新课标全国卷2高考理科数学试题及答案.docx
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新课标全国卷2高考理科数学试题及答案
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,
字体工整,笔迹清楚
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;
在草稿纸、试卷上答题无效
4•作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5•保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
、选择题:
本题共
12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有
项是符合题目要求的。
3i
1.
1i
B.1-2i
2•设集合丄二「1,2,4m-「xX2-4x•m=ol若丄门三工1,则2-()
3•我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共
灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
4•如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一
平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()
A.90二B.63C.42二D.36二
2x3y—3_0
5•设x,y满足约束条件<2x—3y+3K0,贝Vz=2x+y的最小值是()
y+3^0
A.-15B.-9C.1D.9
6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排
方式共有()
A.12种B.18种C.24种D.36
种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位
优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()
A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图,如果输入的a--1,则输出的S=()
A.2B.3C.4D.5
22
22
(x—2)+y=4所截得的
xy
9.若双曲线C:
—2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆
ab
弦长为2,则C的离心率为()
C.、2
10•已知直三棱柱匸Q中,•JdC=120E,—-一2,mCnCOnl,则异面直
线二m1与三C1所成角的余弦值为()
C』
5
11•若x=-2是函数f(x)=(x2+ax—1)ex」'的极值点,贝Uf(x)的极小值为()
16.已知F是抛物线C:
y2=8x的焦点,\、I是C上一点,F\、I的延长线交y轴于点、•若II
n1
15.等差数列:
aj的前n项和为Sn,a^3,S4-10,则
心Sk
为FN的中点,贝UFN
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第17~21题为必做题,
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
2b
ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(AC)=8sin2巴•
2
(1)求cosB
⑵若a^6,ABC面积为2,求b.
18.(12分)
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个
网箱,测量各箱水产品的产量(单位:
kg)某频率直方图如下:
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:
旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量v50kg
箱产量>50kg
旧养殖法
新养殖法
n(ad-be)2
(ab)(ed)(ae)(bd)
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)
P(错误!
未找到引用源。
)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
2
19.(12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD,
1
AB二BCAD,BAD二ABC=90°,E是PD的中点.
2
(1)证明:
直线CE//平面PAB
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成锐角为45°,求二面角M-AB-D的
余弦值
设O为坐标原点,动点
2
w
M在椭圆C:
y2=1上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P
2
20.
(12分)
满足NP=.2nM.
(1)求点P的轨迹方程;
T—*
⑵设点Q在直线x=-3上,且OP-PQ=1.证明:
过点P且垂直于0Q的直线I过C的左焦
点F.
21.(12分)
已知函数f(x)二ax3-ax-xlnx,且f(x)一0.
(1)求a;
(2)证明:
f(x)存在唯一的极大值点x0,且e,:
:
:
f(x0):
:
:
2二
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为「cost-4.
(1)M为曲线G上的动点,点P在线段OM上,且满足|OMI・|OP|=16,求点P的轨迹C2
的直角坐标方程;
n
(2)设点A的极坐标为(2,),点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.
3
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
已知a0,b0,a3b^2,证明:
(1)(ab)(a3b3)-4;
(2)ab-2.
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案
、选择题
7.D8.B
9.A
10.C11.A
12.B
二、填空题
13.1.96
14.1
15.
2nn1
1.D2.C3.B4.B
5.A
6.D
三、解答题
16.6
17.解:
sinB=4(1-cosB)
2
上式两边平方,整理得17cosB-32cosB+15=0
由余弦定理及
-2accosB
.222
bac
2
(a+c)-2ac(1-cosB)
17x15=36-2
(1)
所以b=2
(1)记B
表示事件旧养殖法的箱产量低于
50kg”,C表示事件新养殖法的箱产量不低
18•解:
于50kg
由题意知
PAl=PBCPBPC
旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
(0.0400.0340.0240.0140.012)5=0.62
故PB的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为
(0.0680.0460.0100.0085=0.66
故PC的估计值为0.66
因此,事件A的概率估计值为0.620.66=0.4092
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量<50kg
箱产量>50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
2
22006266-3438
K15.705
100X100X96104
由于15.7056.635
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图面积为
0.0040.0200.0445=0.34:
:
:
0.5,
箱产量低于55kg的直方图面积为
0.0040.0200.044+0.0685=0.680.5
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
0.5-0.34-/、
50+~52.35(kg)•
0.068
19.解:
(1)取PA中点F,连结EF,BF.
