高中数学经典高考难题集锦解析Word文档格式.docx
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C．|log（1+a）（1﹣a）+log（1﹣a）（1+a）|＜|log（1+a）（1﹣a）|+|log（1﹣a）（1+a）|；
D．|log（1+a）（1﹣a）﹣log（1﹣a）（1+a）|＞|log（1+a）（1﹣a）|﹣|log（1﹣a）（1+a）|
6．（2005?
天津）设f
1（x）是函数
f（x）=
）（a＞1）的反函数，则使
1（x）
（ax﹣a
x
f
＞1成立的x的取值范围为（
A．（
，+∞）
B．（﹣∞，
）C．（
，a）D．[a，+∞）
7．（2004?
天津）函数（﹣1≤x＜0）的反函数是（）
A．B．
C．D．
8．（2004?
江苏）设k＞1，f（x）=k（x﹣1）（x∈R）．在平面直角坐标系
xOy中，函数y=f
（x）的图象与
x轴交于A点，它的反函数y=f
﹣1
（x）的图象与y轴交于B点，并且这两个
函数的图象交于
P点．已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（
A．3B．
C．D．
9．（2006?
天津）已知函数
y=f（x）的图象与函数
y=ax（a＞0且a≠1）的图象对于直线
y=x
对称，记g（x）=f（x）[f（x）+f
（2）﹣1]．若y=g（x）在区间
上是增函数，则
实数a的取值范围是（
A．[2，+∞）B．（0，1）∪（1，2）C．
10．（2011?
湖北）放射性元素因为不停有原子放射出微粒子而变为其余元素，
其含量不停减
少，这类现象称为衰变．假定在放射性同位素铯
137的衰变过程中，其含量
M（单位：
太
贝克）与时间
t（单位：
年）知足函数关系：
M（t）=M0
，此中M0
为t=0时铯137
的含量．已知
t=30时，铯
137含量的变化率是﹣
10In2（太贝克/年），则M（60）=（
A．5太贝克B．75In2太贝克C．150In2太贝克D．150
太贝克
11．（2014?
湖南）某市生产总值连续两年连续增添，第一年的增添率为
p，第二年的增添率
为q，则该市这两年生产总值的年均匀增添率为（
A．B．
二．填空题（共12小题）
12．（2013?
北京）函数的值域为．
13．（2011?
湖北）里氏震级M的计算公式为：
M=lgA﹣lgA0，此中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假定在一次地震中，测震仪记录的最大振
幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为
级；
9级地
震的最大的振幅是5级地震最大振幅的
倍．
14．（2007?
上海）函数
的反函数是
．
15．（2006?
江苏）不等式
的解集为
16．（2005?
北京）设函数
f（x）=2x，对于随意的
x1，x2（x1≠x2），有以下命题
①f（x+x
）=f（x
）?
f（x
）；
②f（x?
）+f（x
③
；
④
．此中正确的命题序号是
17（．2004?
广东）函数
的反函数f（x）=
18．（2011秋?
岳阳楼区校级期末）已知
0＜a＜1，0＜b＜1，假如
＜1，那么
x的取值范围为
19．（2005?
天津）设
，则
的定义域为
20．（2008?
天津）设a＞1，若仅有一个常数
c使得对于随意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]
知足方程logaa
x+logy=c，这时a的取值的会合为
21．（2002?
上海）已知函数
y=f（x）（定义域为D，值域为A）有反函数y=f
（x），则方
程f（x）=0有解x=a，且f（x）＞x（x∈D）的充要条件是
（x）知足
y=f
22．（2013?
上海）对区间I上有定义的函数
g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义
域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f
（[0
，1））=[1，2），f
（（2，4]）
（x），且f
=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0=
23．（2004?
湖南）若直线
﹣1|（a＞0
且a≠1）的图象有两个公共点，则a
y=2a与函数y=|a
的取值范围是
三．解答题（共7小题）
24．（2014秋?
沙河口区校级期中）21、设
的大小，并证明你的结论．
25．解不等式
26．（2006?
重庆）已知定义域为R的函数是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对随意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
27．假如正实数a，b知足ab=ba．且a＜1，证明a=b．
28．（2011?
上海模拟）已知n为自然数，实数a＞1，解对于x的不等式
29．（2010?
荔湾区校级模拟）f（x）=lg，此中a是实数，n
是随意自然数且n≥2．
（Ⅰ）假如f（x）当x∈（﹣∞，1]时存心义，求a的取值范围；
（Ⅱ）假如a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．
30．（2010?
