推测得到结论：
5时，2n>
n2。
所以用数学归纳法证明这个结论时，应选n0?
5。
证明①归纳奠基：
当n0?
5时，25?
52;
k2k?
1k222②归纳递推：
假设某个自然数k（k?
5）时，有2?
k,z则2?
2?
k?
k。
又k2?
k2?
2k?
1
2k1（k1）2
2即2k+1?
（k?
1）
nn?
5）都有2>
n。
综合①②，可得结论，对任何自然数（n2
2.2验证初值
作为奠基步骤，有时不止验证一个值。
例2设数列{xn}满足：
（）1x0?
0,x1?
1;
（2）xn?
xn?
1?
2（n?
2,3,?
）
求证xn?
11?
n1?
5n）?
（）]22[（
分析由于题目条件中给出了递推式
），故作为奠基步骤，必须至少检验两个值，即当n?
0和1时的x0和x1的
篇三：
数学中的归纳法及应用
题目归纳法在数学中的应用与地位学生
指导老师
年级
学院
系别
xx年xx月
目录................................................................2
摘要................................................................3
引言........................
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