完整word版立体几何二面角问题.docx
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完整word版立体几何二面角问题
立体证明题
（2）
1•如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是正方形，AE=EBF为CE上的点，且BF丄
平面ACE
（1）求证：
AE丄平面BCE
（2）求二面角B-AC-E的余弦值.
2•等腰△ABC中,AC=BC=!
AB=2,E、F分别为ACBC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P,得到四棱锥P-ABFE且AP=BP=W.
（1）求证：
平面EFP1平面ABFE
（2）求二面角B-AP-E的大小.
圉1
囹2
PADL底面ABCD且
3•如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，侧面
PA=PD=2AD,若E、F分别为PCBD的中点.
（I）求证：
EF//平面PAD
4•如图：
正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且/BCD=90°,ZCBD=30°
（1）求证：
AB丄CD
（2）求二面角D-AB-C的正切值.
ABCD
（1）求证：
平面PADL平面PBD
5•如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PADL平面ABCD^PAD是等边三角形，四边形
是平行四边形，/ADC=120,AB=2AD
6•如图，在直三棱柱ABC-AiBQ中，/ACB=90°,AC=CB=CC2,E是AB中点.
（I）求证：
AB丄平面AiCE
（H）求直线AG与平面AiCE所成角的正弦值.
8•如图，在四棱锥
7•如图，在四棱锥P-ABCD中,PA丄平面ABCD/DAB为直角，AB//CD,AD=CD=2AB=2
E,F分别为PC,CD的中点.
（I）证明：
AB丄平面BEF;
（H）若PA=，求二面角E-BD-C.
5
P-ABCD中，PA丄平面ABCD,PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足
AB丄AD,BC//AD且BC=4，点M为PC中点.
（1）求证:
DM丄平面PBC；
be
（2）若点E为BC边上的动点，且，是否存在实数人使得二面角P-DE-B的
EC
9•如图，ABED是长方形，平面ABEDL平面ABCAB=AC=5BC=BE=6且M是BC的中点
（I）求证：
AML平面BEC
（H）求三棱锥B-ACE的体积；
（川）若点Q是线段AD上的一点，且平面QECL平面BEC求线段AQ的长.
10.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB//CDAB丄BC,
AB=2CD=2BCEALEB
（1）求证：
EA丄平面EBC
（2）求二面角C-BE-D的余弦值.
D
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,/ADC=90°,平面PADL
底面ABCDO为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC
（1）求证：
平面POBL平面PAD
12.如图，三棱柱ABC-ABC中，侧棱AA丄平面ABC△ABC为等腰直角三角形，/
BAC=90，且AB=AA,E、F分别是CC,BC的中点.
（1）求证：
平面ABF丄平面AEF;
（2）求二面角B1-AE-F的余弦值.
13.如图，在菱形ABCD中，/ABC=60°,AC与BD相交于点QAE丄平面ABCDCF/AE,AB=AE=2
（I）求证：
BD丄平面ACFE
（II）当直线FQ与平面BDE所成的角为45°时，求二面角B-EF-D的余弦角.
14.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成,
ADLAF,AE=AD=2
（1）证明：
平面PADL平面ABFE
（2）求正四棱锥P-ABCD的高h，使得二面角C-AF-P的余弦值是—21
3
AC的中点D,且BA丄AG.
/BCA=90°,AC=BC=2A在底面ABC上的射影恰为
（I）求证：
AC丄平面AiBC;
（H）求二面角A-AiB-C的平面角的余弦值.
试卷答案
1.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定.
【分析】
（1）由已知中直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是正方形，且BF丄平面ACE我们可以证得BF丄AECB丄AE进而由线面垂直的判定定理可得AE!
平面BCE
（2）连接BD与AC交于G,连接FG设正方形ABCD的边长为2,由三垂线定理及二面角的平面角的定义，可得/BGF是二面角B-AC-E的平面角，解Rt△BFG即可得到答案.
【解答】证明：
（1）vBF丄平面ACE
•••BF丄AE…
•••二面角D-AB-E为直二面角，且CBLAB,
•CB丄平面ABE
•CB丄AE…
•AE丄平面BCE…
解：
（2）连接BD与AC交于G连接FG设正方形ABCD勺边长为2,
•BG丄AC,BG=一，…
•/BF垂直于平面ACE由三垂线定理逆定理得FGLAC
•ZBGF是二面角B-AC-E的平面角…
由
（1）AE!