四川）设，a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
（Ⅰ）设对于x的方程求在区间[2，6]上有实数解，
求t的取值范围；
（Ⅱ）当a=e，e为自然对数的底数）时，证明：
；
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较||与4的大小，并说明原因．
参照答案与试题分析
湖南）若0＜x＜x＜1，则（
考点：
对数的运算性质．
专题：
导数的综合应用．
剖析：
分别设出两个协助函数
f（x）=ex+lnx，g（x）=
，由导数判断其在（
0，1）上的单
调性，联合已知条件
0＜x1＜x2＜1得答案．
解答：
解：
令f（x）=ex﹣lnx，
则f′（x）=
，
当x趋近于0时，xex﹣1＜0，当x=1时，xex﹣1＞0，所以在（0，1）上必定存在f′（x）=0，
所以函数f（x）在（0，1）上先递减后递加，故A、B均错误；
令g（x）=，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵0＜x1＜x2＜1，
∴，
即．
∴选项C正确而D不正确．
应选：
评论：
本题考察利用导数研究函数的单一性，考察了函数结构法，解答本题的要点在于想到结构两个函数，是中档题．
对数函数的单一性与特别点．
计算题；
压轴题．
3
将函数看作是复合函数，令g（x）=x﹣ax，且
g（x）＞0，得
x∈（﹣
，0）∪（
+∞），因为函数是高次函数，所以用导数来判断其单一性，再由复合函数
“同增异减”
求得结果．
设g（x）=x3﹣ax，g（x）＞0，得x∈（﹣，0）∪（，+∞），g′（x）=3x2﹣a，x∈（﹣，0）时，g（x）递减，
，﹣
）或
x∈（
，+∞）时，
g（x）递加．
∴当
a＞1时，减区间为（﹣
，0），
不合题意，
当0＜a＜1时，（﹣
，0）为增区间．
∴﹣
≥﹣
∴a∈[，1）
应选B．
本题主要考察复合函数的单一性，结论是同增异减，解题时必定要注意定义域．
反函数；
函数的图象．
惯例题型；
先画出条件中函数式
的图象，再将其图象作对于
直线y=x对称的图象即得．
作出函数
的图象，如图，
∵互为反函数的两个函数的图象对于直线y=x对称，
∴函数的反函数图象是：
C．
应选C．
本小题主要考察反函数、反函数的应用、函数的图象等基础知识，考察数形联合思想、化归与转变思想．属于基础题．
aa
天津）设a＞1，若对于随意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a]知足方程
logx+logy=3
B．{a|a≥2}C．{a|2≤a≤3}D．{2，3}
幂函数的实质应用．
先由方程logax+logay=3解出y，转变为函数的值域问题求解．
，在[a，2a]上单一递减，
易得
所以
故?
a≥2
本题考察对数式的运算、反比率函数的值域、会合的关系等问题，难度不大．注意函数和方程思想的应用．
B．|log（1+a）（1﹣a）|＜|log（1﹣a）（1+a）|；
1+a（1﹣a）|+|log1
a（1+a）|；
C．|log（1+a（1﹣a）+log
a（1+a）|＜|log
（﹣）
﹣）
D．|log（1+a（1﹣a）﹣log1
a（1+a）|＞|log
1+a（1﹣a）|﹣|log
a（1+a）|
（）
（﹣
用特别值法，来清除不可立的选项即可．
取知足题设的特别数值a=，
log
）（1﹣a）=
＜
=﹣1，
0＞log（1﹣a）（1+a）=＞2=﹣1，
查验不等式（B），（C），（D）均不可立，
应选A
本题主要考察客观题的解法，可灵巧选择方法，如特别法，考证法，数形联合法等，解题不只灵巧，并且效率很高．
天津）设f﹣1（x）是函数f（x）=
（ax﹣a﹣x）（a＞1）的反函数，则使
f﹣1（x）
A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，a）D．[a，+∞）
反函数．
本题考察反函数的观点、求反函数的方法、解指数方程、解不等式等知识点，有必定的综合性；
第一由函数f（x）=（ax﹣a﹣x）（a＞1）求其反函数，要用到解指数方程，整体换元
看作整体解出，而后由
（x）＞1建立不等式解出即可．
的思想，将a
由题意设
﹣x
）整理化简得
2x
﹣1=0，
y=（a
﹣a
﹣2ya
解得：
∵ax＞0，∴
∴x=log（y+
∴f
（x）=loga
（x+
由使f﹣1（x）＞1得loga
）＞1
∵a＞1，∴x+
＞a
由此解得：
本题虽为小题，看似简单，实质上综合性强，用到多方面的知识和方法，更需要必定的运算能力；
特别在求x时难度大些，不单要用换元思想把ax看作整体求解，还要依据范围舍去
天津）函数
（﹣1≤x＜0）的反函数是（
压轴题；
方程思想．
，依据x的范围，求出
x的值，而后x，y
交换，求出函数的反函
解方程
数．
，可得x2﹣1=log3y
函数
x=1+logy，∵﹣1≤x＜0，∴
所以函数
（﹣1≤x＜0）的反函数是：
应选D．
本题考察反函数的求法，考察就是能力，是基础题．
江苏）设k＞1，f（x）=k（x﹣1）（x∈R）．在平面直角坐标系xOy中，函数y=f
先依据题意画出图形，因为互为反函数的两个函数的图象对于
y=x对称，从而两个函
