新北师大版八年级下册数学教案Word文档格式.docx

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明晰结论和证明过程

让学生明晰证明过程。

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合

第四环节：

随堂练习巩固新知

第五环节：

课堂小结

第六环节：

布置作业

四、教学反思

1.等腰三角形

（二）

一、教学目标：

探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；

①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；

②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；

③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：

对称性，发展学生的几何直觉；

3．情感与价值观要求①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．

②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．

重点：

经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．

提出问题，引入新课

在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗?

你能证明你的结论吗?

例1证明：

等腰三角形两底角的平分线相等

如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．

BD=CE．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

∵∠1=

∠ABC，∠2=

∠ABC，

∴∠1=∠2．

在△BDC和△CEB中，

∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．

∴△BDC≌△CEB（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

经典例题变式练习

活动内容：

提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？

并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：

在课本图1—4的等腰三角形ABC中，

（1）如果∠ABD=

∠ABC，∠ACE=

∠ACB呢?

由此，你能得到一个什么结论?

（2）如果AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE吗?

如果AD=

AB呢?

由此你得到什么结论?

拓展延伸，探索等边三角形性质

提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：

等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°

.

ΔABC中，AB=BC=AC．

∠A=∠B=∠C=60°

在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）．

同理：

∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．

又∵∠A+∠B+∠C＝180°

（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°

．

第五环节：

随堂练习及时巩固

第六环节：

探讨收获课时小结

课外作业

1.等腰三角形（三）

一．教学目标：

1．探索等腰三角形判定定理．

2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．

3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用，培养学生的逆向思维能力。

二．教学过程分析

复习引入

活动过程：

通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？

这个命题的题设和结论分别是什么？

问题2.我们是如何证明上述定理的？

问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？

第二环节：

逆向思考，定理证明

教师：

上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如“等边对等角”，反过来成立吗?

在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了．你是怎样构造的？

巩固练习

例2已知：

如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．

AB=AC．

适时提问导出反证法

我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?

我们一起来“想一想”：

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?

如果成立，你能证明它吗?

我们来看一位同学的想法：

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与Ac要么相等，要么不相等．

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC

你能理解他的推理过程吗?

再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°

，∠B=90°

，可得∠A+∠B=180°

，但△AB∠A+∠B+∠C=180°

“∠A+∠B=180°

”与“∠A+∠B+∠C=180°

”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．

引导学生思考：

上一道面的证法有什么共同的特点呢?

引出反证法。

都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．

拓展延伸

现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数?

教学反思：

1.等腰三角形（四）

理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º

角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程

②经历实际操作，探索含有30º

角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；

3．情感与价值观要求：

①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

二．教学重难点

①等边三角形判定定理的发现与证明.②含30°

角的直角三角形的性质定理的发现与证明.

含30°

角的直角三角形性质定理的探索与证明.

三、教学过程

提问问题，引入新课

回顾等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：

等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？

又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？

从而引入新课。

自主探索

学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：

性质

判定的条件

等腰三角形（含等边三角形）

等边对等角

等角对等边

“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合

有一角是60°

等边三角形三个角都相等，且每个角都是60°

三个角都相等的三角形是等边三角形

实际操作提出问题

提出问题：

用含30°

角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?

能拼出一个等边三角形吗?

在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？

说说你的理由．

定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，∠BAC=30°

BC=

AB．

在△ABC中，∠ACB=90°

∠B=60°

延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如图所示）．

∵∠ACB=90°

∴∠ACB=90°

∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．

∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形）．

∴BC=

BD=

变式训练巩固新知

[例题]等腰三角形的底角为15°

，腰长为2a，求腰上的高CD的长.

解：

∵∠ABC=∠ACB=15°

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°

+15°

=30°

∴CD=

AC=

×

2a=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．

畅谈收获课时小结

2．直角三角形

（一）

一、教学目标

（1）掌握直角三角形的性质定理及判定定理的证明方法。

（2）会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．

3．教学重点、难点

重点①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．②了解逆命题的概念，识别两个互逆命题．

勾股定理及其逆定理的证明方法．

二、教学过程

1：

创设情境，引入新课

请同学们打开课本P18，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法．

2：

讲述新课

阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读．

（1）．勾股定理及其逆定理的证明．

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?

如图：

在△ABC中，AB2+AC2＝BC2

△ABC是直角三角形．

作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°

，A′B′＝AB，A′C′、AC（如图），

则A′B′2＋A′C′2.（勾股定理）．

∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′

∴BC2＝B′C′2

∴BC＝B′C′

∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）

∴∠A＝∠A′＝90°

（全等三角形的对应角相等）．

因此，△ABC是直角三角形．

勾股逆定理：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

（2）．互逆命题和互逆定理．

观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?

