人教版中考数学《规律探索》word专项练习.docx
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人教版中考数学《规律探索》word专项练习
规律探索
一.选择题
1.（2016·天津北辰区·一摸）如图，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形.若拼成的图形中有
个三角形，则需要火柴棍的根数是（）.
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：
D
2.（2016·重庆巴蜀
·一模）如图，每个图形都由同样大小的矩形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积为6cm2，第②个图形的面积为18cm2，第③个图形的面积为36cm2，…，那么第⑥个图形的面积为（ ）
A．84cm2B．90cm2C．126cm2D．168cm2
【分析】观察图形，小正方形方形的个数是相应序数乘以下一个数，每一个小正方形的面积是3，然后求解即可．
【解答】解：
第
（1）个图形有2个小长方形，面积为1×2×3=6cm2，
第
（2）个图形有2×3=6个小正方形，面积为2×3×3=18cm2，
第（3）个图形有3×4=12个小正方形，面积为3×4×3=36cm2，
…，
第（6）个图形有10×11=110个小正方形，面积为6×7×3=126cm2．
故选C．
3.（2016·重庆巴南·一模）下列是用火柴棒拼成的一组图形，第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第②个图形中有18根火柴棒，…依此类推，则第6个图形中火柴棒根数是（ ）
A．60B．61C．62D．63
【分析】由图可知：
第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第②个图形中有18根火柴棒，…依此类推第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）=n（n+1）根火柴；由此代入求得答案即可．
【解答】解：
∵第①有1个三角形，共有3×1根火柴；
第②个有1+2个三角形，共有3×（1+2）根火柴；
第③个有1+2+3个三角形，共有3×（1+2+3）根火柴；
…
∴第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）=n（n+1）根火柴；
∴第5个图形中火柴棒根数是3×（1+2+3+4+5+6）=63．
故选：
D．
4.（2016·郑州·二模）如图，在一单位长度为1的方格纸上，依如图所示的规律，设定点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、…、An，连接点O、A1、A2组成三角形，记为△1，连接O、A2、A3组成三角形，记为△2…，连接O、An、An＋1，组成三角形，记为△n（n为正整数），请你推断，当n为10时，△n的面积＝（）平方单位．
A．45B．55C．66D．100
答案：
B
二.填空题
1.（2016·河大附中·一模）如图，一段抛物线：
y=x（x-2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A，；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，直至得C2016．若P（4031，a）在第2016段抛物线C2016上，则a=.
第1题
答案：
1
2.（2016·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，
动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次运动到点（2，0），第3次运动到点（3，-1），……，按照这样的运动规律，点P第2017次运动到点．
答案：
（2017，1）
3.（2016·河南三门峡·二模）如图，等边三角形△OAB1的一边OA在
轴上，且OA=1，当△OAB1沿直线
滚动，
使一边与直线
重合得到△B1A1B2，△B2A2B3，......则点A2016的坐标是
答案：
4.（2016齐河三模）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0
，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0）…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为_____（用n表示）
答案：
（2n,1）
5.（2016·云南省曲靖市罗平县·二模）这样铺地板：
第一块铺2块，如图1，第二次把第一次的完全围起来，如图2；第三次把第二次的完全围起来，如图3；…依次方法，铺第5次时需用 34块 木块才能把第四次所铺的完全围起来．
【考点】规律型：
图形的变化类．
【分析】观察图形发现：
若要将前一个图形包起来，上下各需要添一层，左右各需添一层，结合图1两块木块可以得出图n需要木块数为[1+（n﹣1）×2]×[2+（n﹣1）×2]，求出图4图5所需木块数，二者相减即可得出结论．
【解答】解：
若要将前一个图形包起来，上下各需要添一层，左右各需添一层，
即图1木块个数为1×2，图2木块个数为（1+2）×（2+2），图3木块个数为（1+2×2）×（2+2×2），…，图n木块个数为[1+（n﹣1）×2]×[2+（n﹣1）×2]．
由上面规律可知：
图4需要木块个数为（1+3×2）×（2+3×2）=56（块），图5需要木块个数为（1+4×2）×（2+4×2）=90（块），
故铺第5次时需用90﹣56=34块木块才能把第四次所铺的完全围起来．
故答案为：
34块．
【点评】本题考查了图形的变化，解题的关键是：
找出“图n需要木块数为[1+（n﹣1）×2]×[2+（n﹣1
）×2]”这一规律．本题属于中档题，解决该类题型需要仔细观察图形，得出图形的变化规律，再结合规律找出结论．
6.（2016·云南省·一模）观察下列等式：
解答下面的问题：
21+22+23+24+25+26+…+22015的末位数字是 4 ．
【考点】尾数特征．
【分析】根据2n，2n+1，2n+2，2n+3的个位数依次是2，4，8，6，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：
由2n，2n+1，2n+2，2n+3的个位数依次是2，4，8，6，得
指数每4的倍数一循环，
2015÷4=503…3，
即（2+4+8+6）×503+（2+4+8）=503×20+14=10074．
故答案为：
4．
【点评】本题考查了尾数特征，利用2n，2n+1，2n+2，2n+3的个位数依次是2，4，8，6得出指数每4的倍数一循环是解题关键．
7.（2016·云南省·二模）观察下列等式：
，，，…则= ．（直接填结果，用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥1）
【考点】规律型：
数字的变化类．
【分析】由题意可知：
=1﹣，进一步整理得出答案即可．
【解答】解：
∵，
，
，
…
∴=1﹣=．
故答案为：
．
【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出一般运算方法解决问题．
8.（2016·广东东莞·联考）如果记y==f（x），并且f
（1）表示当x=1时y的值，即f
（1）==；f（）表示当x=时y的值，即f（）==，那么f
（1）+f
（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）= ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．
【考点】分式的加减法．
【专题】压轴题；规律型．
【分析
】由f
（1）f（）可得：
f
（2）==；从而f
（1）+f
