新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总.doc

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二次根式的知识点汇总

知识点一：

二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：

在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：

因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．

分析：

二次根式应满足两个条件：

第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

知识点二：

取值范围

1、  二次根式有意义的条件：

由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、 二次根式无意义的条件：

因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？

例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？

知识点三：

二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：

因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

例4

（1）已知y=++5，求的值．

（2）若+=0，求a2004+b2004的值

知识点四：

二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：

一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：

二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：

若，则，如：

，.

例1计算

1．（）22．（3）23．（）24．（）2

例2在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3

（2）x4-4（3）2x2-3

知识点五：

二次根式的性质

文字语言叙述为：

一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，

即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

例1化简

（1）

（2）（3）（4）

例2填空：

当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．

（1）若=a，则a可以是什么数？

（2）若=-a，则a是什么数？

（3）>a，则a是什么数？

例3当x>2，化简-．

知识点六：

与的异同点

1、不同点：

与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的， ，而

2、相同点：

当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.

知识点七：

二次根式的乘除

1、乘法·＝（a≥0，b≥0）反过来：

=·（a≥0，b≥0）

2、除法=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）

（思考：

b的取值与a相同吗？

为什么？

不相同，因为b在分母，所以不能为0）

例1．计算

（1）4×

（2）×（3）×（4）×

例2化简

（1）

（2）（3）（4）

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1）

（2）×=4××=4×=4=8

例4．计算：

（1）

（2）（3）（4）

例5．化简：

（1）

（2）（3）（4）

例6．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．

3、最简二次根式应满足的条件：

（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；

（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式

（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）

例1．把下列二次根式化为最简二次根式

（1）;

（2）;（3）

4、化简最简二次根式的方法：

（1）把被开方数（或根号下的代数式）化成积的形式，即分解因式；

（2）化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；

（3）将根号内能开得尽方的因数（或因式）开出来．（此步需要特别注意的是：

开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）

5.有理化因式：

一般常见的互为有理化因式有如下几类：

①与；             ②与；

③与；      ④与．

   说明：

利用有理化因式的特点可以将分母有理化．

13、同类二次根式：

被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。

判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。

如与

知识点八：

二次根式的加减

1、二次根式的加减法：

先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。

（合并方法为：

将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。

例1．计算

（1）+

（2）+

分析：

第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

解：

（1）+=2+3=（2+3）=5

（2）+=4+8=（4+8）=12

例2．计算

（1）3-9+3

（2）（+）+（-）

例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．

2、二次根式的混合运算：

先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减

3、二次根式的比较：

（1）若，则有；

（2）若，则有．

  （3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小

例4．比较3与4的大小

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