概率论测试项目(总)文档格式.doc

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在做实验时，常常是相对于试验结果本身而言，我们主要还是对结果的某些函数感兴趣。

例如，在掷骰子时，我们常常关心的是两颗骰子的点和数，而并不真正关心其实际结果，就是说，我们关心的也许是其点和数为7，而并不关心其实际结果是否是（1，6）或（2，5）或（3，4）或（4，3）或（5，2）或（6，1）。

我们关注的这些量，或者更形式的说，这些定义在样本空间上的实值函数，称为随机变量。

因为随机变量的值是由试验结果决定的，所以我们可以给随机变量的可能值指定概率。

例：

某足球队外出比赛，赛-场看做次随机试验,结果有3个:

胜、负、平,分别用心表示，则样本空间为S=（er,e,ey）.为了评定最后的比赛名次，得要将试验结果数量化，通常按胜一场记2分，负一场记0分,平一场记1分的规则记分若令X表示该足球队赛一场的得分数,那么容易看到它具有下列特征.

（1）它是取值0,1,2的一个变量,而且它的取值依赖于试验结果e，这种依赖关系可以用一个样本点e的函数来表示，即

2，e=e1

X=X（e）=0，e=e2

1，e=e3

（2）若由过去的比赛记录统计,该足球队外出比赛获胜的概率为1/2，打平或输球的机E率均为1/4.于是X的取值有概率规律:

P{X=2}=1/2，P{X=0}=1/4，P（X=1）}=1/4.同样,对任意给定的实数x,

{X≤x}={e|X（e）≤x}是一个事件,因而可求出其概率

例如:

当x=-0.1时，有

P{X≤-0.1}=P{e|X（e）≤-0.1}=P（φ）=0;

当x=0.3时,有

P{X≤0.3}=P{e|X（e）≤0.3}=P{e2}=1/4;

当x=1时,有

P{X≤1}=P{e|X（e）≤1}=P{e2,e3}=1/2;

当z=2.001时，有

P{X≤2.001}=P{e|X（e）≤2.001}=P{S}=1;

这就是说，变量x的取值是有一定概率规律的，所以把X称为随机变量.

分类：

离散型

离散型（discrete）随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。

例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。

离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：

伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。

连续型

连续型（continuous）随机变量即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。

例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。

有几个重要的连续随机变量常常出现在概率论中，如：

均匀随机变量、指数随机变量、伽马随机变量和正态随机变量。

性质：

随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，可能取各种不同的值，故其具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。

随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。

如分析测试中的测定值就是一个以概率取值的随机变量，被测定量的取值可能在某一范围内随机变化，具体取什么值在测定之前是无法确定的，但测定的结果是确定的，多次重复测定所得到的测定值具有统计规律性。

随机变量与模糊变量的不确定性的本质差别在于，后者的测定结果仍具有不确定性，即模糊性。

引入随机变量的意义：

引入随机变量，使我们可以研究一个随机试验中中所有的可能结果（即随机事件），特别是随机事件有可列个或连续取值以至于无限时。

引入随机变量的关键是由于随机变量的引入,才使我们研究随机现象有了有力工具。

我们知道概率论是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科,也就是从表面上杂乱无章、形式偶然的现象中探索出现象的规律性的一门数学学科（这里的规律性,无非是指各种试验结果以多大概率出现这一问题）。

正是因为如此,探求这个规律性的工具应该适用于各种形式的随机现象,而且还应该简便、有力。

分布函数F（x）就是这样一个工具,但这个函数是在引入随机变量后定义的,F（x）=P{ξ<

x},即分布函数是事件{ξ<

x}的概率。

分布函数可以把各种类型的随机试验的结果的概率分布用一个统一的形式表示出来,它就是一个普通的函数,它有很好的分析性质,便于处理,它的引入使得许多概率论问题得以简化而归结为普通函数的运算,这样就能利用数学分析的结果研究随机现象规律性。

2、随机过程

在概事论中研究的对象是随机变A.随机变的特点是:

每次试验的结果都是以一定的概率出现的、事先未知但又是确定的“数值”.在实际问题中,常常需要研究在试验过程中随时间而变化的随机变册,即随时间的改变而随机变化的过程有时,在试验过程中随机变t也可能随其他某个参数变化，这就要研究随某个参数的改变而随机变化的过程.我们把这类随某个参数（可以是时间）的改变而随机变化的过程称为随机过程,把这个参数统称为时间.问题在于如何描述和研究这样一个随机变化的过程.

