浙江省中考《第21讲矩形菱形与正方形》总复习讲解Word下载.docx
《浙江省中考《第21讲矩形菱形与正方形》总复习讲解Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江省中考《第21讲矩形菱形与正方形》总复习讲解Word下载.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
（4）菱形的面积等于对角线乘积的．
菱形的判定
（1）定义法．
（2）四条边的四边形是菱形．
（3）对角线的平行四边形是菱形．
3.正方形
正方形
的定义
有一组邻边，并且有一个角是_______________的平行四边形叫做正方形．
的性质
（1）正方形的四条边，四个角都是，对角线互相且，并且每一条对角线平分一组对角，具有矩形和菱形的所有性质．
（2）正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有_____________条，对称中心是对角线的交点．
的判定
（1）有一组邻边相等的____________________是正方形.
（2）有一个角是直角的是正方形．
（3）对角线的四边形是正方形．
4.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
基本
方法
正方形的判定可简记为：
菱形＋矩形＝正方形，其证明思路有两个：
先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；
或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）．
1．（2016·
杭州）在菱形ABCD中，∠A＝30°
，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°
的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为____________________．
2．（2016·
衢州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？
请说明理由．
【问题】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题，回答下列问题：
（1）将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系图中：
（2）要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的________相等；
或者先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一角是________．
（3）如图菱形ABCD，某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是S＝
a2，对此结论，你认为是否正确？
若正确，请给予证明；
若不正确，举出一个反例来说明．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，以及性质与判定．
类型一 矩形的性质与判定
（1）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．AC＝BDC．AB＝BCD．AC⊥BD
（2）如图，在矩形ABCD中，有以下结论：
①△AOB是等腰三角形；
②S△ABO＝S△ADO；
③AC＝BD；
④AC⊥BD；
⑤当∠ABD＝45°
时，矩形ABCD会变成正方形；
⑥AC所在直线为对称轴；
⑦矩形ABCD的周长是28，点E是CD的中点，AC＝10时，△DOE的周长是12.则正确结论的序号是________．
【解后感悟】
（1）结合图形，利用图形条件、已知条件综合判定；
（2）熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键．
1．
（1）（2015·
南昌）如图，小贤为了检验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（ ）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
（2）（2015·
临沂）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB＝BEB．DE⊥DCC．∠ADB＝90°
D．CE⊥DE
2．（2017·
南京模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.
（1）求证：
∠PNM＝2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
类型二 菱形的性质与判定
（1）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连结OE，
①若菱形的边长是10，一条对角线长是12，则此菱形的另一条对角线长是______．
②若OE＝3，则菱形的周长是________．
③若∠ABC＝60°
，周长是16，则菱形的面积是________．
（2）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°
，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件后，使得四边形ABCD是菱形，现有下列四种选法，其中都正确的是（ ）
A．①或②B．②或③C．③或④D．①或④
（1）熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键；
（2）结合图形，利用图形条件、已知条件综合判定．
3．
（1）（2015·
黔东南州）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（ ）
A.
B.
C．12D．24
（2）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：
①BE⊥EC；
②BF∥CE；
③AB＝AC；
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是____________________（只填写序号）．
（3）（2016·
梅州）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于
BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连结AP并延长交BC于点E，连结EF.
①四边形ABEF是____________________；
（选“矩形”、“菱形”、“正方形”或“无法确定”）（直接填写结果）
②AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，则AE的长为____________________，∠ABC＝____________________°
.（直接填写结果）
4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连结CF.
四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°
，求菱形BCFE的面积．
类型三 正方形的性质与判定
如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连结DF、AE，AE的延长线交DF于点M.求证：
AM⊥DF.
【解后感悟】正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质．正方形的判定方法有两条道路：
（1）先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；
（2）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．
5．
（1）（2015·
日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：
①AB＝BC，②∠ABC＝90°
，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
（2）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°
，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（ ）
A．2B．3C．2
D．2
（3）（2015·
黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°
，则∠AED等于____________________度．
6．（2017·
绍兴模拟）如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连结BF、DF.
BF＝DF；
（2）连结CF，请直接写出BE∶CF的值（不必写出计算过程）．
类型四 特殊平行四边形的综合运用
（2016·
临沂）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连结DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连结FG，FC.
（1）请判断：
FG与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，
（1）中结论是否仍然成立？
请作出判断并给予证明；
（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，
（1）中结论是否仍然成立？
请直接写出你的判断．
【解后感悟】本题是三角形与四边形综合问题，涉及全等三角形、平行四边形、矩形、正方形的判定与性质．解题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换，从而求证出平行四边形．
7．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF.给出下列五个结论：
①AP＝EF；
②AP⊥EF；
③△APD一定是等腰三角形；
④∠PFE＝∠BAP；
⑤PD＝
EC.其中正确结论的序号是____________________．
8．（2016·
荆州）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连结EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？
【课本改变题】
教材母题－－浙教版八下第147页，作业题第5题
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°
.
