二次函数在给定区间上的最值问题Word格式.docx

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，max[（）]（）fxfp?

或（）fq，至于最大值究竟是（）fp还是（）fq，还需通过考察对称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：

若22bpqpa?

，则max[（）]（）fxfq?

若22pqbqa?

，则max[（）]（）fxfp?

（ⅲ）若2bqa?

pq的右侧，则函数（）fx在给定区间?

pq上单调递减，此时max[（）]（）fxfp?

，min[（）]（）fxfq?

.

综上可知，当0a?

时，

max（）,22[（）]（）,22bpqfqafxbpqfpa?

若若；

min（）,2[（）]（）,22（）,2bfppabbfxfpqaabfqqa?

若若若.

通过同样的分析可得到：

当0a?

3/13

max（）,2[（）]（）,22（）,2bfppabbfxfpqaabfqqa?

若若若；

min（）,22[（）]（）,22bpqfqafxbpqfpa?

若若.

例4、已知21x?

且2a?

，求函数2（）3fxxax?

的最值.例5、求函数（）（）fxxxa?

1,1?

上的最大值.

例6、求函数2（）21fxxax?

0,2上的最大值和最小值.

例7、设函数2（）fxxaxb?

（,abR?

），当214ab?

时，求函数（）fx在区间?

上的最小值（）ga的解析式

.

22222222（）1（）1422122（）[1,1]（）

（1）11244122（）[1,1]（）

（1）11244aaafxxaxbxaxxxaafxaagafaaaafxaagafaa?

函数的图像是开口向上，对称轴为直线的抛物线（i）若,即此时函数在上单调递增于是（ii）若,即此时函数在上单调递减于是（iii）[解析]2211222（）[1,][,1]22（）（）12224（）1,22224aaaafxagafaaagaaaaa?

若,即此时函数在上单调递减,在上单调递增于是，综上可知，，

例8、已知函数2（）1fxxmx?

，若对于任意的[,1]xmm?

，都有（）0fx?

成立，则实数m的取值范围是_______.CaseⅢ、给定区间变化，对称轴位置确定

4/13

此种类型，考试中出现的较少，一般是给定区间里含有参数.解决此类问题，亦可根据对称轴与给定区间的位置关系，分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.解法：

若二次函数的给定区间是变化的，而其对称轴的位置是确定的，则要求二次函数在给定区间上的最值，需对变化区间是否包含其对称轴的横坐标进行分类讨论，分类标准为：

变化区间包含其对称轴的横坐标，变化区间不包含其对称轴的横坐标.解决方法与知识点2类似，这里不再赘述.

例9、已知函数2（）

（1）1fxx?

定义在区间?

1tt?

（tR?

）上，求（）fx的最小值.例10、已知函数2（）23fxxx?

，当?

1xtt?

）时，求（）fx的最大值.CaseIV、与二次函数最值问题有关的综合题型

利用二次函数在给定区间上取得最值，可以求解、证明或探究以下综合问题：

（1）求函数的最值或最值的取值范围；

（2）求函数的解析式；

（3）证明不等式；

（4）求参数的取值范围；

（5）探究参数是否存在；

……

例11、设函数?

221fxxaxa?

，?

0,2x?

，a为常数.（I）求?

fx的最小值（）ga的解析式；

（II）在（I）中，是否存在最小的整数m，使得（）0gam?

对于任意aR?

均成立.若存在，求出m的值；

若不存在，请说明理由.

【解析】

（I）函数?

22221（）1fxxaxaxaaa?

的图像是开口向上，对称轴为直线xa?

的抛物线

（i）若0a?

，即0a?

此时函数（）fx的对称轴xa?

不在区间?

0,2上，（）fx在区间?

0,2上单调递增

于是min（）[（）]（0）1gafxfa?

（ii）若2a?

，即2a?

0,2上单调递减

5/13

于是min（）[（）]

（2）44133gafxfaaa?

（iii）若02a?

，即20a?

0,a?

上单调递减，在区间?

2a?

上单调递增

于是2min（）[（）]（）1gafxfaaa?

综上可知，21,0（）1,2033,2aagaaaaaa?

（II）要使（）0gam?

对于任意的aR?

均成立，只需max[（）]mga?

，aR?

下求max[（）]ga

由函数（）ga的图像可见，（）ga

在1（,]2?

上单调递增，在1[,）2?

上单调递减

2max1113[（）]（）（）（）12224gag?

于是34m?

又mZ?

故m的最小值为0

例12、已知函数2（）2fxxaxb?

），记M是|（）|fx在区间[0,1]上的最大值.

（Ⅰ）当0b?

且2M?

时，求a的值；

（Ⅱ）若12M?