数的图象交于P点必在直线y=x上．且A，B两点对于y=x对称，利用四边形OAPB
的面积=
AB×
OP，求得P（3，3）从而求得k值．
依据题意画出图形，如图．
因为互为反函数的两个函数的图象对于y=x对称，
所以这两个函数的图象交于P点必在直线y=x上．
且A，B两点对于y=x对称，∴AB⊥OP
∴四边形
OAPB
的面积=AB×
OP=
×
OP=3，
∴OP=3．
∴P（3，3）代入
f（x）=k（x﹣1）得：
k=
应选
本题主要考察反函数，反函数是函数知识中重要的一部分内容．对函数的反函数的研究，我们应从函数的角度去理解反函数的观点，从中发现反函数的实质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决有关问题．
y=ax（a＞0且a≠1）的图象对于直线y=x
指数式与对数式的互化；
先表述出函数f（x）的分析式而后辈入将函数g（x）表述出来，而后对底数a进行讨
论即可获得答案．
已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象对于直线y=x对称，
则f（x）=logax，记g（x）=f（x）[f（x）+f
（2）﹣1]=（logax）2+（loga2﹣1）logax．
当a＞1时，
若y=g（x）在区间上是增函数，y=logax为增函数，
令t=logax，t∈[，loga2]，要求对称轴，矛盾；
当0＜a＜1时，若
y=g（x）在区间
上是增函数，
y=logax
为减函数，
令t=logax，t∈[loga2，]，要求对称轴，
解得，
所以实数a的取值范围是，
本题主要考察指数函数与对数函数互为反函数．这里注意指数函数和对数函数的增减
性与底数的大小有关，即当底数大于1时单一递加，当底数大于0小于1时单一递减．
湖北）放射性元素因为不停有原子放射出微粒子而变为其余元素，其含量不停减
少，这类现象称为衰变．假定在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：
贝克）与时间t（单位：
M（t）=M0，此中M0为t=0时铯137
的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（）
A．5太贝克B．75In2太贝克C．150In2太贝克D．150太贝克考点：
有理数指数幂的运算性质．
由t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），先求出M'
（t）
=M0×
，再由M'
（30）=M0×
=﹣10ln2，求
出M0，而后能求出M（60）的值．
M'
（t）=M0×
，
=﹣10ln2，
∴M0=600．
∴．
本题考察有理数指数幂的运算法例，解题时要注意导数的合理运用．
湖南）某市生产总值连续两年连续增添，第一年的增添率为p，第二年的增添率
为q，则该市这两年生产总值的年均匀增添率为（）
A．B．C．D．﹣1
有理数指数幂的化简求值．
函数的性质及应用．
依据增添率之间的关系，成立方程关系即可获得结论．
设本来的生产总值为a，均匀增添率为x，
则a（1+p）（1+q）=a（1+x）2，
解得1+x=，
即x=﹣1，
本题主要考察指数幂的计算，依据条件成立条件关系是解决本题的要点，比较基础．
北京）函数的值域为（﹣∞，2）．
对数函数的值域与最值；
函数的值域．
经过求解对数不等式和指数不等式分别求出分段函数的值域，而后取并集获得原函数
的值域．
当x≥1时，f（x）=；
当x＜1时，0＜f（x）=2x＜21=2．
所以函数的值域为（﹣∞，2）．
故答案为（﹣∞，2）．
本题考察了函数值域的求法，分段函数的值域要分段求，最后取并集．是基础题．
M=lgA﹣lgA，此中A是测震仪记录的地震
曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假定在一次地震中，测震仪记录的最大振
幅是1000，此时标准地震的振幅
A0为0.001，则此次地震的震级为
6级；
9级地震的最
大的振幅是5级地震最大振幅的
10000倍．
依据题意中的假定，可得
M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=6；
设9级地震的最大的振
幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是
5级地震最大振幅的10000倍．
依据题意，假定在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是
1000，此时标准地震的
振幅为0.001，
则M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6．
设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，
9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，
故答案为：
6，10000．
本题考察对数的运算法例，解题时要注意公式的灵巧运用．
14．（2
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