大一高数知识点总结.docx

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大一高数知识点总结

篇一：

大一高数知识点,重难点整理第一章基础知识部分

1.1初等函数

一、函数的概念

1、函数的定义函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。

设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，记作y=f（x），其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

2、函数的表示方法

（1）解析法即用解析式（或称数学式）表示函数。

如y=2x+1,y=︱x︱，y=lg（x+1）,y=sin3x等。

便于对函数进行精确地计算和深入分析。

（2）列表法即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。

便于差的某一处的函数值。

（3）图像法即用图像来表示函数关系的方法非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。

分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如1?

2x?

1,x?

xsin,f?

2x?

1,x?

0x?

0隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。

所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。

而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F（x,y）=0给出的，如2x+y-3=0，e可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。

参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程?

y而由2x+y-3=0?

0等。

，?

给出的，?

这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。

反函数——如果在已给的函数y=f（x）中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=∮（y）叫做y=f（x）的反函数，记作x=fˉ1（y）或y=fˉ1（x）（以x表示自变量）.

二、函数常见的性质

1、单调性（单调增加、单调减少）

2、奇偶性（偶:

关于原点对称，f（-x）=f（x）；奇：

关于y轴对称，f（-x）=-f（x）.）

3、周期性（T为不为零的常数，f（x+T）=f（x），T为周期）

4、有界性（设存在常数M＞0，对任意x∈D，有f∣（x）∣≤M,则称f（x）在D上有界，如果不存在这样的常数M，则称f（x）在D上无界。

5、极大值、极小值

6、最大值、最小值

三、初等函数

1、基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为基本初等函数。

（图像、性质详见P10）

2、复合函数——如果y是u的函数y=f（u）,而u又是x的函数u=∫（x），且∫（x）的值域与f（x）的定义域的交非空，那么y也是x的函数，称为由y=f（u）与u=∫（x）复合而成的复合函数，记作y=f（∫（x））。

3、初等函数——由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。

四、函数关系举例与经济函数关系式

1、函数关系举例

2、经济函数关系式

（1）总成本函数——总成本=固定成本+变动成本平均单位成本=总成本/产量

（2）总收益函数——销售总收益=销售价格×产量

（3）总利润函数——总利润=销售总收益-总成本

（4）需求函数——若其他因素不变，需求量Q=f（P）（P为产品销售价格）

1.2函数的极限

一、数列的极限对于无穷数列{an}，当项数n无限增大时，如果an无限接近于一个确定的常数A，则lim称A为数列{an}的极限，记为a=A，或当n→∞时，an→A。

n→∞nlim1lim若数列{an}存在极限，也称数列{an}收敛，例如?

0，C?

C（C为n?

nn?

limn常数），q=0q?

1）。

n→∞若数列{an}没有极限，则称数列{an}发散。

数列极限不存在的两种情况：

（1）数列有界，但当n→∞时，数列通项不与任何常数无限接近，如：

1；

（2）数列无界，如数列{n2}。

二、当x→0时，函数f（x）的极限如果当x的绝对值无限增大（记作x→∞）时，函数f（x）无限地接近一个确定的常数A，那称A为函数f（x）当x→∞时的极限，记作limf?

A，或当x→∞时，f（x）→A。

单向极限定义如果当x?

或?

时，函数f（x）无限接近一个确定的长寿湖A，那么称A为函数f（x）当x?

或?

时得极限，记作lim?

lim?

。

fx?

三、当X→X时，函数f（x）的极限

1、当X→X时，函数f（x）的极限定义如果当x无限接近X（记作X→X）时，函数f（x）无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f（x）当X→X时的极限，记作limf?

A，或当X→X时，f（x）→A。

2、当X→X时，函数f（x）的左极限和右极限如果当X→Xˉ（或x?

x0）时，函数f（x）无限接近一个确定的常数A，则称函数f（x）当X→X时的左极限（右极限）为A，记作

四、无穷大与无穷小

1、无穷大与无穷小的定义?

lim?

fx?

Af?

x0?

x0lim?

。

lim如果当X→X时，f（x）→0，就称f（x）当X→X时的无穷小，记作f?

0；如x?

x0果当X→X时，f（x）的绝对值无限增大，就称函数f（x）当X→X时为无穷大，记作limf?

。

其中，如果当X→X时，f（x）向正的方向无限增大，就称函数f（x）当Xx?

x0lim→X时为正无穷大，记作f?

；如果当X→X时，f（x）向负的方向无限增大，x?

x0就称函数f（x）当X→X时为负无穷大，记作

2、无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化中，如果f（x）为无穷大，那么limf?