平面BCE得AE!
EB,
•/AE=EBBE==
•在Rt△BCE中,.”匚=",…
由等面积法求得「二-I,
ECV63
则nW-汀'
故二面角B-AC-E的余弦值为—
2.
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定.
【分析】
（1）用分析法找思路，用综合法证明•取EF中点0,连接OROC等腰三角形
CEF中有COLEF,即卩ORLEF.根据两平面垂直的性质定理，平面PEF和平面ABFE的交线
是EF,且POLEF,分析得POL平面ABFE故只需根据题中条件证出POL平面ABFE即可
利用面面垂直的判定定理证得平面EFP丄平面ABFE
（2）根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABR和平面AER的法
向量的所成角，利用向量角和二面角关系，确定二面角大小.
【解答】解：
（1）证明：
在厶ABC中，D为AB中点，0为EF中点.
由AC=BC=7,AB=2
•••E、F分别为ACBC的中点，
•••EF为中位线，得C0=0D=1COLEF
•••四棱锥P—ABFE中，POLEF,…2分
•••OC丄AB,AD=OD=1•AO=「,
又AP=T,OP=1,
•四棱锥P-ABFE中，有AF^aO+oP,即卩OPLAQ…4分
又AOHEF=QEF、AO?
平面ABFE
•OP丄平面ABFE…5分
又OF?
平面EFP,
•平面EFP!
平面ABFE…6分
（2）由
（1）知ODOF,OP两两垂直，以0为原点，建立空间直角坐标系（如图）：
则A（1,-1,0）,B（1,1,0）,E（0,：
0）,P（0,0,1）-7分
•宀、匚：
，U，1・1°
设y,£,二=（『，,£）分别为平面aep平面abp的一个法向量,
2取x=1，得y=2,z=-1
PAlir|s-y-z=0
•—…二T•…分
同理可得一丄：
.’!
.；，…11分
由于：
|-：
-.'I'I:
--I=0,
所以二面角B-AP-E为90°.…12分
p
【解答】证明：
（I）连接AC则F是AC的中点，在△CPA中，EF//PA（3分）且PA?
平面PADEF?
平面PAD
•••EF//平面PAD（6分）
（H）因为平面PADL平面ABCD平面PADT平面ABCD=AD
又CDLAD所以CDL平面PAD
•CD丄PA（9分）
又PA=PD=AD,
2
所以△PAD是等腰直角三角形，且/APD=_,即PA丄PD（12分）
而CDAPD=D
•PA丄平面PDC又EF//PA所以EF丄平面PDC（14分）
【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时,往往还要通过线面垂直来进行.
4.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】
（1）利用平面ABCL平面BCD平面AB6平面BCD=BC可得DCL平面ABC利用线面垂直的性质，可得DCLAB;
（2）过C作CE!
AB于E,连接ED,可证/CED是二面角D-AB-C的平面角.设CD=a则
BC——=忑匕从而EC=BCsin60二耍,在Rt△DEC中,可求tan/DEC
tan302
【解答】
（1）证明：
TDCLBC,且平面ABCL平面BCD平面AB6平面BCD=BC
•DC丄平面ABC
又AB?
平面ABC
•DCLAB.…
（2）解：
过C作CELAB于E,连接ED,
•/AB丄CDAB丄EC,CDHEC=C•••AB丄平面ECD
又DE?
平面ECD•-AB丄ED,
•••/CED是二面角D-AB-C的平面角,
设CD=a则BC=—=：
，
•••△ABC是正三角形，
DC_a_2
在Rt△DEC中,tan/DEC=「.
【考点】MT二面角的平面角及求法；LY:
平面与平面垂直的判定.
【分析】
（1）令AD=1,求出BD=「,从而AD±BD,进而BD丄平面PAD由此能证明平面
PADL平面PBD
（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值.
【解答】证明：
（1）在平行四边形ABCD中,令AD=1,
则BD=.•；•=,
在厶ABD中,AD+B[j=AB,•AD丄BD
又平面PADL平面ABCD
•BD丄平面PADBD?
平面PBD
•平面PADL平面PBD
解：
（2）由
（1）得AD丄BD,以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，
过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
令AD=1,则A（1,0,0）,B（0,二,0）,C（-1,二,0）,PC.,0,号），
设平面PAB的法向量为.=（x,
，取y=i,0
AB*n=-x+V3y=0治・二今皿y孚：
设平面PBC的法向量.=（a,b,c）,
n*BC=-a=O
晶，取b=1，得血=（°,1,2）,~C=0
=色
由图形知二面角A-PB-C的平面角为钝角，
•••二面角A-PB-C的余弦值为-
5
6.