，证明01a?

.【解析】

（I）函数222（）2（）fxxaxbxaab?

而函数（）fx的图像是将函数（）fx在x轴上方的图像保持不变、把它在x轴下方的图像翻折上去得到的

（I）当0b?

时，函数222（）2（）fxxaxxaa?

不在区间[0,1]上，（）fx在区间[0,1]上单调递增

6/13

于是?

max[（）]max（0）,

（1）max0,12122Mfxffaa?

122122aa?

或，即12a?

（舍去32a?

）

（ii）若1a?

不在区间[0,1]上，（）fx在区间[0,1]上单调递减

或，即32a?

（舍去12a?

（iii）若01a?

在区间[0,1]上，（）fx在区间?

0,a上单调递减，在区间?

1a上单调递增

2max[（）]max（）,

（1）max,122Mfxfafaa?

当22a?

时，2[0,1]a?

，舍去

当122a?

时，122122aa?

或?

12a?

或32a?

，均舍去

综上可知，12a?

（II）（0）

（1）12fbfab?

1（11（0）（11（0）（12222bfffffa?

）））

又12M?

1（0）2f?

，1

（1）2f?

11（0）22f?

，11

（1）22f?

于是有1（0）

（1）1ff?

故111（0）（11101222222ffa?

），即[0,1]a?

例13、（2015浙江高考）已知函数2（）fxxaxb?

（a，bR?

），记（,）Mab

7/13

是（）fx在区间?

上的最大值.

（1）证明：

当2a?

时，（,）2Mab?

（2）当a，b满足（,）2Mab?

时，求ab?

的最大值.

【分析】本题考查的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的最值问题.解决此类问题的关键是正确理解“（,）Mab是（）fx在区间?

上的最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识。

（1）函数222（）（）24aafxxaxbxb?

的图像是开口向上，对称轴为直线2ax?

2a?

，即22aa?

或

1122aa?

此时函数（）fx的对称轴2ax?

上

于是函数（）fx在区间?

上单调

故?

max（,）[（）]max

（1）,

（1）max1,1Mabfxffabab?

1（11）2abab?

1

（1）

（1）2abab?

1222aa?

（2）（,）2Mab?

（）2,[1,1]fxx?

于是有

（1）2f?

，

（1）2f?

，即12ab?

，12ab?

212ab?

，212ab?

即31ab?

，31ab?

8/13

又abab?

，abab?

0,0ababababab?

?

max,3ababab?

又当2

a?

，

1b?

时，3ab?

，且2（）21fxxx?

上的最大值为2，即（2,1）2M?

故ab?

的最大值为3

例14、已知函数2（）2fx

xbxc?

，设函数（）（）gxfx?

在区间[1,1]?

上的最大值为M.

（Ⅰ）若2b?

，求M的值；

（Ⅱ）若Mk?

对任意的b，c恒成立，试求k的最大值．

【分析】本题考查的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的最值问题以及函数恒成立问题，解决此类问题的关键是正确理解“M是（）fx在区间?

上的最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识.【解析】函数222（）2（）fxxbxcxbbc?

的图像是开口向下，对称轴为直线xb?

而函数（）（）gxfx?

的图像是将函数（）fx在x轴上方的图像保持不变、把它在x轴下方的图像翻折上去得到的

（1）当2b?

时，函数22（）4

（2）4fxxxcxc?

此时其对称轴2x?

不在区间[1,1]?

上，（）fx在区间?

1,1

maxmax[（）][（）]max

（1）,

（1）max3,5Mgxfxffcc?

3,15,1cccc?

（2）要使Mk?

对任意的b，c恒成立，只需min[],,kMbcR?

下求M的最小值.

222（）（）2（）gxfxxbxcxbbc?

（i）若1b?

，即11bb?

9/13

此时函数（）fx的对称轴xb?

函数（）fx在区间?

maxmax[（）][（）]max

（1）,

（1）max12,12Mgxfxffbcbc?

1（1212）2bcbc?

1（12）（12）2bcbc?

14222bb?

（ii）若1b?

，即11b?

maxmax[（）][（）]max

（1）,

（1）,（）Mgxfxfffb?

①当11102b?

时，

（1）

（1）（）fffb?

此时?

2111max

（1）,（）（

（1）（））

（1）（）（12）（）222Mffbffbffbbcbc?

2211121

（1）,[1,0）222bbbb?

②当11012b?

22211112121

（1）,[0,1]2222bbbbbb?

由（i），（ii）可知，对任意的b，c，都有12M?

又当0b?

，12c?

时，21（）2gxx?

上的最大值为12，即12M?

故Mk?

