多自由度系统振动分析的数值计算方法25页.docx

多自由度系统振动分析的数值计算方法25页.docx

《多自由度系统振动分析的数值计算方法25页.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多自由度系统振动分析的数值计算方法25页.docx（41页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

多自由度系统振动分析的数值计算方法25页

第4章多自由度系统振动分析的数值计算方法

用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。

当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须

利用计算机来完成。

在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问

题的近似分析结果。

本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计

研究或一般工程应用都将是十分有益的。

§4.1瑞利能量法

瑞利（Rayleigh）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。

该方法的特点是：

①需要假定一个比拟合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。

由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。

§4.1.1第一瑞利商

设一个n自由度振动系统，其质量矩阵为〔M丨、刚度矩阵为〔K1。

多自由度系统的动

能和势能一般表达式为

T〔MKX1/2U={x}T〔K】{x}/2j

（4.1.1）

当系统作某一阶主振动时，设其解为

-A^sin-t■

、x：

—A»'COS•'t:

：

;

（4.1.2）

将上式代入式（4.1.1），那么系统在作主振动时其动能最大值Tmax和势能最大值Umax分别为

Tma^-^：

ATMP：

A/2

Umax/A*〔kKa}/2j

（4.1.3）

At〔k][a?

St〔m1"Ra

（4.1.4）

其中，R〔A〕称为第一瑞利商。

当假设的位移幅值列向量{A}取为系统的各阶主振型

{A}时，第一瑞利商就给出各阶固有频率纠的平方值，即

（4.1.5）

在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型；、A】，只能以假设的振型:

A代入式

〔4.1.4〕，从而求出的相应固有频率簡的估计值。

从理论上讲，可用式〔4.1.4〕近似求解各阶固有频率，但由于对系统的高阶主振型很难作出合理的假设，所以，该式一般只用来估算

系统的基频。

§4.1.2第二瑞利商

瑞利能量法也可以应用于由柔度矩阵I建立的位移运动方程。

这时自由振动方程

{X}=-[、][M]{X}件1.6〕

代入式〔4.1.1〕,注意到I.I、l-M1M是对称矩阵，以及I-.II^UII1,那么系统的势能为

U={X}T[M]TL-][M]{X}2（4.1.7）

由式（4.1.2）可得

{X}--2{A}sin（t：

）（4.1.8）

将上式代入式（4.1.7）,系统势能的最大值为

（4.1.9）

Umax=/{A}T[Mit][M]{A}：

2

由Tmax二Umax可得

{A}T[M]{a}

、AT[MIL;|IM

二Rii（A）

（4.1.10）

Ri（A）称为第二瑞利商。

可以证明，假设所选假设振型很接近于第一阶主振型［人？

，那么由第一瑞利商和第二

22

瑞利商计算出的「值确实接近于r,而且比实际值稍大（所谓上限估计）。

对于同一假设振型\A!

，第二瑞利商比第一瑞利商更接近真实值•1，但其精确程度主要取决于假设振型

:

A：

接近于第一阶主振型IA：

的程度。

例41在图4.1.1所示三自由度系统中，试用瑞利能量法估算系统的第一阶固有频率。

mi=m2=m3=m，«=k2=k3=k。

斧严戶

图4.1.1

㈡

【解】系统的质量矩阵为

"m

M0

01

0

刚度矩阵为

柔度矩阵为

K+k2

~^2

01

一2

-1

0〕

[K]=

—k?

k：

+k3

—k3

=k—1

2

-1

0

~^3

k3-

1「°

-1

1J

j

[6]=[kF」1

k

J

粗略地假设振型为｛A｝二[111]T，从而得

{a}tM]b]Cm]{a}

10

=（111）m01

00

「A[t[M=3m

「A「〔Kl「AGk

01

0

110

2m01

3一「°0

14m2

k

（1）

（2）

（3）

式〔1〕、〔2〕代入式〔4.1.4〕得

[aHaI:

a/tIm1：

a?