通过观察，学生会发现：

上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．

3：

议一议：

观察下面三组命题：

：

如果两个角是对顶角，那么它们相等．如果两个角相等，那么它们是对顶角．

如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．

三角形中相等的边所对的角相等．三角形中相等的角所对的边相等．

不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．

在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．

请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢?

在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．

由此我们可以发现：

原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．

4：

想一想

请学生写出“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?

它们都是真命题吗？

5：

随堂练习

说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;

（1）四边形是多边形；

（2）两直线平行，内旁内角互补；

6：

课时小结

7：

课后作业

2．直角三角形

（二）

①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性

②利用“HL’’定理解决实际问题

①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力

复习提问

1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？

2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。

想一想，怎么画？

同学们相互交流。

3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？

如果其中一个角是直角呢？

请证明你的结论。

引入新课

（1）．“HL”定理．由师生共析完成

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°

，AB=A′B′，BC=B′C′．

Rt△ABC≌Rt△A′B′C′

在Rt△ABC中，AC=AB2一BC2（勾股定理）．

又∵在Rt△A'

B'

C'

中，A'

=A'

C'

=A'

B'

2一B'

2（勾股定理）．

AB=A'

，BC=B'

，AC=A'

∴Rt△ABC≌Rt△A'

（SSS）．

定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．

例题学习

如图，在△ABC≌△A'

中，CD，C'

D'

分别分别是高，并且AC＝A'

，CD=C'

．∠ACB=∠A'

△ABC≌△A'

∵CD、C'

分别是△ABC△A'

的高（已知），

∴∠ADC=∠A'

=90°

在Rt△ADC和Rt△A'

中，

AC=A'

（已知），

CD=C'

（已知），

∴Rt△ADC≌Rt△A'

（HL）．

∠A=∠A'

，（全等三角形的对应角相等）．

在△ABC和△A'

（已证），

∠ACB=∠A'

∴△ABC≌△A'

（ASA）．

3．线段的垂直平分线

（一）

一、教学目标：

1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．

2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。

3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果

二．教学重点、难点

重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。

难点是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。

性质探索与证明

定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．

PA=PB．

∵MN⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°

∵AC=BC，PC=PC,

∴△PCA≌△PCB（SAS）．；

∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．

逆向思维，探索判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗?

它是真命题吗?

定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．

P点在AB的垂直平分线上．

过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，

∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL定理）．

∴AC=BC，

即P点在AB的垂直平分线上．

巩固应用

例1已知：

如图1-18，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.

直线AO垂直平分线段BC。

∵AB=AC，

∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

同理，点O在线段BC的垂直平分线上.

∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.

随堂练习课本P23；

习题1.7：

第1、2题

课堂小结：

通过这节课的学习你有哪些新的收获？

还有哪些困惑？

第七环节：

3．线段的垂直平分线

（二）

1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点

2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形．

3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．

4.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

二．教学重点、难点

①能够证明与线段垂直平分线相关的结论．

②已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．

证明三线共点。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP．

P点在AC的垂直平分线上．

∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）．

同理PB=PC．

∴PA=PC．

∴P点在AC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上）．

∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．

2.引申拓展

（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?

如果能，能作几个?

所作出的三角形都全等吗?

（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?

能作几个?

3例题学习

已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．

线段a、h

求作：

△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h

作法：

1．作BC=a；

2．作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点；

3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；

4．连接AB、AC

∴△ABC就是所求作的三角形（如图所示）．

3.动手操作

（1）：

已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.

学生先独立思考完成，然后交流：

说出做法并解释作图的理由。

（2）拓展：

如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l的垂线，使它经过点P呢？

说说你的作法，并与同伴交流.

5.随堂练习:

习题1.8第1、2题。

6.课时小结

本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”．

7.课后作业

４．角平分线

（一）

1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．

2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．

3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。

二.教学难点：

正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。

1：

情境引入

还记得角平分线上的点的性质吗？

你是怎样得到的？

即角平分线上的点到角两边的距离相等．

你能证明它吗?

2：

探究新知

（1）定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．

PD=PE．

∵∠1=∠2，OP=OP，

∠PDO=∠PEO=90°

，

∴△PDO≌△PEO（AAS）．

∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）．

（2）你能写出这个定理的逆命题吗?

在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

你能证明它吗?

在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，

点P在么AOB的角平分线上．

PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO=∠PEO=90°

在Rt△ODP和Rt△OEP中

OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL定理）．

∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）．

逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。

（3）用直尺和圆规画已知角的平方线及作图的依据讨论。

3.巩固练习

例题：

在△ABC中，∠BAC=60°

，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.

4：

随堂练习课本第29页1、2题。

5：

这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决。

6：

４．角平分线

（二）

（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．

（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．

（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力．

（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．

（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．

①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

①三角形三个内角的平分线的性质．

②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．

角平分线的性质定理和判定定理的