完整版北大版金融数学引论第二章答案DOCWord文件下载.docx
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i
(1+i)10−1
1−v10
7.已知:
半年结算名利率6%,计算下面10年期末年金的现值:
开始4年每半
年200元,然后减为每次100元。
PV=100a¬
8p3%+100a20¬
p3%=2189.716
8.某人现年40岁,现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元,共计25年。
然
后,从65岁开始每年初领取一定的退休金,共计15年。
设前25年的年利率为8%,
后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
设每年退休金为X,选择65岁年初为比较日
1000¨
25¬
p8%=X¨
15¬
9.已知贴现率为10%,计算¨
¬
8p。
X=8101.65
d=10%,则i=1
10.求证:
(1)¨
np+1−vn;
1−d−1=19
¨
8p=(1+i)
1−v8
=5.6953
(2)¨
np=s¬
−np1+(1+i)n
并给出两等式的实际解释。
np=1−dvn=1−ivn=1−vn
i+1−vn
所以
np=(1+i)n−1
1+i
np+1−vn
(1+i)n−1=(1+i)n−1
n−1
d=
i+(1+i)
12.从1980年6月7日开始,每季度年金100元,直至1991年12月7日,季结算名利
率6%,计算:
1)该年金在1979年9月7日的现值;
2)该年金在1992年6月7日的终
值。
PV=100a49¬
p1.5%−100a¬
2p1.5%=3256.88
AV=100s49¬
p1.5%−100s¬
2p1.5%=6959.37
13.现有价值相等的两种期末年金A和B。
年金A在第1-10年和第21-30年中每
年1元,在第11-20年中每年2元;
年金B在第1-10年和第21-30年中每年付款金
额为Y,在第11-20年中没有。
已知:
v10=1,计算Y。
因两种年金价值相等,则有
2
a30¬
pi+a10¬
piv10=Ya30¬
−piYa10¬
piv10
所以Y=3−v10−2v30
1+v10−2v30=1.8
14.已知年金满足:
2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36;
另
外,递延n年的2元n期期末年金的现值为6。
由题意知,
2a2¬
npi+3a¬
npi=36
2a¬
npivn=6
7p
3p+sX¬
i=8.33%
15.已知
a11¬
aY¬
p+sZ¬
。
求X,Y和Z。
由题意得
1−v7
1−v11
(1+i)X−v3
(1+i)Z−vY
16.化简a15¬
p(1+v15+v30)。
X=4,Y=7,Z=4
a15¬
p(1+v15+v30)=a45¬
第3页
17.计算下面年金在年初的现值:
首次在下一年的4月1日,然后每半年一
次2000元,半年结算名利率9%。
年金在4月1日的价值为P=1+4.5%
4.5%×
2000=46444.44,则
PV=
P
(1+i)2+23
=41300.657
18.某递延永久年金的买价为P,实利率i,写出递延时间的表达式。
设递延时间为t,有
t=−ln(1+lniPi)
P=
vt
19.从现在开始每年初存入1000元,一直进行20年。
从第三十年底开始每年领取一
定的金额X,直至永远。
设年实利率为i,由两年金的现值相等,有
20¬
pi=
v29
X=1000((1+i)30−(1+i)10)
20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D:
前n年,A、B和C三人
平分每年的年金,n年后所有年金由D一人继承。
如果四人的遗产份额的现值相
同。
计算(1+i)n。
设遗产为1,则永久年金每年的年金为i,那么A,B,C得到的遗产的现值
为i
3a¬
,而D得到遗产的现值为vn。
3
(1+i)n=4
=vn
21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊,A接受第一个n年,B接受第二
个n年,C接受第三个n年,D接受所有剩余的。
C与A的份额之比为0.49,
求B与D的份额之比。
由题意知
那么
PVC
PVA
PVB
npv2n
np
npvn
13n
=0.49
=0.61
PVD
iv
22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元,直至还清,如果最
后一次的还款大于100元。
计算最后一次还款的数量和时间。
100a¬
np4.5%v4<
1000
100an+1¬
p4.5%v4>
解得n=17
列价值方程
100a16¬
p4.5%+Xv21=1000