上=0.333k

3mm

式〔1〕、〔3〕

代入式〔

4.1.10）得

「aTM丨丨、Hmm14m

3k=0.214^

m

k

系统的第一阶固有频率的精确值为」2=0.198，显然第二瑞利商的结果较接近精确

m

值，但误差还较大，这是因为假设振型与第一阶精确振型｛AJ二[0.4450.8021]T相差

较远的缘故。

如果在图4.1.1的每一个质量上顺坐标方向分别作用一单位力，那么以该静变形曲线作为假

设振型，即取

那么有

{A}T[M]{A}=70m

{A}T[K]{A}=14k

2

〔A?

[MILHM]「A“.；=353m

k

由式〔4.1.4〕得

k

二0.200—

由式〔4.1.10〕得

k

=0.198—

可见，假设振型与第一阶主振型愈接近，那么瑞利商结果愈接近于基频

例4.2如图4.1.2所示，梁的弯曲刚度为

EJ，不计其质量，mb=m3=m，

m2=2m，求系统的第一阶固有频率。

LV4.

-"4-

-"4-

mO-

图4.1.2

【解】系统的质量矩阵为

m0

【M]=02m

'00

l3

柔度矩阵为

11

71

16

11

11

9一

9

11

768EJ

J

At〔M]A=10m

{a}t[m]P]M]{a}=Ii

23

29ml

48EJ

代入式（4.1.10）得

；£I.MIfA?