。

x01为无穷小；反之，如果f（x）f（x）为无穷小，那么1为无穷大。

f（x）根据这个性质，无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。

3、无穷小的性质性质1：

有限个无穷小的代数和为无穷小；性质2：

有限个无穷小的乘积为无穷小；性质3：

有界函数与无穷小的乘积为无穷小。

4、无穷小的比较设a与b是自变量同一变化中的两个无穷小，记作a=（b）；a=0，则称a是比b低阶的无穷小；ba

（2）如果lim=∞,则称a是比b高阶的无穷小；b

（1）如果lima=c（c为非零的常数）,则称a是比b同阶的无穷小。

ba特别的，当c=1,即lim=1时，称a与b是等阶无穷小，记作a～b。

（3）如果lim

1.3极限运算法则法则一若limu=A，limv=B，则lim（u±v）=limu±limv=A±B;法则二若limu=A，limv=B，则lim（u·v）=limu·limv=A·B；法则三若limu=A，limv=B，且B≠0，则limulimuA==vlimvB推论若limu=A，C为常数，k∈N，则

（1）limC·u=C·limu=C·A；

（2）limu=（limu）k=A注运用这一法则的前提条件是u与v的极限存在（在商的情况下还要求分母的极限不为零）。

1.4两个重要极限

一、limsinx=1x?

0xlim?

二、?

=ex?

1.5函数的连续性

一、函数连续性的概念

1.函数在某点的连续性若函数f（x）在点x0及其左右有定义，且处连续，x0为函数f（x）的连续点。

理解这个定义要把握三个要点：

（1）f（x）要在点x0及其左右有定义；

（2）limf（x）=f（x0），则称函数f（x）在点x0x?

x0limf（x）要存在x?

x0limf（x）=f（x0）。

（3）增量△x=x-x0△y=f（x）-f（x0）设函数f（x）在点x0及其左右有定义，如果当自变量x在点x0处的增量△x趋近于零时，相应的函数增量△y也趋近于零，即lim则称函数f（x）在点x0处连续，x0?

0，?

0为f（x）的连续点。

2.函数在区间上的连续性、连续函数如果函数f（x）在区间（a，b）上每一点上连续，则称函数f（x）在区间（a，b）上连续。

如果函数f（x）在某个区间上连续，就称f（x）是这个区间上的连续函数。

二、连续函数的运算与初等函数的连续性

1.连续函数的运算如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）在这一点也连续。

设函数u?

在点x0处连续，且u0?

x0?

，函数y=f（u）点u0处连续，那么复合函数y?

f（?

x0?

）在点x0处也连续。

2.初等函数的连续性初等函数在其定义域内是连续的。

第二章微分与导数

2.1导数的概念设函数y=f（x）在点x0处及其左右两侧的小范围内有定义，当△x→0时，若?

y得极限?

x存在，则称y=f（x）在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f（x）点x0处的导数，记作limf?

x0?

y，?

x0?

f’?

xlim还可记作y’∣x?

x0或dydy∣x?

x0dxdx∣x?

x0。

（x0）和f?

（x0）都存在且等于A，即函数f（x）在点x0可导且f′（x0）=A等价于f?

x0?

A。

x0?

根据这个定理，函数在某点的左、右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等，该点的导数就不存在。

2.2导数的四则运算法则和基本公式

篇二：

高等数学知识点归纳第一讲:

一.数列函数:

1.类型:

极限与连续

（1）数列:

*an?

f（n）;*an?

f（an）

（2）初等函数:

（3）分段函数:

*F（x）?

f1（x）x?

x0?

f（x）x?

x0;*F（x）?

;*,,?

ax?

x0?

f2（x）x?

（4）复合（含f）函数:

f（u）,u?

（x）

（5）隐式（方程）:

F（x,y）?

0（6）参式（数一,二）:

x（t）?

y（t）（7）变限积分函数:

F（x）?

xaf（x,t）dt（8）级数和函数（数一,三）:

S（x）?

2.特征（几何）:

ax,x?

nnn?

（1）单调性与有界性（判别）;（f（x）单调?

x0,（x?

x0）（f（x）?

f（x0））定号）

（2）奇偶性与周期性（应用）.

3.反函数与直接函数:

f（x）?

f二.极限性质:

1.类型:

*liman;*limf（x）（含x?

）;*limf（x）（含x?

x0?

）n?

1（y）?

1（x）x?

2.无穷小与无穷大（注:

无穷量）:

3.未定型:

,1,?

00,?

00?

4.性质:

*有界性,*保号性,*归并性

三.常用结论:

ann?

1,a（a?

0）?

1,（a?

maxa（b,,c,）?

0n!

nn1n1n1nn1xnlnnxxx?

1,lix?

0,（x?

0）?

lim,lim?