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.
【分析】（I）由ABC-A1B1C1是直三棱柱，可知CG丄AC,CG丄BC,/ACB=9°,ACL
BC建立空间直角坐标系C-xyz.则A,B1,E,A,可得，AB],玉，CA]可知，根据画甲冠二0,瓦=C,推断出AB丄CEAB丄CA,根据线面垂直的判定
定理可知AB丄平面ACE
（H）由（I）知.7是平面AQE的法向量；：
二11■;<-,进而利用向量数量积求得直线AC与平面ACE所成角的正弦值
【解答】（I）证明：
TABC-ABC是直三棱柱，
•CCLAC,CCLBC,
又/ACB=9°,
即AC!
BC
如图所示，建立空间直角坐标系C-xyz.A（2,°,°）,B1（°,2,2）,E（1,1,0）,
A（2,0,2）,
•••.一，'I..i,「-.一.
又因为厂Ei,<,
•AB丄CEAB丄CA,AB丄平面ACE
=CA二（2,
所以直线AC与平面ACE所成角的正弦值为
7.
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.
【分析】（I）只需证明AB丄BF.AB丄EF即可.
（n）以A为原点，以AB,ADAP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系，
求出平面CDB的法向量为门j宀丄:
平面EDB的法向量为*门
设二面角E-BD-C的大小为0，贝U
【解答】解：
（I）证：
由已知DF//AB且/DAB为直角，故ABFD是矩形,
从而AB丄BF.
又PA丄底面ABCD二平面PADL平面ABCD
•/AB丄AD,故AB丄平面PAD•AB丄PD
在厶PCD内，E、F分别是PCCD的中点，EF//PD,•AB丄EF.
由此得AB丄平面BEF…
y轴，z轴正向建立空间直角坐标系,
（n）以A为原点，以AB,ADAP为x轴,
[-沈+2尸0一
则，屁可取吋（2,1,-晶）
巴诬二0|汁亍^0
设二面角E-BD-C的大小为0，贝U
口_i”―*―、匚In1*n21VsV2
-•；-•，：
「•■•二.——
1'|niHln21ixVio2
8.
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.
【分析】
（1）取PB中点N，连结MN,AN•由三角形中位线定理可得四边形ADMN为平行四边形•由AP丄AD,AB丄AD，由线面垂直的判定可得AD丄平面PAB•进一步得到AN丄MN.再由AP=AB，得AN丄PB,贝UAN丄平面PBC.又AN//DM，得DM丄平面PBC;
（2）以A为原点，.吓方向为x轴的正方向，■一方向为y轴的正方向，方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设E（2,t,0）（0Wt吟4,再求得P,D,B的
坐标，得到玮.亘的坐标，求出平面PDE的法向量，再由题意得到平面DEB的一个法向量，由两法向量夹角的余弦值得到实数入的值.
【解答】
（1）证明：
如图，取PB中点N，连结MN,AN.
•/M是PC中点，•••MN//BC,MN==BC=2.
又•••BC//AD,AD=2,
•MN//AD,MN=AD,
•四边形ADMN为平行四边形.
•/AP丄AD,AB丄AD,APAAB=A,
•AD丄平面PAB.
•/AN?
平面PAB,•AD丄AN，贝AN丄MN.
•/AP=AB,•AN丄PB，又MNAPB=N,•AN丄平面PBC.
•/AN//DM,•••DM丄平面PBC；
（2）解：
存在符合条件的入
以A为原点，，：
•；方向为x轴的正方向，，「方向为y轴的正方向，，〔「方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设E（2,t,0）（OWt吟4,P（0,0,2）,D（0,2,0）,B（2,0,0）,
则：
m:
「，「二:
儿-二小
设平面PDE的法向量：
|.=（x,y,z）,
取平面PDE的一个法向量为:
.=（2-t,2,2）
又平面DEB即为xAy平面,
故其一个法向量为打尸（0,0,1）,
解得t=3或t=1,
•入=3或
9.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定.
【分析】（I）推导出BE丄AMBC丄AM由此能证明AML平面BEC
（H）由Vac=Ve—abc,能求出三棱锥B-ACE的体积.
