正比例和反比例.doc
《正比例和反比例.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正比例和反比例.doc（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
中小学1对1课外辅导专家
武汉龙文教育学科辅导讲义
授课对象
授课教师
授课时间
2012-8-11
授课题目
正比例和反比例
课型
复习
使用教具
讲义纸笔
教学目标
1．使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
2．使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
教学重点和难点
教学重点：
根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
教学难点：
根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
教学流程及授课详案
知识梳理
一、比例的有关知识
1.比例的意义
①要点：
表示两个比相等的式子叫做比例。
②例题：
应用比例的意义判断6.4:
4和9.6:
6能否组成比例？
因为：
6.4:
4=6.4÷4=1.69.6:
6=9.6÷6=1.6
所以：
6.4:
4=9.6:
6
2.比例的基本性质
①要点：
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项；在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
这叫做比例的基本性质。
②例题：
3 ：
8 = 18 ：
483×48=8×18
内项
外项
例题：
运用比例的基本性质判断3．6：
1．8和0．5：
0．25能否组成比例？
因为3.6×0.25=0.91.8×0.5=0.9
所以3．6：
1．8=0．5：
0．25
例题：
从12的因数中任意选出4个数，再组成8个比例式。
因为：
12=1×12=2×6=3×4
所以从12的因数中任意选出两组4个数并运用比例的基本性质可以组成8个不同的比例。
2×6=3×4
（2）︰（3）=（4）︰（6）（3）︰
（2）=（6）︰（4）
（2）︰（4）=（3）︰（6）（3）︰（6）=
（2）︰（4）
（6）︰（4）=（3）︰
（2）（4）︰（6）=
（2）︰（3）
（6）︰（3）=（4）︰
（2）（4）︰
（2）=（6）︰（3）
3.解比例
①要点：
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。
求比例的未知项，叫做解比例。
②例题：
3:
8=ⅹ:
40=
8ⅹ=3×404.5ⅹ=9×0.8
8ⅹ=1204.5ⅹ=7.2
ⅹ=15ⅹ=1.6
（4）比例尺
①要点：
图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
比例尺=，比例尺有两种形式：
数值比例尺和线段比例尺。
②例题：
在一幅某乡农作物布局图上，20厘米表示实际距离16千米。
求这幅图的比例尺。
16千米=1600000厘米
=
例题：
说出下面比例尺表示的意思。
这是线段比例尺，它表示图上1厘米的距离代表实际距离200千米。
例题：
在一幅比例尺是1：
500000的地图上，量得甲、乙两城的距离是12.5厘米。
甲、乙两城实际相距多少千米？
方法1：
12.5×500000=6250000（厘米）=62.5（千米）
方法2：
2.5×5=62.5（千米）
方法3：
12.5÷=12.5×500000=6250000（厘米）=62.5千米
解：
设甲、乙两城实际相距ⅹ厘米。
=
1ⅹ=12.5×500000
ⅹ=6250000
6250000（厘米）=62.5千米
（5）面积变化
①要点：
把一个平面图形按照一定的倍数（n）放大或缩小到原来的几分之一（）后，放大（或缩小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是n²:
1（或1:
n²）。
②例题：
下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。
分别量出它们的长和宽，算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。
量得小长方形的长是2.5厘米，宽是1厘米；大长方形的长是7.5厘米，宽是3厘米。
大长方形与小长方形长的比是7.5:
2.5=3:
1，宽的比是3:
1。
==×=9:
1=3²:
1
大长方形与小长方形面积的比是9:
1。
效果检测
1.根据A×B＝C×D,写出8个比例式。
（）︰（）=（）︰（）（）︰（）=（）︰（）
（）︰（）=（）︰（）（）︰（）=（）︰（）
（）︰（）=（）︰（）（）︰（）=（）︰（）
（）︰（）=（）︰（）（）︰（）=（）︰（）
2.在一幅比例尺是1000：
1的图纸上，量得某正方体零件的棱长为1米。
则该零件的实际体积是多少？
3.一个正方形的边长扩大为2倍，则周长扩大为原来的（）倍。
一个正方体的棱长缩小为原来的，则体积缩小为原来的（）。
一个圆柱体的底面直径扩大为4倍，则侧面积扩大为原来的（）倍。
一个圆锥体的底面直径缩小为原来的，则体积缩小为原来的（）。
4.判断正误。
（1）比就是比例，前者是后者的简称，实际上是一个意思。
（）
（2）比的前后项同时加上一个数，比值不变。
（）
（3）比的前后项同时乘以一个数，比值不变。
（）
（4）比例的两外项之积除以两内项之的商为常数。
（）
（5）比例的两内项两外项同乘以一个负数，比例仍然成立。
（）
5.解比例。
（25－5x）︰（－3）＝（x＋5）︰（－）＝
教学过程
小学数学总复习归类讲解及训练
（七）
主要内容
正比例和反比例
考点分析
1．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。
如果这两种量中相对应的两个数的比的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。
如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：
=K（一定）。
2．用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。
对照图像，能根据一种量的值，估计另一种量相对应的值。
3．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。
如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。
如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的积，反比例关系可以用这样的式子来表示：
ｘｙ=K（一定）。
4．两个变量的比值一定，这两个变量成正比例；两个变量的积一定，这两个变量成反比例；没有上述两种关系，这两个变量不成比例。
比例有正反，判断是关键．分清三种量，关系式列全．正比商一定，
反比积不变．商积不一定，不成正与反．等式非乘除，同比例无关．
典型例题
例1（正比例的意义）一列火车行驶的时间和路程如下表。
这两种量有什么关系？
时间/时
1
2
3
4
5
6
……
路程/千米
120
240
360
480
600
720
……
分析与解：