_10m

；AM壯IlMEA_29m2l3/48EJ

=16.55

EJ

ml3

■=4.068EJ/ml3

系统第一阶固有频率的精确值为

-^4.0248.EJ/ml3。

其误差约为1%。

在系统柔

度矩阵的情形下，假设假设振型用

-L-.Um川？

，那么计算精度还可提高。

讯2邓克莱法

邓克莱（Dunkerley）法又称迹法。

前述的瑞利能量法给出了系统最低阶固有频率的上限估计值，而邓克莱法那么给出了系统最低阶固有频率的下限估计值。

如前所述，n自由度系统的位移方程：

〔X-（4.2.1）

设其解为='Afsintni

代入式（4.2.1），并以.2除全式得主振型方程

「‘2-l」M丨-心

（4.2.2）

其特征方程为

诈2

0

川01■

&11§12

III

%「01m12

III

Bn一

0

+

1/J

川0

——

§21§22

+R

III

§2n

m>1

+

m22

III

m2n

=0

+

+

•0

+

+

0

■4

01/心

1

+<

+4

gn1§n2

■

III

r

r

§nn一

+

+

►

m^2

r

III

r

r

mnn「

当系统的质量矩阵为对角矩阵时，可展开为

恨如—〔»m+右22口2+IH+6nm1〕b2〔n_1〕+lH=o

由代数方程理论〔多项式根与系数之间的关系〕可知，上式中i「，2n」项的系数变号后

等于1.二，2的n个根1/-1之和，即

+1.'；+|1|+1二“10、：

22口2：

nnmn〔423〕

对等式〔423〕作如下处理：

111t2

等式左边，由于「1：

：

：

匕汕1<'-n，即，故近似地只保存一项「f。

©1灼2©n

等式右边，令

〔D丄一】M1〔4.2.4〕

〔D1称为动力矩阵〔dynamicmatrix〕，那么式〔4.2.3〕右边为动力矩阵的迹，记为tr〔D丨。

因为ri=1,2,川，n是第i个质量处作用单位力时系统在该处的柔度系数。

设想系统只有一个质量mi存在，那么系统成为单自由度系统，这时系统的刚度K=1：

ii，固有频率11i为

21

J=ki「mi=1、訓］,即-Hmi2，于是有

'■'i

1

■i2

二'■iimi八

（4.2.5）

综上所述，式〔4.2.3〕

可写为

1

fc

（4.2.6）

11

——

门22

-2-n

即系统的最低阶固有频率平方值的倒数，近似等于各质量mij单独存在时固有频率平方值'12的倒数之和。

由于式〔423〕的左边舍去了一些正数值，从而所得的•.1值比真值小。

式〔4.2.6〕称为邓克莱公式，计算出的结果为最低阶固有频率的下限估值。

由于等式右边为动力矩阵

ID1的迹trID1,故邓克莱法又称为迹法，它只适用于〔M1为对角矩阵的系统。

邓克莱法在准确度上一般不如瑞利能量法，但由于它的计算较简单，且易考虑各质量或

刚度的变化对最低阶固有频率的影响，故工程上仍经常应用它。

例43用邓克莱法计算例4.1中系统的基频。

【解】由例4.1可知，系统的质量矩阵和柔度矩阵分别为

■1

0

01

[M]=m

0

1

0

-

0

0

1一

动力矩阵D1为

"Mg

11〕

■1

00〕

_11

们

22

m0

10

=m12

2

23一

k

3」

01_

J2

其迹为

6mk

由式〔425〕得系统的基频为

上述结果与精确值相比误差较大，大约为8.08%。

例4.4一均质悬臂梁如图421所示，式中EJ为抗弯刚度，M为梁的总质量，I为梁长，其第一阶固有频率的平方112=3.5152EJ/Ml3。

假设在梁的自由端放置一激振器质量

为m,设激振器质量与梁的质量之比m/M=1/20,1/10,1/2,1，试用邓克莱法估算系统的

基频值，并说明激振器质量对均质梁固有频率的影响。

【解】悬臂梁的固有频率的平方为

2

=3.515EJ/Ml

（1）

由材料力学可知，其端点的柔度系数为.•:

=|3/3EJ，激振器固有频率的平方为

（2）

3

3EJ/ml

将式〔1〕、〔2〕代入式〔426〕，得系统基频的平方为

门2门2

■J2■

37.066「（EJ]3.5152m/MrMl3

（3）

（4）

1/20以

由上式可知，系统的固有频率-.1与质量比m/M值有关。

将式〔3〕式改写为

叫/37.066

•EJ/Ml3\3.515?

m/M3

对于不同的质量比，式〔4〕的值如表4-1所示：

表421不同质量比的j/^EJ/MI3值

m/M

1/20

1/10

1/2

1

禺/Jej/mi3

3.201

2.958

2.010

1.554

误差〔%

8.9

15.8

42.8

55.8

表421中的误差是与门1比拟而言，可见，只有当激振器的质量为梁的质量的

下时，激振器质量对梁的固有频率影响才可接受。

§4.3李兹法

前述两种方法只限于估算振动系统的基频，但工程实际中往往需要求出前几阶的固有频

率及相应主振型，应用瑞利能量法的困难在于较高阶固有频率的假设振型难于选择。

李兹法

在瑞利法的根底上较好地克服了上述困难，可计算系统的前几阶固有频率及主振型。

李兹〔Ritz〕法不需要直接给出假设振型，而是将假设振型表示为有限〔低维〕个独立的假设模态「•j?

的线性组合

s

（4.3.1）

；、A，5；-I''IX?

jj

其中I'■I-\〔Will「sC-匕CqIIICsr

「Tn1列阵，可预先选定，s：

：

：

n，Cj〔j=1,2,||〔,s〕为待定常数。

将式〔431〕代入式〔4.1.4〕，第一瑞利商为

（4.3.2）

显然，由上式还求不出固有频率，但与Cj有关。

由于瑞利法是固有频率的上限估计,

故Cj的选择应当使上式给出的固有频率值最小，即上式对Cj的偏导数应等于零。

令

k（c）={c}T8>T【k】[*】{C}，m（c）={c}TIIm]W»Kc}

于是由泊

K（c）2C）c

=0可得0

（H1,21s,）

（4.3.3）

必j

比jccj

而

.:

K（c）

nvkme,-：

X;T

:

cj:

:

cj:

:

cjg

f詡彳C¥T

=2仝比旅T[k】[切匕}=2[%了〔K】【©I{C}l比j丿

同理竺9=2^1[M][,{c}

-cj_

于是，式（433）可写为

「MHTC，0（j=1,2,川,s）

这s个方程可合并为一个矩阵方程

I-F2〔汀[M"Ecid（4.3.4）

kWIKII-]

L-〉（4.3.5）

M*-「『I.MII'■l|

上式中，||K*和||M*为ss阶对称阵，分别称为广义刚度矩阵（generalizedstiffness

matrix）和广义质量矩阵（generalizedmassmatrix）。

这样，式（4.3.4）可改写为

K-2M心-心（4.3.6）

这样，问题又归结为特征值问题，所不同的是，现在为ss阶矩阵的特征值问题，而

不是原系统nn阶矩阵的特征值问题。

因而，李兹法是一种缩减自由度的近似解法。

222

由上式求得的s个特征值「、■•2、|s就是原系统前s阶固有频率平方的近似值。

将

解得的s个特征矢量c?