求证：
BE＝CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°
，EF＝4.求GH的长；
（3）已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°
，EF＝4.直接写出下列两题的答案：
①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长（用n的代数式表示）．
【方法与对策】这题是从特殊到一般的规律探究题．从课本题出发逐步提出问题，解决问题，然后根据这些解题体验，领悟解题方法，再来解决一般性问题，这是中考命题热点之一，平时学习要重视一些典型的基本图形．
【由于思维定势，对问题考虑不全】
若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为________．
参考答案
【考点概要】
1．直角 直角 相等 对角线的交点 对角线相等 2.邻边相等 相等 垂直平分 对角线的交点 一半相等 互相垂直 3.相等 直角 相等 直角 垂直平分 相等 四 矩形 菱形 互相垂直平分且相等4.两组对边分别平行 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角
【考题体验】
1．105°
或45°
2．
（1）如图，EF为所求直线；
（2）四边形BEDF为菱形，理由为：
证明：
∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四边形BEDF为菱形．
【知识引擎】
【解析】
（1）根据在平行四边形中，邻边相等的是菱形，邻边垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，可根据此关系来画图．如图
（2）根据正方形的判定方法进行解答即可．即两种常见的方法：
①一组邻边相等的矩形是正方形．②一个角是直角的菱形是正方形．∴填：
一组邻边，直角．（3）本题的证明方法有多种，可根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，将正方形分成四个直角三角形的面积和来求证，也可通过对角线求出正方形的边长来求证．∴结论正确．证明：
S正方形ABCD＝S△AOB＋S△AOD＋S△COD＋S△BOC＝4×
×
a×
a＝
a2.
【例题精析】
例1
（1）B；
（2）①②③⑤⑦ 例2
（1）①16 ②24 ③8
（2）D
例3 证明：
∵四边形ABCD是正方形，∴OD＝OC.又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OF＝OE，在Rt△AOE和Rt△DOF中，
∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°
，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°
，即可得AM⊥DF.
例4
（1）FG＝CE，FG∥CE；
（2）过点G作GH⊥CB的延长线于点H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°
，∵∠GEH＋∠HGE＝90°
，∴∠DEC＝∠HGE，在△HGE与△CED中，
，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH＝CE，HE＝CD，∵CE＝BF，∴GH＝BF，∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝EC，∴FG＝EC. （3）成立．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°
，在△CBF与△DCE中，
，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，∵EG＝DE，∴CF＝EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°
，∵∠CDE＋∠DEC＝90°
，∴∠CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF是平行四边形，∴FG∥CE，FG＝CE.
【变式拓展】
1．
（1）C
（2）B
2.
（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN＝∠MNB，∵∠PNB＝3∠CBN，∴∠PNM＝2∠CBN；
（2）连结AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN＝∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN＝∠ANM，由
（1）知∠PNM＝2∠CBN，∴∠PAN＝∠PNA，∴AP＝PN，∵AB＝CD＝4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN＝2，设AP＝x，则PD＝6－x，在Rt△PDN中，PD2＋DN2＝PN2，∴（6－x）2＋22＝x2，解得：
x＝
，所以AP＝
3.
（1）A
（2）③ （3）①菱形 ②10
120
4.
（1）略；
（2）∵∠BCF＝120°
，∴∠EBC＝60°
，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2
，∴菱形的面积为4×
2
＝8
.
5.
（1）B
（2）C（3）65
6.
（1）只要证明△BEF≌△DGF（SAS），∴BF＝DF；
（2）∵BF＝DF，∴点F在对角线AC上，∵AD∥EF∥BC，∴BE∶CF＝AE∶AF＝AE∶
AE＝
，∴BE∶CF＝
.
7.①②④⑤
8.当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′.理由：
∵△BCA是直角三角形，∠ACB＝90°
，AD＝DB，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠DA′E＝∠A，∠DEA′＝∠DCA，∴∠DA′E＝∠DEA′，∴DA′＝DE，∴△A′DE是等腰三角形，∵四边形DEFD′是菱形，∴EF＝DE＝DA′，EF∥DD′，∴∠C′EF＝∠DA′E，∠EFC′＝∠C′D′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE＝∠A′D′C′＝∠EFC′，在△A′DE和△EFC′中
∴△A′DE≌△EFC′.
【热点题型】
【分析与解】
（1）证明：
如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°
，∴∠EAB＋∠AEB＝90°
.∵∠EOB＝∠AOF＝90°
，∴∠FBC＋∠AEB＝90°
，∴∠EAB＝∠FBC，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF.
（2）如图，过点A作AM∥GH交BC于M，过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF＝BN，GH＝AM，∵∠FOH＝90°
，AM∥GH，EF∥BN，∴∠NO′A＝90°
，故由
（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，∴GH＝EF＝4. （3）①8 ②4n.
【错误警示】由题中射线BM交正方形的一边于点F知有如下两种情形：
∴BM＝
或
升级会员 