数学实验报告2圆周率的计算mathematica.docx
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数学实验报告2圆周率的计算mathematica
数学实验报告2-圆周率的计算-mathematica
数学实验报告
实验序号：
2日期：
2016年月日
班级
姓名
学号
实验
名称
圆周率π的计算
问题背景描述：
圆周率是指一个圆的周长与其直径的比值。
古今中外，许多人致力于圆周率的研究。
回顾历史，人类对π的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。
π的研究，在一定程度上反映着这个地区或时代的数学水平。
德国数学家康托说：
“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。
”
实验环境：
学校机房、Mathematica4.0软件、PrintScreen软件
实验目的：
首先在Mathematica环境中用多种方法计算圆周率
的值，通过实验来体会各种方法的区别，比较各种方法的优劣，接着尝试自己提出新的方法来计算圆周率
的值。
4.结果分析：
当数值积分法得到的近似值为3.14159265358979323846264338328，
可以看出，用这种方法计算所得到的值是相当精确的，n越大，计算出来的扇形面积的近似值就越接近的准确值。
二、泰勒级数法计算
利用反正切函数的泰勒级数
来计算
。
命令：
T[x_,n_]:
=Sum[（-1）^k*x^（2k+1）/（2k+1）,{k,0,n}];
N[4*T[1,20000],20]//Timing
T[x_,n_]:
=Sum[（-1）^k*x^（2k+1）/（2k+1）,{k,0,n}];
Print[N[4*（T[1/2,260]+T[1/3,170]）,150]];
Print[N[16*（T[1/5,110]-4*T[1/239,30]）,150]];
Print[N[Pi,150]]
运行结果：
结果分析：
从实验过程可以看出，这种方法花费的时间很长。
原因是当x=1时得到的的展开式收敛太慢。
要使泰勒级数收敛得快，容易想到，应当使x的绝对值小于1，最好是远比1小。
例如，因为，所以我们可以计算出
的值，从而得到
的值。
这样，就使得收敛速度加快。
改进后可以看出，泰勒级数法得到的结果比数值分析法精确到小数点后更多位。
三、蒙特卡罗法计算
在数值分析法中，我们利用求单位圆的1/4面积来得到，从而得到。
单位圆的1/4是一个扇形，它是边长为1的单位正方形的一部分，单位正方形的面积。
只要能够求出扇形的面积
在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到，从而得到
的值。
下面的问题归结为如何求
的值，这就用到了一种利用随机数来解决此种问题的蒙特卡罗法，其原理就是在正方形中随机的投入很多点，是所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。
降落在扇形内的点的个数与所投店的总数的比可以近似的作为
的近似值。
命令：
n=10000;p={};
Do[m=0;
Do[x=Random[];y=Random[];
If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}];
AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
运行结果：
结果分析：
从运行结果来看，蒙特卡罗法的计算结果为3.14668，虽然精确度不太高，但运行时间短，在很多场合下，特别是在对精确度要求不高的情况下很有用的。
步骤四、针对步骤三提出疑问：
步骤三中我们发现当n=10000时，蒙特卡罗法的计算结果为3.14668，精确度不太高，那么对n取不同的值，所得结果的精确度会不会有变化？
假如有变化，会有什么变化呢？
猜想：
对n取不同的值，所得结果的精确度应该会有变化，且当n值越大，所得结果越精确。
当n=100000时
命令：
n=100000;p={};
Do[m=0;
Do[x=Random[];y=Random[];
If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}];
AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
运行结果：
当n=1000000时
命令：
n=1000000;p={};
Do[m=0;
Do[x=Random[];y=Random[];
If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}];
AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
运行结果如下
结果分析：
从运行结果来看，随着n的增加，运行时间明显变长，用蒙特卡罗算法所求结果越精确，与猜想一致。
四、实验总结
利用数值方法计算
，在n的不同取值下精度都很大，随着n值的增加计算所需时间也在增加；相比数值方法，Taylor级数收敛法需要花费更多的时间用于计算，所得精度也更高；而蒙特卡罗方法相比上述两个，运行速度最快，但精度不高。
综上，这三种方法都可以较为准确地计算出
值，考虑日常生活中的实用性，蒙特卡洛方法具有耗时短效率高的特点，更适合低精度要求下的计算。
教师评语：
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