X=146.07
23.36年的期末年金每次4元,另有18年的期末年金每次5元;
两者现值相等。
如果
以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍,计算n。
两年金现值相等,则4×
a36¬
pi=5×
18,可知v18=0.25
由题意,(1+i)n=2解得n=9
24.某借款人可以选择以下两种还贷方式:
每月底还100元,5年还清;
k个月后一
次还6000元。
已知月结算名利率为12%,计算k。
由题意可得方程
100a60¬
p1%=6000(1+i)−k
25.已知a¬
2pi=1.75,求i。
k=29
1−v2=1.75i
i=9.38%
26.某人得到一万元人寿保险赔付。
如果购买10年期末年金可以每年得到1538元,20年
的期末年金为每年1072元。
计算年利率。
27.某人在银行中存入一万元10年定期存款,年利率4%,如果前5年半内提前支
取,银行将扣留提款的5%作为惩罚。
在第4、5、6和7年底分别取出K元,
且第十年底的余额为一万元,计算K。
由题意可得价值方程
10000=105Ka¬
2p4%v3+Ka¬
2p4%+10000v10
则K=10000−10000v10
105a¬
2p4%v3+a¬
2p4%v5=979.94
28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。
第一次的还款额为后面还款的一半,
前四年半的年利率为i,后面的利率为j。
计算首次付款金额X的表达式。
选取第一次还款日为比较日,有价值方程
P(1+i)2=X+2Xa¬
4pi+2Xa¬
5pj(1+i)−4
P(1+i)12
1+2a¬
4pi+2a¬
29.已知半年名利率为7%,计算下面年金在首次付款8年后的终值:
每两年付
款2000元,共计8次。
30.计算下面十年年金的现值:
前5年每季度初支付400元,然后增为600元。
已知
年利率为12%。
(缺命令)
PV=4×
400+4×
600v5=11466.14
31.已知半年结算的名贴现率为9%,计算每半年付款600元的十年期初年金的现
值表达式。
32.给出下面年金的现值:
在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。
s¬
4pi
a24¬
piv3=
(1+i)24−1
(1+i)27[(1+i)4−1]
a28¬
−pa¬
4p
3p+s¬
1p
第6页
33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末
年金代替,半年换算名利率4%,求R的表达式。
设年实利率为i,则(1+2%)2=1+i。
有题意得
750
+
s20¬
pii
=Ra30¬
pi
R=1114.77
34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91,计算年利率。
i=20%
is¬
3pi
125
91
35.已知:
1元永久期初年金的现值为20,它等价于每两年付款R元的永久期初年
金,计算R。
R=1.95
20=
d
R
2pii
36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。
试用贴现率表示递延
时间。
(2)
设贴现率为d,则1+i
(1−d)12
设递延时间为t,由题意得
10000=2×
500vt¨
(2)∞¬
t=
ln20+ln(1−(1−d)2)
ln(1−d)
37.计算:
(2)np=2a
(2)2¬
np=45s¬
(2)1p,计算i。
ii
3×
npi=2×
npi=45×
1pi
解得:
vn=1
i=
i
(2)
i2
30
第7页
38.已知i(4)=16%。
计算以下期初年金的现值:
现在开始每4个月付款1元,
共12年。
(问题)
39.已知:
δt=1+1t。
求¯
np的表达式。
¯
np=
∫n
e−R0tδsdsdt=ln(1+n)
40.已知一年内的连续年金函数为常数1,计算时刻t,使得只要在该时刻一次性支
付一个货币单位,则两种年金的现值相等。
第一种年金的现值为
∫1
vtdt=
1−e−δ
δ
第二种年金的现值为e−δt,则
所以t=1+1δlnδi
=e−δt
41.已知:
δ=0.08。
计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现
(结果和李凌飞的不同)
设季度实利率为i。
因a(t)=eδt,则e14δ=(1+i)所以
1−v80
PV=100¨
80¬
pi=100(1+i)
=4030.53
42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。
同时每年以2400元的固定
速连续地从基金中取钱,该基金可以维持多少时间?