（2）+f（）=+1=2﹣．所以f
（1）+f
（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）=（n为正整数）．
【解答】解：
∵f
（1）==；f（）==，
得f
（2）==；
∴f
（1）+f
（2）+f（）=+1=2﹣．
故f
（1）+f
（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）=．（n为正整数）
【点评】解答此题关键是根据题中所给的式子找出规律，再解答．
9.（2016·广东东莞·联考）如图是圆心角为30°，半径分别是1、3、5、7、…的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3、…，则Sn= ．（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算．
【专题】规律型．
【分析】由图可知S1=，S2=×3，S3=×5，S4=×7，…Sn=×（2n﹣1），从而得出Sn的值．
【解答】解：
由题意可得出通项公式：
Sn=×（2n﹣1），
即Sn=×（2n﹣1），
故答案为．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，是一道规律性的题目，难度较大．
三.解答题
1.（2016·河北石家庄·一模）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，
【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边
AB交于点P，边EF与边BC于点Q．
在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？
并给出证明．
【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？
，并说明理由．
【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？
其中m的取值范围是什么？
（直接写出结论，不必证明）m．
第1题
【考点】相似形综合题．
【分析】（操作1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，从而证明结论；
（操作2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现EP：
EQ=EM：
EN，
再根据等腰直角三角形的性质得到EM：
EN=AE：
CE；
（总结操作）根据
（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析．
【解答】（操作1）EP=EQ，
证明：
连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：
BE=CE，∠PBE=∠C=45°，
∵∠BEC=∠FED=90°
∴∠BEP=∠CEQ，
在△BEP和△CEQ中
，
∴△BEP≌△CEQ（ASA），
∴EP=EQ；
如图2，EP：
EQ=EM：
EN=AE：
CE=1：
2，
理由是：
作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，
∴∠EMP=∠ENC，
∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，
∴∠MEP=∠NEF，
∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：
EQ=EM：
EN=AE：
CE=1：
2；
如图3，过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，
∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，
∴∠EPB+∠EQB=180°，
又∵∠EPB+∠MPE=180°，
∴∠MPE=∠EQN，
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，
∴=，
Rt△AME∽Rt△ENC，
∴=m=，
∴=1：
m=，
EP与EQ满足的数量关系式1：
m，即EQ=mEP，
∴0＜m≤2+，（因为当m＞2+时，EF和BC变成不相交）．
【点评】本题考查了相似
三角形的性质和判定，全等三角形的性质和
判定，主要考查学生运用定理进行推理的能力，证明过程类似．
2.（2016·广东东莞·联考）在由m×n（m×n＞1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，
（1）当m、n互质（m、n除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表：
m
n
m+n
f
1
2
3
2
1
3
4
3
2
3
5
4
2
5
7
3
4
7
猜想：
当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是 f=m+n﹣1 （不需要证明）；
（2）当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．
【考点】作图—应用与设计作图；规律型：
图形的变化类．
【分析】
（1）通过观察即可得出当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式，
（2）当m、n不
互质时，画出图即可验证猜
想的关系式不成立．
【解答】解：
（1）表格中分别填6，6
m
n
m+n
f
1
2
3
2
1
3
4
3
2
3
5
4
2
5
7
6
3
4
7
6
f与m、n的关系式是：
f=m+n﹣1．
故答案为：
f=m+n﹣1．
（2）m、n不互质时，猜想的关系式不一定成立，如下图：
．
【点评】此题考查了作图﹣应用与设计作图，关键是通过观察表格，总结出一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式，要注意m、n互质的条件．
3.（2016·重庆巴蜀·一模）阅读材料：
材料一：
对于任意的非零实数x和正实数k，如果满足为整数，则称k是x的一个“整商系数”．
例如：
x=
2时，k=3⇒=2，则3是2的一个整商系数；
x=2时，k=12⇒=8，则12也是2的一个整商系数；
x=时，k=6⇒=1，则6是的一个整商系数；
结论：
一个非零实数x有无数个整商系数k，其中最小的一个整商系数记为k（x），例如k
（2）=
材料二：
对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，两根x1，x2有如下关系：
x1+x2=﹣；x1x2=
应用：
（1）k（）= 2 k（﹣）=
（2）若实数a（a＜0）满足k（）＞k（），求a的取值范围？
（3）若关于x的方程：
x2+bx+4=0的两个根分别为x1、x2，且满足k（x1）+k（x2）=9，则b的值为多少？
【分析】
（1）求出最小的个整商系数即可．
（2）根据k（）＞k（）分类讨论列出不等式解不等式即可．
（3）利用根与系数关系把k（x1）+k（x2）=9，转化为含有b的方程，记得分类讨论即可．
【解答】解：
（1）k（）=2，k（﹣）=．
故答案分别为2，．
（2）∵k（）＞k（），
当﹣1＜a＜0时，原式化为＞3（a+1）
∴a＜﹣，即﹣1＜a＜﹣，
当a
＜﹣1时，原式化为＞﹣3（a+1）
解得a＞﹣2，
故可知a的取值范围为﹣2＜a＜﹣1或﹣1＜a＜﹣．
（3）设方程的两个根有x1＜x2，
由于x1x2=，故x1与x2同号．
当x2＜0时，k（x1）+k（x2）=﹣=﹣=，
解得b=12．
当x1＞0时，k（x1）+k（x2）===，
解得b=﹣12．
综上b=±12．
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