0xexxxlnx?

0lim,e?

0x?

四.必备公式:

1.等价无穷小:

当u（x）?

0时,ux（?

）ux（;）tanu（x）?

u（x）;1?

csu（x）?

sin12u（x）;2eu（x）?

u（x）;ln（1?

u（x））?

u（x）;（1?

u（x））?

u（x）;unx（?

）ux;（arctanu（x）?

u（x）arcsi

2.泰勒公式:

12x?

（x2）;2!

122

（2）ln（1?

x）?

（x）;2134

（3）sinx?

（x）;3!

12145

（4）csx?

（x）;2!

（?

1）2?

（x2）.

（5）（1?

x）?

（1）e?

x五.常规方法:

前提:

（1）准确判断,

1.抓大弃小（0?

1,1,?

M（其它如:

00,?

0）;

（2）变量代换（如:

t）0?

）,?

2.无穷小与有界量乘积（?

M）（注:

sin?

1,x?

）x

3.1处理（其它如:

0,?

）

4.左右极限（包括x?

）:

11x

（1）（x?

0）;

（2）e（x?

）;ex（x?

0）;

（3）分段函数:

x,[x],maxf（x）x00

5.无穷小等价替换（因式中的无穷小）（注:

非零因子）

6.洛必达法则

（1）先”处理”,后法则（0xlnxxlnx最后方法）;（注意对比:

lim与lim）x?

1x?

001?

x1?

xv（x）

（2）幂指型处理:

u（x）?

ev（x）lnu（x）（如:

e1x?

e（e1x1x11?

1x?

1））

（3）含变限积分;

（4）不能用与不便用

7.泰勒公式（皮亚诺余项）:

处理和式中的无穷小

8.极限函数:

f（x）?

limF（x,n）（?

分段函数）n?

六.非常手段

1.收敛准则:

（1）an?

f（n）?

limf（x）x?

（2）双边夹:

*bn?

an?

cn?

*bn,cn?

（3）单边挤:

an?

f（an）*a2?

a1?

*an?

*f（x）?

fx0（）?

x1112n[?

）f（?

）?

f（?

）]fxd（

3.积分和:

lif,x）0n?

nnnn

2.导数定义（洛必达?

）:

4.中值定理:

lim[f（x?

a）?

f（x）]?

alimf（?

）x?

5.级数和（数一三）:

2nn!

（1）?

an收敛?

liman?

0,（如limn）

（2）lim（a1?

a2?

an）?

an,n?

nn?

1n?

（3）{an}与?

（an?

1n?

an?

1）同敛散七.常见应用:

1.无穷小比较（等价,阶）:

*f（x）?

kxn,（x?

0）?

（1）f（0）?

f（0）?

（2）（n?

1）（0）?

0,f（n）（0）?

f（x）?

anax?

（xn）?

xnn!

xf（t）dt?

ktndtx

2.渐近线（含斜）:

f（x）,b?

lim[f（x）?

ax]?

f（x）?

ax?

（2）f（x）?

ax?

（?

0）x

（1）a?

lim

3.连续性:

（1）间断点判别（个数）;

（2）分段函数连续性（附:

极限函数,f（x）连续性）八.[a,b]上连续函数性质

1.连通性:

f（[a,b]）?

[m,M]（注:

1,“平均”值:

f（a）?

（1?

）f（b）?

f（x0））

2.介值定理:

（附:

达布定理）

（1）零点存在定理:

f（a）f（b）?

f（x0）?

0（根的个数）;

（2）f（x）?

（?

xaf（x）dx）?

0.第二讲:

导数及应用（一元）（含中值定理）一.基本概念:

1.差商与导数:

f（x）?

lim?

0f（x?

x）?

f（x）f（x）?

f（x0）;f（x0）?

limx?

x0?

xx?

（1）f（0）?

limx?

0f（x）?

f（0）f（x）?

A（f连续）?

f（0）?

0,f（0）?

A）（注:

limx?

0xx

（2）左右导:

（x0）,f?

（x0）;

（3）可导与连续;（在x?

0处,x连续不可导;xx可导）

2.微分与导数:

f（x?

x）?

f（x）?

（?

x）?

df?

f（x）dx

（1）可微?

可导;

（2）比较?

f,df与0的大小比较（图示）;二.求导准备:

1.基本初等函数求导公式;（注:

（f（x）））

2.法则:

（1）四则运算;

（2）复合法则;

（3）反函数

三.各类求导（方法步骤）:

dx1?

dyyf（x?

h）?

f（x?

h）h

1.定义导:

（1）f（a）与f（x）x?

（2）分段函数左右导;

（3）limh?

F（x）x?

x0（注:

f（x）?