设年实利率为i,则i=eδ−1
设基金可维持t年,由两现值相等得
40000=2400a¬
tpi
t=28
第8页
43.已知某永久期末年金的金额为:
1,3,5,...。
另外,第6次和第7次付款的现值
相等,计算该永久年金的现值。
由题意:
11
13
(1+i)6=(1+i)7⇒i=112
PV=v+3v2+·
·
+(2n−1)vn+·
=v[1+PV+2(v+v2+·
)]
=v(1+PV+2v
解得:
PV=66
1−v)
44.给出现值表达式Aa¬
np+B(Da)n|所代表的年金序列。
用这种表达式给出如
下25年递减年金的现值:
首次100元,然后每次减少3元。
年金序列:
A+nB,A+(n−1)B,...,A+2B,A+B
所求为25a25¬
p+3(Da)25|
45.某期末年金(半年一次)为:
800,750,700,...,350。
已知半年结算名利率
为16%。
若记:
A=a10¬
p8%,试用A表示这个年金的现值。
考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减,故有:
2×
(10−A)
300a10¬
p8%+500(Da)10|8%=300A+
=6250−325A
46.年利率8%的十年储蓄:
前5年每年初存入1000元,然后每年递增5%。
计算第
十年底的余额。
AV=1000s¬
5p8%(1+8%)6+(1000×
1.05×
1.085+
1000×
1.052×
1.084+·
+1000×
1.055×
1.08)
=1000
(1+8%)5−1
8%
1.086+1000×
1.085
1(1.05
1.08)5
11.05
1.08
=16606.72
47.已知永久年金的方式为:
第5、6年底各100元;
第7、8年底各200元,第9、10年
底各300元,依此类推。
证明其现值为:
v4
100
i−vd
第9页
把年金分解成:
从第5年开始的100元永久年金,从第7年开始的100元永久
年金...。
从而
PV=v4
=100v4
=100
2pi
i1−v2
48.十年期年金:
每年的1月1日100元;
4月1日200元;
7月1日300元;
10月1日400元。
证明其现值为:
1600¨
p(I(4)¨
)(4)1|元
证:
首先把一年四次的付款折到年初:
m=4,n=1,R=100m2=1600
从而每年初当年的年金现值:
1600(I(4)¨
)(4)元
再贴现到开始时:
1|
49.从现在开始的永久年金:
首次一元,然后每半年一次,每次增加3%,年利
率8%,计算现值。
半年的实利率:
j=(1+8%)12−1=3.923%
PV=1+
1.03
1+j
1.032
(1+j)2
+·
=(1−
)−1
=112.59
50.某人为其子女提供如下的大学费用:
每年的前9个月每月初500元,共计4年。
证明当前的准备金为:
6000¨
4p¨
(12)9/12|
首先把9个月的支付贴现到年初:
m=12,n=9/12,R=500m=6000从而
每年初当年的年金现值:
(12)
贴现到当前:
9/12|
第10页
51.现有如下的永久年金:
第一个k年每年底还;
第二个k年每年底还2R;
第三
个k年每年底还3R;
依此类推。
给出现值表达式。
把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n=0,1,2,·
):
每个年金的值为
Ra∞¬
在分散在每个k年的区段里:
Ra∞|
ak|
再按标准永久年金求现值:
R(a∞|)2
52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值,20X表示首次付款
从第三年底开始的永久年金:
1,2,3,·
的现值。
计算贴现率。
X=1
i1+i
20X=(1
i=0.05
i+i2)(1+i)2
即:
d=i
1+i=0.04762
53.四年一次的永久年金:
首次1元,每次增加5元,v4=0.75,计算现值。
与原答
案有出入
(期初年金)
PV=1+6v4+11v9+·
(期末年金)
∑∞
(5n−4)v(4n−4)=
i=1
5
(1−v4)2
−4
1−v4
=64
PV¨
=v+6v5+11v10+·
=v·
PV=59.5587
54.永久连续年金的年金函数为:
(1+k)t,年利率i,如果:
0<
k<
i,计算该年
金现值。
与原答案有出入
由于0<
i,故下列广义积分收敛:
∫∞∫∞
(1+k)te−δtdt=(
00
1+k
)tdt=
ln(1+i)−ln(1+k)
第11页
55.递延一年的13年连续年金的年金函数为t2−1,利息力为(1+t)−1,计算该年
PV=exp(−
1+t
dt)
∫14
(t2−1)exp(−
∫t−1
1+s
ds)dt=47.43
56.给出下列符号的表达式:
∑n
(Ia)t|和
t=1
由(Ia)t|表达式有:
(Da)t|
(Ia)t|=
∑
tp¬
−tvt
1∑n1∑
−tp
ntvt
1∑n
[(1+i)−vt−1]−
(Ia)n|展开求和即得
由(Da)t|表达式有:
[n(1+i)−2¨
np+nvn]
∑nt−a¬
tp
(Da)t|=
t−
1−vt
1n(n+1)−1
i2i2
(n−a¬
np)
2n(n+1)−n+a¬
57.现有两种永久年金:
A-金额为p的固定期末年金;
B-金额为q,2q,3q,·
的
递增期末年金。
分别对两种年金的现值之差为0和得到极大两种情况计算年利
率。
第12页
年金现值分别为:
PVA=pa∞¬
q
PVB=q(Ia)∞|=
(1)当PVA=PVB时有:
ip=iq+q
i=q
p−q,p>
i不存在,p≤q
(2)令f(i)=pi−qi−iq2
f0(i)=−
+2
i3
=0
i=2q
p−qp>
58.某零件的使用寿命为9年,单位售价为2元;
另一种产品,使用寿命15年,单
价增加X。
如果某人需要35年的使用期,假定在此期间两种产品的价格均以年
增4%的幅度增加,要使两种产品无差异的X为多少?
(缺少利率?
下面的计算年利
率i=5%)(与原答案有出入)
用9年一周期的产品,则有支付的现值为:
PV1=2×
[1+(
1.04
1.05
)9+(
)18+(
)27]
用15年一周期的产品,则有支付的现值为:
PV2=(2+X)×
由PV1=PV2有:
X=0.6992
)15+(
)30]
59.计算m+n年的标准期末年金的终值。
前m年年利率7%,后n年年利
率11%,sm¬
p7%=34,s¬
np11%=128。
由s¬
np的表达式有:
(1+0.11)n=0.11s¬
np11%+1
AV=sm¬
p7%×
(1+0.11)n+s¬
np11%
=sm¬
(0.11s¬
np11%+1)+s¬
=640.72
第13页
60.甲持有A股票100股,乙持有B股票100股,两种股票都是每股10元。
A股票每
年底每股分得红利0.40元,共计10年,在第10次分红后,甲以每股2元的价格将所
有的股票出售,假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。
B股
票在前10年没有红利收入,从第11年底开始每年每股分得红利0.80元,如果乙也
是以年利率6%进行投资,并且在n年后出售其股票。
为了使甲乙在乙的股票出售
时刻的累积收入相同,分别对n=15,20两种情况计算乙的股票出售价格。
设X为买价,有价值方程:
0.4s10¬
p6%+2=0.8sn−10|6%+X(1+0.06)−(n−10)
从而有:
X=(0.4s10¬
p6%+2−0.8sn−10|6%)(1+0.06)(n−10)
5.22n=15
2.48n=20
61.某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动,每年的6月30日和12月31日用半
年结算名利率8%结算利息。
另外,从1991年元旦开始每年初可以固定地收到