如果从L=1开始，每隔单位时间掷一次骰子,共掷n次，观察各次掷得的点数，这就是随机过程.若记第k次掷得的点数为Xk（k=1....n）,容易想到这随机过程可用维随机变量（X1X2X3......Xn）来描述.抽象化，可以说一个n维随机变量就是一个简单的随机过程，若记T={1，2.....,n},则（X1X2X3......Xn）也可用随机变量族{X.k∈T}来表示记Xk（k=1,2,....,n）所有可能的取值的全体为I.通常称T为该过程的参数集，I为它的状态空间。

对该过程一次观察的结果（x1,x2,x3......xn）是一随机出现的n维向量，可称为是它的一个样本向量，其中xk是xk的观察值（k=1,2,....,n），在一次试验中,，随机过程取一个样本向量，但究竟取哪一个带有随机性，这也就是说在试验前不能确取哪个样本向量，但是在大量的观察中样本向量出现是有统计规律性的如果已知X1X2X3......Xn的联合分布则这一随机过程的统计特性就就完全确定.

随机过程的种类很名，根据不同的标准便得到不同的分类按照随机过程X（t）的时间和状态是连续还是离散，可分成以下4类

（1）连续型随机过程

如果一随机过程{X（t）,tET）的参数集T是连续集，且对于任意的I∈T,X

（1）是连续型随机变量,则称{X（t）,t∈T}为连续型随机过程.

（2）离散型随机过程

如果一随机过程（X（t）,iET}的参数集T是连续集,且对于任意的t∈T,X（t）是离散型随机变量则称（X（t）,t∈T}为离收型随机过程.

（3）连续型随机序列

如果一随机过程{X（t）,t∈T}的参数集T是离散集,且对于任意的t∈T,X（t）是连续型随机变量,则称（X（t）,t∈T）为连续型随机序列.

（4）离散型随机序列

如果一随机过程{X（t）,t∈T}的参数集T是离散集，且对于任意的t∈T,X（t）是离散型随机变量,则称{X（D）,t∈T）为离散型随机序列.

对过程的概率结构作各种假设，便得到各类特殊的随机过程。

有正态过程、二阶过程、独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程等。

贯穿这些过程类的有个最重要最基本的过程，布朗运动和泊松过程，它们的结构比较简单，便于研究而应用又很广泛。

从它们出发,可以构造出许多其他过程。

1、在A4处输入-5，A5处输入-4.8，选择A4和A5下拉生成以-5到5的公差为0.2等差数列。

2、在B4处输入公式“=NORMDIST（A4,0,1,0）”（第二个参数表示算术平均值，第三个参数表示标准偏差值，第四个参数表示返回累积分布函数。

）选择B4下拉到与A列数值为5的齐平位置。

3、在C列、D列、E列重复2步骤操作，但是公式中改变第二个或者第三个参数的值。

4、全选择B列、C列、D列、E列有数值处，插入折线图表，得到正太分布密度函数图形。

通过分析观察四组参数不同的正太分布密度函数图形可以得到，σ越大正太分布密度函数峰值越小图形越平缓，μ的值为正太分布密度函数图对称轴的所在位置。

四、用统计软件解决一些概率论与随机过程计算问题

题1：

已知随机变量,试求

1、在A2处输入0，A3处输入1，选择A2和A3下拉到数值为100停止。

2、在B2处输入公式“=BINOM.DIST（A2,100,0.38,0）”，选择B2下拉到与A列数值为100齐平的位置。

3、在E5处输入公式“=SUM（B35:

B102）”，计算结果为题目所求。

题2：

1、在A105处输入0，A106处输入1，选择A105和A106下拉到数值为100停止。

2、在B105处输入公式“=POISSON（A105,6,0）”，选择B105下拉到与A列数值为100齐平的位置。

3、在E111处输入公式“=SUM（B111:

B205）”，计算结果为题目所求。

题3：

某单位设置一电话总机，共有200个电话分机，设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，并假定各个分机是否要使用外线通话是相互独立的。

问总机要至少要有多要条外线，才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时是可供使用？

设要n条外线,x~b（200,5%）,E（x）=10D（x）=9.5

P（x<

n）>

=90%

P（（x-10）/（sqrt（9.5））<

（n-10）/（sqrt（9.5）））>

=90%Φ（1.28）=90%

（n-10）/（sqrt（9.5）>

1.28n=14

1、在I2处输入200

2、在I3处输入0.05

3、在I4处输入公式“=I2*I3”

4、在I5处输入公式“=I2*I3*（1-I3）”

5、在I6处输入数值0.9

6、在I8输入公式“=ROUND（（SQRT（9.5）*H7+10）,0）”，其计算结果为题目所求

题4：

某班有40名同学，在一次期末考试中40名同学的数学成绩如下，，画出数学该班成绩直方图，并计算方差.

