圆的面积-奥数.doc
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第3、4讲圆的面积
专题简析：
在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。
并且同学们应该牢记几个常见的圆与正方形的关系量：
在正方形里的最大圆的面积占所在正方形的面积的,而在圆内的最大正方形占所在圆的面积的,这些知识点都应该常记于心，并牢牢掌握！
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例题1（旋转法）。
求图中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
练习1
1.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
2.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
答例题2（割补法）
求图中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
练习2
1、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：
厘米，正方形边长4）。
答
2、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：
厘米，正方形边长4）。
答
.111
例题3。
如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。
求长方形ABO1O的面积。
.
练习3
1、如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆
分成相等的两段弧，阴影部分
（1）的面积与阴影部分
（2）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。
答
2、如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。
答
例题4
如图所示，求图中阴影部分的面积。
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练习5
1、 如图所示，求阴影部分的面积（单位：
厘米）答
2、如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。
求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？
答
.
例题6（加减法）
如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
【分析】
解法一：
先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。
如图所示。
3.14×62×1/4－（6×4－3.14×42×1/4）＝16.82（平方厘米）
.
解法二：
把阴影部分看作
（1）和
（2）两部分如图20－8所示。
把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影
（1）的面积，即长方形的面积。
3.14×42×1/4+3.14×62×1/4－4×6＝16.28（平方厘米）
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练习6
1、 如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。
以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。
求图中阴影部分的面积。
答
2、如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高为5.2厘米。
求图中阴影部分的面积。
答
例题7。
在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
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练习7
1、求下面各图形中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
答
2、求右面各图形中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
答
3、求右面各图形中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
答
.
例题8。
在正方形ABCD中，AC＝6厘米。
求阴影部分的面积。
【分析】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。
但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。
根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。
这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。
既是正方形的面积，又是半径的平方为：
6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积为：
18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）
答：
阴影部分的面积是3.87平方厘米。
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练习8
1、如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。
答
2、如图所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。
求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。
答
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例题9。
在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。
求阴影部分的面积。
【分析】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。
可是扇形的半径未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。
我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。
这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。
3.14×（30×2）×1/4－30＝17.1（平方厘米）
答：
阴影部分的面积是17.1平方厘米。
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练习9
1、如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。
答
2、如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。
答
3、如图所求,圆的周长是18.84厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周长是厘米.
A、割补法：
1、求下列图形中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
图1一2
图1—1
图1—3
24
20
图1—4
4
4
图1--6
6
6
图1—5
4
8
图1--8
图1--7
6
6
图1--9
16
222
图1--10
小圆半径为2
图1--12
a
b
图1--11
10
图1--14
图1--13
小圆半径为3
每个扇形的半径都为2
图1--15
每个扇形的半径都为5
图1--16
B、加减法：
2、求下列图形中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
3
图2--2
600
10
6
8
图2--1
14
10
图2--3
6
450
4
5
3
图2--6
6
4
图2--4
10
6
图2--5
6
6
、
4
4
图2--10
8
8
图2--9
5
4
图2--12
4
4
图2--14
A
B
C
D
AC=2
图2--13
甲
乙
12
图2--15
图2--16
O1
O2
A
B
AB=17O1O2=10
=
450
3
2
2.4
图2--18
2
2
4
图2--17
求两阴影的面积之差
C、旋转法：
3、求下列图形中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
29
49
正方形
图3--2
图3--3
4
2
12
12
13
13
图3--4
利用r2和r3代换
60、正方形中，最大圆的面积占正方形面积的（—）≈（）%；圆中，最大正方形的面积占圆面积的（—）。
61、下图中，已知正方形的面积是20平方厘米，求图中阴影部分的面积。
62、如图，扇形的面积是157平方厘米，求图中阴影部分的面积。
63、如图，等腰直角三角形的面积是10平方厘米，求图中阴影部分的面积。
64、图中三角形ABC的面积是40平方厘米，求图中阴影部分的面积。
A
B
C
65、下图中，AOB是等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是20平方厘米，求圆环的面积。
A
B
O
66、下图中，AOB是等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是50平方厘米，求圆环的面积。
O
B
A
67、下图中，已知阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积。
第5讲工程问题
（一）
【专题解析】
有些工程问题中。
工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这是我们可以考虑运用一些特殊的方法，如转化思想、综合思考等方法来解决。
【例题精讲】
例1：
客车从甲地开往乙地需要12小时，货车从乙地开往甲地需要18小时。
（1）两车一小时行了全程的.。
（2）两车5小时行了全程的.。
（3）两车同行了3小时后，还剩下全程的.。
（4）客车4小时比货车4小时多行了全程的。
例2：
修一条路，甲队每天修8小时，5天完成。
乙队每天修10小时，6天修完。
如果两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？
【思考方法】
【做一做】
1、修一条路，甲队每天修6小时，4天完成。
乙队每天修8小时，5天修完。
如果两队合作，要求2天完成，每天需要工作几小时？
2、一项工程，甲队3人8天可以完成，乙队4人7天可以完成，现在由甲队2人和乙队7人合作，几天可以完成？
例3：
一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成，如果先由甲做一些天，然后由乙继续做完，从开始到结束一共用了14天，这件工作由甲先做了几天？
【思考方法】根据甲的工作量＋乙的工作量=工作总量列方程解答。
此题也可以用假设法来解，大家思考思考，看是否能想出办法来。
【做一做】
1、一件工作，甲独做要12天完成，乙独做要4天完成，如果先由甲做一些天，然后由乙继续做完，从开始到结束一共用了6天，这件工作由甲先做了几天？
2、一件工作，甲独做要30天完成，乙独做要40天完成，如果先由甲做一些天，然后由乙继续做完，从开始到结束一共用了35天，这件工作由甲、乙各做了几天？
例4：
甲乙两队合作完成一项工程，24天可以完成。
如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工程的，两队单独完成工程各需多少天？
【思考方法】
答：
甲队单独完成工程需60天，乙队单独完成工程需40天。
【练习题】
一、填空题
1.一段公路，甲队单独修需要15天，已队单独修需要10天。
（1）两队每天修公路全长的。
（2）两队3天修公路全长的。
（3）两队修了4天后还剩全长的。
（4）乙队每天比甲队多修。
2、一项工程,甲、乙两队合作20天完成,乙丙两队合作60天完成,丙丁两队合作30完成,甲丁合作天完成?