、、c2，、iir：

Cs，进行归一化，代入式（4.3.1）可求得原系统前s阶

主振型的近似值，即

（j=1,2,川,s）（4.3.7）

由式（4.3.6）可知，各对矩阵〔M1是正交的，即有

「G?

TMFcJ=0（i=j）

所以

{a}T[ml{Aj}=C}T陥]T【M][®KCj}=

上式说明用李兹法求得的s阶近似主振型对质量矩阵〔M1也是正交的，同时它们对刚

度矩阵K］也是正交的，因此，对它们可以用振型叠加法分析系统的各种响应。

同理，如果将式（431）代入第二瑞利商式（4.1.10）,也可归结为减维特征值问题：

（「M*］一32［l*］Kc}」0}（438）

这里

Jj*fM］【M］检］件3.9）

ss+1

应当指出，由李兹法求得的s个••值中，前-个或二」个••值比拟接近于真值，而后

22

面的••值误差比拟大。

因此，假设想求前s个固有频率及主振型的近似解，缩减的自由度数目

最好不小于2s个，这样就能得到较精确的解。

例4.5图4.3.1（a）所示为一等直杆，杆长为I，截面面积为A，密度为Y,试用聚缩质量的方法将其离散为有限自由度系统，并用李兹法求杆纵向振动时第一阶固有频率和主振型的近似解。