对任意的b，c恒成立的k的最大值为12.【课后总结】

解决二次函数在给定区间上的最值问题，核心是关于二次函数的对称轴与给定区间的位置关系的讨论.一般分为：

二次函数的对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况，然后根据不同情况求出相应最值.建议在理解相关结论或解题时，一定要注意结合二次函数的图像，做到数形结合。

须知：

函数图像就是指路明灯！

！

10/13

【习题精练】

1、若2（）fxxbxc?

，且（3）

（1）ff?

，则（）

A.

（1）

（1）cff?

B.

（1）

（1）fcf?

C.

（1）

（1）fcf?

D.

（1）

（1）ffc?

2、（2013浙江高考）已知a，b，cR?

，函数2（）fxaxbxc?

.若（0）（4）

（1）fff?

A.0,40aab?

B.0,40aab?

C.0,20aab?

D.0,20aab?

3、（2017浙江高考）若函数2（）fxxaxb?

在?

0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm?

（）

A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关11/13

222maxminmax（）（）242002（）[0,1][（）]

（1）1,[（）]（0）1,122（）[0,1][（）]aaafxxaxbxbxaafxMfxfabmfxfbMmaabaafxMfx?

函数的图像是开口向上，对称轴为直线的抛物线（i）若,即此时函数在上单调递增于是与有关，但与无关（ii）若,即此时函数在上单调递减于是[解析]

min2maxmin2（0）,[（）]

（1）11,011010222（）[0,][,1]（0）,

（1）1（0）22[（）]

（1）1,[（）]（）244fbmfxfabMmaabaaaafxfbfabbfaaMfxfabmfxfbaMma?

与有关，但与无关（iii）若,即此时函数在上单调递减,在上单调递增,并且于是2maxmin2221,101121222（）[0,][,1]（0）,

（1）1（0）22[（）]（0）,[（）]（）24,41,2,2144abaaaafxfbfabbfaaMfxfbmfxfbaMmabaaaaMmaa?

与有关，但与无关（iv）若,即此时函数在上单调递减,在上单调递增,并且于是与有关，但与无关综上可知，,1,101,0abaaa?

与有关，但与无关

4、已知函数22（）1fxxaxbb?

）对任意的实数x，都有

（1）

（1）fxfx?

成立.若当?

1,1x?

时，（）0fx?

恒成立，则b的取值范围是（）

A.10b?

B.2b?

C.2b?

或1b?

D.1b?

5、已知一次函数yaxb?

）的图像不经过第一象限，且在区间?

2,1?

上的最大值和最小值分别为1和-2，则函数2yxaxb?

上的最大值为（）

12/13

A.-2B.2C.-1D.16、设函数24

（1）3yaxax?

在[2,）?

上单调递减，则实数a的取值范围是_______.

7、已知二次函数（）fx满足

（1）

（1）fxfx?

，且（0）0f?

，

（1）1f?

，若函数（）fx在区间?

mn上的值域是?

mn，则m?

_______，n?

_______.

8、已知函数2（）fxxkxk?

2,4上是单调函数，则实数k的取值范围是_______.

9、已知抛物线2（）fxaxbxc?

的开口向下，顶点坐标为?

2,3?

，那么该抛物线有（）

A.最小值-3B.最大值-3C.最小值2D.最大值210、已知t为常数，函数22yxxt?

0,3上的最大值为2，则t?

____.

11、已知113a?

，若函数2（）21fxaxx?

1,3上的最大值为（）Ma，最小值为（）Na，令（）（）（）gaMaNa?

，则（）ga的解析式为_________.

12、（2013辽宁高考）已知函数22（）2

（2）fxxaxa?

，22（）2

（2）8gxxaxa?

，设?

1（）max（）,（）Hxfxgx?

2（）min（）,（）Hxfxgx?

，（?

max,pq表示p，q中的较大值，?

min,pq表示p，q中的较小值）.记1（）Hx的最小值为A，2（）Hx的最大值为B，则AB?

13、已知一次函数（）fx是R上的增函数，（）（）（）gxfxxm?

，且有（（））165ffxx?

.

（1）求（）fx；

（2）若函数（）gx在（1,）?

上单调递增，求实数m的取值范围；

（3）若当?

1,3x?

时，（）gx有最大值13，求实数mm的值.

14、已知函数2（）43fxxxa?

，（）52gxmxm?

．

（I）若方程（）0fx?

在[1,1]?

上有实数根，求实数a的取值范围；

（II）当0a?

时，若对任意的1[1,4]x?

，总存在2[1,4]x?

，使12（）（）fxgx?

成

13/13

立，求实数m的取值范围；

（III）若函数（）yfx?

（[,4]xt?

）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为72t?

？

若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由（注：

区间[,]pq的长度为qp?

）．