3、甲乙两队合作一项工程,计划在24天内完成.如果甲队做6天,乙队做4天,只能做完全工程的20%,两队单独做完全工程各需要天.
4、一条公路,甲队独修24天完成,乙队独修30天完成.甲乙两队合修若干天后,乙队停工休息,甲队继续修了6天完成,乙队修了天.
5、加工一批零件,甲独做需3天完成,乙独做需4天完成,两人同时加工,完成任务时,甲比乙多做24个,这批零件共有个.
6、一项建筑工程,由甲建筑队单独承建要一年半,乙建筑队单独承建要一年零三个月,现在两队合作半年,剩下的由乙队继续完成还要个月.（假设每月实际工作天数一样）
二、解答题
7.一件工作，甲5小时完成了，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？
8.抄一份书稿,甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和;丙每天的工作效率相当于甲、乙二人每天工作效率之和的;如果三人合抄只需8天就完成了,那么乙一人单独抄需多少天才能完成?
9.加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成．现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的没有完成，已知甲每天比乙多加工3个零件，求这批零件共多少个？
第6讲工程问题
（二）
【专题解析】
工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：
工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）．
这三个量之间有下述一些关系式：
工作效率×工作时间＝工作总量，
工作总量÷工作时间＝工作效率，
工作总量÷工作效率＝工作时间．
【例题精讲】
例1：
一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？
【思考方法】
例2：
师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5天后，因事外出，由徒弟接着做3天，共完成任务的，如果每人单独做这批零件各需几天？
例3一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？
【思考方法】
例4完成一件工作，甲乙二人合作需20小时，乙丙二人合作需28小时，丙丁二人合作需30小时，甲丁二人合作需几小时？
【思考方法】
【练习题】
一、填空题
1.一件工程，甲独做10天完工，乙独做15天完工，二人合做天完工。
2.一袋米，甲、乙、丙三人一起吃，8天吃完，甲一人24天吃完，乙一人36天吃完，问丙一人天吃完。
3.一项工程，甲独做要18天，乙独做要15天，二人合做6天后，其余的由乙独做，还要天做完。
4.一项工程，甲独做要12天完成，乙独做要18天完成，二人合做天可以完成这件工程的2/3？
5.修一条路，甲单独修需16天，乙单独修需24天，如果乙先修了9天，然后甲、乙二人合修，还要几天？
6.一项工程，甲独做要12天，乙独做要16天，丙独做要20天，如果甲先做了3天，丙又做了5天，其余的由乙去做，还要几天？
7.一项工作,甲乙两队合作9天完成,乙丙两队合作12天完成,甲丙两队合作需18天完成,现在三队合作需天完成.
8.某工程先由甲单独做63天,再由乙单独做28天即可完成.如果由甲、乙两人合作,需48天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么还需要做天.