（1）从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。
（2）从左往右看，时间扩大，路程也扩大；从右往左看，时间缩小，路程也缩小。
所以它们是两种相关联的量。
（3）路程和时间的比值始终不变，=120，=120，=120……这个比值就是火车的行驶速度。
通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：
第一点路程和时间是两种相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化；第二点路程和对应的时间的比的比值（也就是速度）是一定的，有这样的关系：
=速度（一定）。
具备了这两个条件，我们就可以得到结论：
行驶的路程和时间成正比例关系；行驶的路程和时间成正比例的量。
点评：
判断两种量是不是成正比例，分三步：
一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的比值是否一定。
不要省去任何一步。
如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：
=K（一定）。
例2（判断是否成正比例）
练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例？
为什么？
分析与解：
根据正比例的意义，看两个变量的比值是否一定，如果两个变量的比值一定，那么这两个变量就成正比例，反之，则不成正比例。
买练习本的数量和总价是两种相关联的量，它们与练习本的单价有下面的关系：
=练习本的单价（一定）
所以练习本的数量和总价成正比例。
例3（正比例的图像）磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。
时间/分
1
2
3
4
5
6
7
……
路程/千米
7
14
21
28
35
42
49
……
（1）图中的点A表示时间为1分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米。
请你试着描出其他各点。
（2）连接各点，它们在一条直线上吗？
（3）根据图像判断，列车运行2分半钟时，行驶的路程是多少千米？
行驶30千米大约需要几分钟？
路程/千米
42
35
28
21
14
7●A
0
1234567时间/分
分析与解：
根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线。
路程和时间相对应的数的比值都是7，即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一条直线。
对照图像，可以根据时间的值估计出路程的值，也可以根据路程的值估计出时间的值，估计时允许有一定的出入。
（1）描点、连线如图。
路程/千米
42●
35●
28●
21●
14●
7●A
0
1234567时间/分
（2）在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。
（3）根据图像，列车运行2分半钟时，行驶的路程是17.5千米；行驶30千米大约需要4.3分钟。
例4（辨析）圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例？
分析与解：
圆的周长和直径成正比例，而圆的面积和半径却不成正比例。
可列表判断。
半径/cm
1
2
3
4
5
6
……
直径/cm
2
4
6
8
10
12
……
周长/cm
6.28
12.56
18.84
25.12
31.4
37.68
……
面积/cm²
3.14
12.56
28.26
50.24
78.5
113.04
……
圆的周长和直径的相对应的数的比值都是3.14，所以圆的周长和直径成正比例。
而圆的面积和半径的相对应的数的比值是变化的，所以圆的面积和半径不成正比例。
圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不成正比例。
例5（反比例的意义）
下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。
这两种量有什么关系？
每小时加工零件的个数/个
20
30
40
60
80
……
加工的时间/时
12
8
6
4
3
……
分析与解：
（1）从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。
（2）从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小；从
右往左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。
所以它们是两种相关联的量。
（3）每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变，如20×12=240，30×8=240，40×6=240……而这个积就是这批零件的总个数。
通过观察和计算，我们发现：
每小时加工零件的个数和加工的时
间是两种相关联的量，每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而变化，但无论它们怎么变化，相对应的积是一定的，有这样的关系：
每小时加工零件的个数×加工的时间=零件的总个数（一定）。
所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之
间的关系叫做反比例关系。
点评：
判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：
一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的乘积是否一定，进行判断。
不要省去任何一步。
如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：
ｘｙ=K（一定）。
例6（判断是否成反比例）
总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？
为什么？
分析与解：
根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积一定，那么这两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。
每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系：
每公顷的产量×公顷数=总产量（一定）
所以每公顷的产量和公顷数成反比例。
例7（辨析）和一定，一个加数和另一个加数成反比例。
分析与解：
判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。
很明显，和一定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。
和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。
因为它们的积不一定。
点评：
有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一定，也不是比值一定，它们就不成比例。
像这样的还有：
人的跳高高度和身高；减数一定，被减数和差等。
例8（综合题1）
（1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？