求:

f（x0）,f（x）及f（x）的连续性）,x?

xa?

2.初等导（公式加法则）:

（1）u?

f[g（x）],求:

u（x0）（图形题）;

（2）F（x）?

（3）y?

xaf（t）dt,求:

F（x）（注:

（?

f（x,t）dt）,（?

f（t）dt））aaaxbb?

f1（x）x?

x0,,求f?

（x0）,f?

（x0）及f（x0）（待定系数）?

f2（x）x?

x0dyd2y,

3.隐式（f（x,y）?

0）导:

dxdx2

（1）存在定理;

（2）微分法（一阶微分的形式不变性）.

（3）对数求导法.?

x（t）dyd2y,2

4.参式导（数一,二）:

求:

dxdx?

y（t）

5.高阶导f（n）（x）公式:

（e）ax（n）1（n）bnn!

;）?

ae;（n?

1a?

bx（a?

bx）nax（n）（sinax）?

ansin（ax?

n）;（csax）（n）?

ancs（ax?

n）1（n?

1）2（n?

2）（uv）（n）?

u（n）v?

Cnuv?

注:

f（n）f（n）（0）（0）与泰勒展式:

f（x）?

a0?

a1x?

a2x2?

anx?

an?

n四.各类应用:

1.斜率与切线（法线）;（区别:

f（x）上点M0和过点M0的切线）

2.物理:

（相对）变化率?

速度;

3.曲率（数一二）:

曲率半径,曲率中心,曲率圆）

4.边际与弹性（数三）:

（附:

需求,收益,成本,利润）五.单调性与极值（必求导）

1.判别（驻点f（x0）?

0）:

（1）f（x）?

f（x）?

;f（x）?

f（x）?

;

（2）分段函数的单调性

（3）f（x）?

零点唯一;f（x）?

驻点唯一（必为极值,最值）.

2.极值点:

（1）表格（f（x）变号）;（由limx?

x0f（x）f（x）f（x）?

0,lim?

0,lim2?

0的特点）x?

x0x?

x0xxx

（2）二阶导（f（x0）?

0）注

（1）f与f,f的匹配（f图形中包含的信息）;

（2）实例:

由f（x）?

（x）f（x）?

g（x）确定点“x?

x0”的特点.

（3）闭域上最值（应用例:

与定积分几何应用相结合,求最优）

3.不等式证明（f（x）?

0）

（1）区别:

*单变量与双变量?

*x?

[a,b]与x?

[a,?

）,x?

（?

）?

（2）类型:

*f?

0,f（a）?

0;*f?

0,f（b）?

篇三：

吉林大学高数知识点公式大全吉林大学高数复习公式高等数学公式平方关系：

sin^2（α）+cs^2（α）=1tan^2（α）+1=sec^2（α）ct^2（α）+1=csc^2（α）积的关系：

sinα=tanα*csαcsα=ctα*sinαtanα=sinα*secαctα=csα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*ctα倒数关系：

tanα·ctα=1sinα·cscα=1csα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,两角和与差的三角函数：

cs（α+β）=csα·csβ-sinα·sinβcs（α-β）=csα·csβ+sinα·sinβsin（α±β）=sinα·csβ±csα·sinβtan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）三角和的三角函数：

sin（α+β+γ）=sinα·csβ·csγ+csα·sinβ·csγ+csα·csβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcs（α+β+γ）=csα·csβ·csγ-csα·sinβ·sinγ-sinα·csβ·sinγ-sinα·sinβ·csγtan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα）吉林大学高数复习公式辅助角公式：

Asinα+Bcsα=（A^2+B^2）^（1/2）sin（α+t），其中sint=B/（A^2+B^2）^（1/2）cst=A/（A^2+B^2）^（1/2）tant=B/AAsinα+Bcsα=（A^2+B^2）^（1/2）cs（α-t），tant=A/B倍角公式：

sin（2α）=2sinα·csα=2/（tanα+ctα）cs（2α）=cs^2（α）-sin^2（α）=2cs^2（α）-1=1-2sin^2（α）tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角公式sin（3α）=3sinα-4sin^3（α）cs（3α）=4cs^3（α）-3csα半角公式：

sin（α/2）=±√（（1-csα）/2）cs（α/2）=±√（（1+csα）/2）tan（α/2）=±√（（1-csα）/（1+csα））=sinα/（1+csα）=（1-csα）/sinα降幂公式sin^2（α）=（1-cs（2α））/2=versin（2α）/2cs^2（α）=（1+cs（2α））/2=cvers（2α）/2tan^2（α）=（1-cs（2α））/（1+cs（2α））万能公式：

sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]csα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积化和差公式：

sinα·csβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]csα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]csα·csβ=（1

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