二、解答题
9、一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？
10、一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？
11、一项工程，甲独做要10天，乙独做要15天，丙独做要20天。
三人合做期间，甲因病请假，工程6天完工，问甲请了几天病假？
第7讲假设法解题
（二）
日期班级姓名
【算法积累】
（1）23456+34562+45623+56234+62345
（2）
（3）有一串数1，4，9，16，25，36…….它们是按一定的规律排列的，那么其中第2000个数与2001个数相差多少？
【专题学习】
一、知识与方法归纳：
已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系，要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。
应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。
虽然其中的数量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设，找出变化前后的相差数相当于单位“1”的几分之几，从而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。
二、学技巧——点击典例：
例1．水果店里西瓜个数是白兰瓜个数的，如果每天卖白兰瓜40个、西瓜50个，若干天后白兰瓜正好卖完，西瓜还剩36个。
水果店里原有西瓜多少个？
练习：
食堂里有面粉的质量是大米的，每天吃去30吨面粉，45吨大米。
若干天后，面粉正好吃完，大米还有150吨，食堂里原有面粉多少吨？
变式：
师徒两人加工一批零件，师傅的任务比徒弟的多，徒弟每天做7个，师傅每天做12个，师傅正好完成了任务，徒弟还有30个没做。
这批零件共有多少个？
例2、小红的彩笔枝数是小刚的，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚的，两人原来各有彩笔多少枝？
练习：
甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两各书架原来各有多少本书？
变式：
王芳原有的图书本数是李卫的，两人各捐给“希望工程”10本后，则王芳的图书的本数是李卫的，两人原来各有图书多少本？
例3、某校六年级男生人数是女生的，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的，现在男、女生各有多少人？
练习：
有一堆棋子，黑子是白子的，现在取走12粒黑子，添上18粒白子后，黑子是白子的，现在白子、黑子各有多少粒？
变式：
爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数是曙光小学的2.5倍。
今年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数减少了1人，曙光小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的2倍。
两校去年的一等奖的同学各有多少人？
【家庭作业】
一、计算：
45678+56784+67845+78456+84567
二、解决问题：
1、红星幼儿园里白皮球的个数是红皮球个数的，给每个班发4个白皮球和10个红皮球，结果发现红皮球刚好发完，还多18个白皮球。
红星幼儿园有多少个班？
2、小红今年的年龄是妈妈的，10年后小红的年龄是妈妈的，小红今年多少岁？
3、甲车间的工人是乙车间的，从甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的工人只占乙车间的，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？
4、甲车间的工人是乙车间的，后来甲车间增加20人，乙车间减少35人，这样甲车间的人数是乙车间的，现在甲、乙两个车间各有多少人？
第八、九讲行程问题
第一讲一般行程问题
例1：
王师傅驾车从甲地开往乙地交货，若他往返都以每小时60千米的速度行驶，正好可以按时返回甲地。
可是，当到达乙地时，他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米。
如果他想按时返回甲地，应以多快的速度往回行驶？
变式训练：
甲、乙两地相距100千米，小张先骑摩托车从甲地出发，1小时后小李驾驶汽车从甲地出发，两人同时到达乙地。
摩托车开始的速度是每小时50千米，中途减速后为每小时40千米。
汽车的速度是每小时80千米，汽车曾在途中停10分钟。
那么，小张骑的摩托车减速是在他出发后的多少小时？
例2：
一位短跑选手，顺风跑90米用了10秒，在同样的风速下，逆风跑70米也用了10秒。
问：
在无风的时候，他跑100米要用多少秒？
变式练习：
一条小河流过A、B、C三镇，A、B两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时11千米。
B、C两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时3.5千米。
已知A、C两镇水路相距50千米，水流速度为每小时1.5千米，某人从A镇上船顺流而下到B真，吃午饭用去1小时，接着乘木船又顺流而下到C镇，共用8小时。
那么A、B两镇之间相距多少千米？
第二讲相遇问题
例3：
甲、乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行。
已知甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时，两车出发后多少小时相遇？
变式练习：
1、东西两镇相距20千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发，相背而行，甲每小时行的路程是乙的两倍，3小时后两人相距56千米，两人速度各是多少？
2、李明从甲地到乙地，每小时行5千米，王勇从乙地到甲地，每小时行4千米。
两人同时出发，在离甲乙两地中点1千米处相遇。
求甲乙两地相距多少千米？
3、甲乙两人同时从相距2000米的两地相向而行，甲每分钟行110米，乙每分钟行90米。
如果一条狗与甲同时同向而行，每分钟行500米，遇到乙后立即回头向甲跑去，遇到甲再向乙跑去。
这样不断来回，直到甲乙相遇为止。
狗共行多少米？
例4：
甲、乙两人在环形跑道上以各自的速度匀速跑步，若两人同时从同地相背而行，乙跑4分钟后两人第一次相遇，甲跑一周要6分钟，乙跑一周要多少分钟？
变式练习：
1、甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇。
求此圆形场地的周长。
2、绕湖一周是22千米，甲、乙两人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以每小时4千米的速度每走1小时休息5分钟，乙以每小时6千米的速度每走50分钟休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇共用多少分钟？
例5：
甲、乙两地相距90千米，小汽车的速度是大卡车速度的2倍，两车同时从甲地出发，小汽车到达乙地后立即返回，然后两车在丙地相遇，那么乙、丙两地相距多少千米？
变式练习：
1、甲、乙、丙三人行路，甲、乙、丙每分钟分别走60米、50米、40米。
甲从A地，乙和丙从B地出发相向而行，甲和乙相遇后过了15分钟又与丙相遇。
求A、B两地之间的距离。
2、小张和小王两位运动员进行竞走训练，小张从甲地、小王从乙地
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