88776671758367536578

83676668718587787576

82827860657874736956

89638163628589658181

1、从I17开始向下依次输入40名同学的成绩。

2、在N29处输入公式“=AVERAGE（I17:

I56）”，表示所有同学成绩的均值。

3、在N30处输入公式“=VARA（I17:

I56）”，表示所有同学成绩的方差。

4、在N17到N26将分数分为10段。

5、在P17输入公式“=COUNTIF（I17:

I56,"

<

55"

）”，选择P17下拉，还需改变下拉表中公式中条件，表示全班中分数小于条件总人数。

6、在O17输入1，O18输入公式“=P18-P17”下拉到O26，表示个分数段的人数。

7、选择O17到O26，插入柱状图表。

题5：

画出服从以2为参数的指数分布概率密度函数f（x）图像，并求出F（x）,画出其图像.

f（x）

F（x）=

1、在H73输入0，H74输入0.2,选择H73、H74下拉到H113,构成0到8以0.2为公差的等差数列

2、在I73处输入公式“=2*（EXP（-2*H73））”，选择I73下拉到I113

3、在J73处输入公式“=-1*（EXP（-2*H73））”，选择J73下拉到J113

4、分别选择I73到I113和J73到J113,插入折线图

1、实验目的：

模拟投掷500枚骰子出现的点数的试验，重复进行1000次，统计出现的点数和，并将数据标准化处理后，画出频率直方图，通过观察比较验证数据的正态性。

2、实验步骤：

（1）在A2格子中输入=INT（6*RAND（））+1，按回车就会产生一个1-6中的某一个随机整数，在格子右下角拖至SF1001

（2）在SI2处输入公式“=SUM（A2:

SF2）”，下拉到SI1001,计算每次试验所有点数之和

（3）在SK2处输入公式“=AVERAGE（SI2:

SI1001）”，计算SI2到SI1001的平均值；

在SK5处输入公式“=VAR（SI2:

SI1001）”，计算SI2到SI1001的方差；

在SK8处输入公式“=（VAR（SI2:

SI1001））^0.5”，计算SI2到SI1001的标准偏差；

（4）在SM2处输入公式“=（SI2-$SK$2）/$SK$8”，选择SM2下拉到SM1001，将每次试验所有点数之和进行标准化处理

（5）在SO2处输入公式“=MAX（SM2:

SM1001）”，表示SM2到SM1001的最大值；

在SO5处输入公式“=MIN（SM2:

SM1001）”，表示SM2到SM1001的最小值；

在SO8处输入公式“=SO2-SO5”，表示最大值与最小值的差值；

在SO11处输入公式“=SO8/15”，表示将SM2到SM1001分为15组每组的组距

（6）在SR2处输入公式“=$SO$5+SQ2*$SO$11”，下拉到SR16，表示每个区间的最大值

（7）在ST2处输入公式“=COUNTIF（$SM$2:

$SM$1001,"

="

&

SR2）”，选择ST2下拉ST16，表示SM2到SM1001中小于每组最大值数的个数；

在SS2处输入公式“=ST2”，SS3处输入公式“=ST3-ST2”，选择SS3下拉到SS16，表示SM2到SM1001中属于各区间的个数；

（8）选择SS2到SS16插入柱形图和折线图

三、实验结果：

由图可以看出，近似的服从正态分布，满足中心极限定理。

四、实验总结：

学会了excel中的几种函数的使用、数据的标准化处理以及画图的方法，进一步更直观地认识到了中心极限定理的含义。

六、《概率论与随机过程》学习总结

概率论

第一章概率论的基本概念

1、样本空间、随机事件

（1）事件间的关系则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生

称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件发生

称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件发生

称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件发生

，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的

，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件

（2）运算规则

交换律

结合律

分配率

摩根定律

2、频率与概率

定义:

在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率

概率：

设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率

（1）概率满足下列条件：

①非负性：

对于每一个事件A

②规范性：

对于必然事件S

③可列可加性：

设是两两互不相容的事件，有（可以取）

（2）概率的一些重要性质：

①

②若是两两互不相容的事件，则有（可以取）

③设A，B是两个事件若，则，

④对于任意事件A，

⑤（逆事件的概率）

⑥对于任意事件A，B有

3、古典概型

等可能概型：

试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同

若事件A包含k个基本事件，即，里

4、条件概率

定义：

设A,B是两个事件，且，称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率

（1）条件概率符合概率定义中的三个条件

对于某一事件B，有

②规范性：

对于必然事件S，

设是两两互不相容的事件，则有

（2）乘法定理设，则有称为乘法公式

（3）全概率公式：

（4）贝叶斯公式：

5、独立性

设A，B是两事件，如果满足等式，则称事件A,B相互独立

定理一：

设A，B是两事件，且，若A，B相互独立，则

定理二：

若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：

A与

第二章随机变量及其分布

1、随机变量

设随机试验的样本空间为是定义在样本空间S上的实值单值函数，称为随机变量

2、离散性随机变量及其分布律

（1）离散随机变量：

有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量

满足如下两个条件

（1），

（2）=1

（2）三种重要的离散型随机变量

①（0-1）分布

设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是，则称X服从以p为参数的分布或两点分布。

②伯努利实验、二项分布

设实验E只有两个可能结果：

A与，则称E为伯努利实验.设，此时.将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。

满足条件

（1），

（2）=1注意到是二项式的展开式中出现的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。

③泊松分布

设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为其中是常数，则称X服从参数为的泊松分布记为

3、随机变量的分布函数

设X是一个随机变量，x是任意实数，函数

称为X的分布函数

分布函数，具有以下性质

（1）是一个不减函数

（2）

（3）

4、连续性随机变量及其概率密度

连续随机变量：

如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数，使对于任意函数x有则称x为连续性随机变量，其中函数f（x）称为X的概率密度函数，简称概率密度

（1）概率密度具有以下性质，满足

①；

②

③；

（4）若在点x处连续，则有

（2）三种重要的连续型随机变量

①均匀分布

若连续性随机变量X具有概率密度，则成X在区间（a,b）上服从均匀分布.记为

②指数分布

若连续性随机变量X的概率密度为其中为常数，则称X服从参数为的指数分布。

③正态分布

若连续型随机变量X的概率密度为的正态分布或高斯分布，记为

特别:

当时称随机变量X服从标准正态分布

5、随机变量的函数的分布

定理：

设随机变量X具有概率密度又设函数处处可导且恒有，则Y=是连续型随机变量，其概率密度为

第三章多维随机变量

1、二维随机变量

设E是一个随机试验，它的样本空间是和是定义在S上的随机变量，称为随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y）叫做二维随机变量

设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数称为二维随机变量（X，Y）的分布函数

如果二维随机变量（X，Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X，Y）是离散型的随机变量。

我们称为二维离散型随机变量（X，Y）的分布律。

对于二维随机变量（X，Y）的分布函数，如果存在非负可积函数f（x，y），使对于任意x，y有则称（X，Y）是连续性的随机变量，函数f（x，y）称为随机变量（X，Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。

2、边缘分布

二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数.而X和Y都是随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为，依次称为二维随机变量（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布函数。

分别称为（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律。

分别称，为X，Y关于X和关于Y的边缘概率密度。

3、条件分布

设（X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的j，若则称为在条件下随机变量X的条件分布律，同样为在条件下随机变量X的条件分布律。

设二维离散型随机变量（X，Y）的概率密度为，（X，Y）关于Y的边缘概率密度为，若对于固定的y，〉0，则称为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为=

4、相互独立的随机变量

设及，分别是二维离散型随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y有，即，则称随机变量X和Y是相互独立的。

对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互独立的充要条件是参数

5、两个随机变量的函数的分布

（1）Z=X+Y的分布

设（X,Y）是二维连续型随机变量，它具有概率密度.则Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为或

又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为则和这两个公式称为的卷积公式

设（X,Y）是二维连续型随机变量，它具有概率密度，则

仍为连续性随机变量其概率密度分别为又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为则可化为

设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为由于不大于z等价于X和Y都不大于z故有又由于X和Y相互独立，得到的分布函数为

的分布函数为

第四章随机变量的数字特征

1、数学期望

设离散型随机变量X的分布律为，k=1,2，…若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为，即

设连续