（b）

【解】将直杆等分为五段，每段的质量

m二Al/5g等分为两半，各集中于每段的两

端，然后将五段合并聚缩为5个质量mj=m2=m3=m4=m，m5=m2，各聚缩质量之间

k=5EA/l。

这

由刚度为k的5个弹簧相连接，如图4.3.1（b）所示。

每段杆的拉压刚度确定为样，我们就得到五自由度的离散系统。

系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为

-

'1

0

0

0

01

一2

—1

0

00

0

1

0

0

0

-1

2

—1

0

0

IM】=m

0

0

1

0

0

，収】=k

0

_1

2

-1

0

0

0

0

1

0

0

0

_1

2-

-1

0

0

0

0

0.5一

0

0

0

-1

1

系统的柔度矩阵为

1〕

2

L-.I-IK]J

1_k

因为只要求第一阶固有频率和主振型,

故缩减为两个自由度处理，选取两个假设模态,

110-1

由式〔435〕，有广义质量矩阵

和广义刚度矩阵

K分别为

mW〔m>Im425

3；,［如=1川小山451j

由式〔4.3.6〕得特征方程为

5k-42.5m2-k-3.5m2

-k-3.5m23k-3.5m2

136.54-1522-14-

Im丿5.丿

解得

『=0.1013^，-2^-1.01$

mm

厂0.3183、帀=（1.5921）、.Eg,匕=1.006km=（5.031^.Eg

对应的｛G｝、｛C2｝为

11

〔0.512一

-1.1194

1

由式〔4.3.7〕，求各阶主振型的近似值

0.337

0.560{A}=4.48810.783

0.891

J一

0.551

0.476

=1.597）.401

-0.299

JJ

假设用式〔4.3.8〕求解

「「卜［砰［M］［§］【M】M】=m|427.2548.75

--k［48.759.25

可由特征方程

=0

22

42.5m-427.25吏

k

2

3.5^-48.75—k

22

3.5m-48.75m——k

3.5m-48.75

解得

〔0.0980^,m

=（1.565;l）、..Eg,

对应的｛G｝、｛C2｝为

■2=0.9403.k=（4.701..l）..Eg—

\m

近似主振型为

"0.3311

_0.5541

0.553

0.480

0.775

，仏一.5900.460

0.887

-0.297

■1一

J一

Z=4.5072

此题精确解为

广（1.5711）Eg，2=（4.71l2QEg

0.309

0.588{A}=10.809

0.951

J一

-0.809-0.951

{人2>=1-0.309〔归一化模态振型〕

-0.588

J一

比照之下，按式（436）或式（438）求解，第一阶固有频率和主振型都接近于真值，第二阶固有频率及主振型的误差较大。

而用式（438）求基频及其主振型那么更接近于真值。

M.4矩阵迭代法

矩阵迭代法也称振型迭代法，它采用逐步逼近的方法来确定系统的主振型和频率。

§4.4.1求第一阶固有频率和主振型

求系统的基频时，矩阵迭代法用的根本方程是位移方程，即

j1

（KM2I）A=01

或K」MA2A（4.4.1）

-■

令D二K‘M（4.4.2）

矩阵D称为系统的动力矩阵。

如果将随意假定的振型向量代入上式，等式并不成立，

但是通过不断的迭代却可以逐步逼近所要求解的固有频率和振型向量。

迭代过程如下：

（a）选取某个经过归一化的假设振型A。

，用动力矩阵D前乘以假设振型A。

，然后归

一化，可得A,，即

DA。

=A[

（b）将得到的A1和A。

相比拟，如果A=A0，就再以A为假设振型进行迭代，并且

归一化得到A，即

DA〔=a?

A2

-'n

2笃A（n）]-'n

由于固有频率的排序,

DAo

（4.4.4）

上式中的系数

分别小于Ao相应的系数

C2,…，

（c）如果a2„a，那么继续重复上述迭代过程，得

DAkj=akAk

直至Ak=Ak二时停止。

此时ak=$，而相应的特征矢量Ak即为第一阶主振型，A⑴二Ak。

co

可以证明，上述过程一定收敛于最低固有频率及第一阶主振型。

由于振动系统的n个主振型A⑴（i=1,2,||（）是线性无关的，因此，任意的假设振型可以

表示为各阶主振型的线性组合，即

AoA

（1）-C2A⑵-|||-CnA（n）（443）

得:

DAo=gDA⑴C2DA⑵|||CnDA（n）

yAA⑴A

（2）A（n）

•j•'2

1

（1）''1⑵

2[ClAQ~2ACn

•j''2

Cn,因此，A,比Ao更接近A⑴。

第二次迭代：

n

DA="GDA⑴

iA

=D（qA

（1）-qA⑵'|l|'qA（n））

-AgA

（1）C（-4）2A⑵~（4）2A（n）]

■1'2'n

即

1

DA「2

A2

（4.4.5）

重复上述过程，第k次迭代后，得

22

DAki二D[ciA⑴c（爲）kA（2^|l-G

（二）kA（n）]

⑷2仏

DAkj

-^2CiAA

（1）

（因为limq

k_sc

f2、

创

~2

5丿

k

A（n））

反复的迭代

可见，经过一次迭代，第一阶主振型的成分得到比其他主振型更大的加强,

下去，当迭代次数足够大时，DAkj与A⑴只相差系数丄g，DAk_i即为所求的第一阶振

型向量，将其归一化后为Ak,Ak即为所求的第一阶主振型向量，即

DAk二DA⑴=AA（i）

DAk」=DA

（i）i（i）

2A

j

（4.4.7）

所以归一化因子即为

从以上的讨论可以看出：

尽管开始假设的振型不理想，它包含了各阶的主阵型，而且第

i

ak=~2国i

一阶主振型在其中所占的分量不是很大。

但在迭代过程中，高阶振型的分量逐渐衰减，低阶

振型的分量逐渐增强，最终收敛于第一阶主振型。

假设振型越接近A⑴，那么迭代过程越快；

假设振型与A⑴相差较大，那么迭代过程收敛得慢，但最终仍然得到基频和第一阶主振型。

如果在整个迭代过程中，第一阶主振型的分量始终为零，那么收敛于第二阶主振型；如果

前s阶主振型的分量为零，那么收敛于第sI阶主振型。

例4.6求3自由度振动系统的第一阶固有频率和振型向量〔精确值为K=5.049J，

k

「I

i

A=iI.0822.247T）,K，M=J

i

2

2

k

2

3」

【解】任取初始振型向量人=iii】T，

然后依顺序迭代计算，各次计算结果见表

441。

1-

迭代向量

D

A0

a

A2

A3