为什么？
（2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？
为什么？
分析与解：
判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。
（1）因为长方形的长×宽=长方形的面积（一定），所以长和宽成反比例。
（2）长方形的周长=（长+宽）×2，长方形的周长一定，长+宽的和一定，但不是积一定，所以长和宽不成反比例。
例9（综合题2）
分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。
（1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数；
（2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数；
（3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。
分析与解：
在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，当某一种量一定时，另外两种量可能成正比例关系，也可能成反比例关系。
可以根据数量关系式来判断。
（1）因为每天吃的千克数×天数=大米的总千克数（一定），所以大米的总千克数一定时，每天吃的千克数和天数成反比例。
（2）因为=每天吃的千克数（一定），所以每天吃的千克数一定时，大米的总千克数和天数成正比例。
（3）因为=天数（一定），所以天数一定时，大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。
巩固训练
1．仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？
有什么关系？
为什么？
表格1
数量/本
1
3
6
8
10
20
……
总价/元
4
12
24
32
40
80
……
表格2
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
总价/元
6
8
12
16
20
24
……
表格3用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
数量/本
40
30
20
15
12
10
……
2．用一批纸装订练习本，每本25页，可装订400本。
如果要装订500本，每本有X页。
题中（）量一定，关系式：
（）○（）＝（）（一定），（）和（）成（）比例。
3．一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。
如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要Y块。
题中（）量一定，关系式：
（）○（）＝（）（一定），（）和（）成（）比例。
4．在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时，（）与（）成（）比例；
当高一定时，（）与（）成（）比例；
当侧面积一定时，（）与（）成（）比例。
5．在被除数、除数、商这三种量中，
当（）一定时，（）与（）成正比例；
当（）一定时，（）与（）成正比例；
当（）一定时，（）与（）成反比例；
6．当a×b＝c（a、b、c为三种量，且均不为0）。
（）一定，（）与（）成（）比例；
（）一定，（）与（）成（）比例；
（）一定，（）与（）成（）比例；
7．判断。
（1）工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。
（）
（2）图上距离和实际距离成正比例。
（）
（3）X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X－7Y＝0，X和Y不成比例。
（）
（4）分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。
（）
（5）在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。
（）
（6）两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。
（）
（7）订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。
（）
（8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。
（）
（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。
（）
（10）正方体的棱长和体积成正比例。
（）
（11）被除数一定，除数和商成反比例。
（）
（12）圆的周长和它的直径成正比例。
（）
8．判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。
（1）装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（）。
（2）正方形的边长和周长（）。
（3）水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（）。
（4）房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（）。
（5）在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（）。
（6）在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（）。
9．思考：
明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。
于是小张就说：
“明明的体重和身高成正比例。
”你认为小张的说法对吗？
为什么？
10．某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？
（1）把下表填写完整。
造纸时间/时
1
2
3
4
……
造纸吨数/吨
1.5
……
（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。
吨数/吨
6
5
4
3
2
1
0
1234567时间/时
（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？
为什么？
（4）根据图像判断，5小时造纸多少吨？
拓展提高
用比例解下列应用题；
1.学生参加搬砖劳动，6人搬砖162块。
照这样计算，再增加432块砖，需要学生多少人？
2.生产一批零件，师傅和徒弟两人合干用了15小时，已知师傅和徒弟的工效比是5：
3.求单独生产这批零件，师傅和徒弟各需用几小时？
3.一捆铅丝重520克，剪下20米，这捆铅丝减少了130克。
这捆铅丝还剩多少米？
4.一个工厂计划一年节约10800度电，实际前5个月就节约了6000度电。
照此，实际可节约多少度电？
5.修一条水渠，计划需要80人，40天完工。
实际开工10天后，又增加了20人，求还需多少天完工？
6.师徒工作效率的比是11：
9，两人共同要完成生产555个零件的任务，师傅先做一天后徒弟再来做。
师傅每天生产零件55个，完成任务时师傅共生产了几天？
家长签名：
11
升级会员 