1因为E为PD的中点,所以EFLAD,EF=AD,由.BAD=/ABC=90得BC//AD,
2
1
又BCAD
2
所以EF/BC•四边形BCEF为平行四边形,CE/BF.
又BF平面PAB,CE二平面PAB,故CE//平面PAB
(2)
由已知得BA_AD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,AB为单位长,建立如
图所示的空间直角坐标系A-xyz,则
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),
PC=(1,0,.3),AB=(1,0,0)则
BM(x-1,y,z),PM(x,y—1,z—.3)
因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所
cos(BM,n/=sin45°,
(x-1)2y2z22
即(x-1)2+y2-z2=0
又M在棱PC上,设PM=PC,则
所以可取m=(0,
-6,2)•于是cos:
m,n
mn
mn
~5~
因此二面角M-AB-D的余弦值为
5
20.解
(1)设P(x,y),M(x°,y0),设N(x°,0),NP=x-x°,y,NM二0,y°
由NP=得x^x,y0=#y
22
因为M(x0,y0)在C上,所以If-1
的法向量,则
设m=X),y0,z0是平面ABM
因此点P的轨迹方程为x2寸=2
(2)由题意知F(-1,0)•设Q(-3,t),P(m,n),则
OQ|_PF=33m-tn,
—fT
OQ=:
[-3,t,PFh[「1-m,-n
OP=m,n,PQ=_3—m,t-n,
由OPLPQ=1得-3m—m2亠tn—n2=1,又由
(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0
P且垂直于
所以OQLPF=0,即OQ_PF•又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点
OQ的直线I过C的左焦点F.
21.解:
(1)fx的定义域为0,+:
:
设gx=ax-a-lnx,贝Ufx=xgx,fx]■■-0等价于gx〕:
:
:
0
1
因为g1=0,gx_0,故g'1=0,而g'xj=a,g'1=a-1,得a=1x
1、
若a=1,则gx=1--.当01时,g'x>0,
x
gx单调递增.所以x=1是gx的极小值点,故gx]:
:
:
g1=0
综上,a=1
设hx=2x_2_Inx,则h'(x)当x•吩时,h'xv0;当x
亠丄
x
--,+:
:
2
时,h'x>0,所以hx在10,1单调递减,
在!
+:
:
2
口2仟)
又he2>0,h|<0,h1=0,
单调递增
点1,且当x三[0,x0时,hx>0;当
所以hx在10,-1有唯一零点x°,在?
+:
:
有唯一零
x三ix0,1时,hx<0,当x三\+:
:
时,hx>0.
因为f'x二hx,所以X=X0是f(x)的唯一极大值点
由f'Xoi;=0得InXo-1),故fx0=Xo(1—Xo)
1
由X。
•0,1得f'x。
<4
因为x=X0是f(x)在(0,1)的最大值点,由e亠0,1,f'eA=0得
fX0>fe1二
所以e*22.解:
(1)设P的极坐标为「,」W>0,M的极坐标为J,「1':
1>0,由题设知
OP二P,OM
「二一
1cos-
由OM[OP]=16得C2的极坐标方程P=4cosT(P>0
22
因此C2的直角坐标方程为x-2y=4x=0
(2)设点B的极坐标为iI,*ii卜B>0,由题设知
OA=2,Pb=4cosot,于是△OAB面积
1
=4cos:
S=*OA話in.AOB
2
sin2ct-
3Tr
I
-"2"
sin
3J
<2G
ji
a-—
二巨时,s取得最大值2+
所以△OAB面积的最大值为
23•解:
aba
6,5
aab
5,6
abb
(1)
a3b3-2a3b3abab4
(2)因为
3a2b3ab2b3
二23aba+b
3
3a+b
2
3(a+b)
乞2+a+b=2
44