（川）在平面QEC内作QNLECQN交CE于点NQN与AM共面，设该平面为a，推导出四边形AMN健平行四方形，由此能求出AQ
【解答】证明：
（I）：
平面ABEDL平面ABC平面ABECT平面ABC=AB
BE!
AB,BE?
平面ABED
•••BE丄平面ABC又AM?
平面ABC二BEXAM
又AB=AQM是BC的中点，•BC丄AM
又BOABE=BBC?
平面BECBE?
平面BEC
•AM!
平面BEC
解：
（n）由（I）知，BE丄平面ABC•-h=BE=6
在Rt△ABM中,；_.'''J■!
，
又.一匸匸厂訂I；'■-■■:
二
"'z亠上h亠；；匸一
（川）在平面QEC内作QN丄ECQN交CE于点N
•••平面QECL平面BEC平面QE6平面BEC-EC
•QN!
平面BEC又AML平面BEC•QN/AM
•QN与AM共面，设该平面为a,•/ABED是长方形，•AQ//BE
又Q?
平面BECBE?
平面BEC•AQ//平面BEC
又AC?
a,aA平面BEC=MN•AQ//MN又QN/AM
•四边形AMNd平行四方形.•AQ=MN
•••AQ//BE,AQ//MN•MN/BE,又M是BC的中点丄
•AQ=MN=,3
（2）取AB中0,连接EQDO•/EB=EA二EQLAB.
•••平面ABEL平面ABCD
•••EO丄平面ABCD
•/AB=2CDAB//CD,AB丄BC,
•DOLAB,
建立如图的空间直角坐标系O-xyz如图:
0）,C（1,-1,0）,D（1,0,0）,E（0,
设CD=1,则A（0,1,0）,B
设x=1,则y=-1,z=1,则•=（1,-1,
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.
【分析】
（1）证明四边形BCDO1平行四边形，得出OBLAD再证明B0L平面PAD从而证明平面POBL平面PAD
（2）解法一
PJI
':
由「―.，M为PC中点,证明N是AC的中点,MIN/PAPA//平面BMO
解法二：
由
PA//平面BMO证明N是AC的中点，M是PC的中点，得士
K
【解答】解:
（1）证明：
•••AD//BC,:
-O为AD的中点，
•四边形BCDO^平行四边形,
•••CD//BQ
又•••/ADC=90,
•••/AOB=90，即OBLAD
又•••平面PADL平面ABCD且平面PADA平面ABCD=A,
•BO丄平面PAD
又：
BO?
平面POB
•平面POBL平面PAD
（2）解法一：
/-.，即卩M为PC中点，以下证明：
连结AC,交BO于N连结MN
•/AD//BC,O为AD中点，AD=2BC
•N是AC的中点，
又点M是棱PC的中点，•MN/PA
•/PA?
平面BMOMN平面BMO
•PA//平面BMO
解法二：
连接AC,交BO于N,连结MN
•/PA//平面BMO平面BMOA平面PAC=MN
•PA//MN
又•••AD//BCO为AD中点，AD=2BC
•N是AC的中点，
•M是PC的中点，则'"-i
me
12.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定.
【分析】
（1）连结AF,由已知条件推导出面ABCL面BBCC,从而AF丄BiF,由勾股定理得BF丄EF.由此能证明平面ABF丄平面AEF
（2）以F为坐标原点，FA,FB分别为x,y轴建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角
B-AE-F的余弦值.
【解答】
（1）证明：
连结AF,vF是等腰直角三角形△ABC斜边BC的中点，
•AFLBC.
又•.•三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
•面ABCL面BBCC,
•AF丄面BBGC,AFLBF.…
设AB=AA=1，则
•••."讦匸=，二BiF丄EF.
又AFnEF=F,•BF丄平面AEF.
而BiF?
面ABF，故：
平面ABF丄平面AEF.
（2）解：
以
F为坐标原点，FA,FB分别为x,y轴建立直角坐标系如图,
设AB=AA=1,
0）,A（守..|）
--.r'=亍W"=
B（0,-：
…，1）,E（0,
2
（-；；1）.…
22
-;;）,
由
（1）知，BF丄平面AEF,取平面
—=（0,厂，1）.…
AEF的法向量:
设平面BiAE的法向量为
z=0
由』
npAB
z=0
取x=3,得一1I.-.：
.-
设二面角Bi-AE-F的大小为0,
由图可知0为锐角，
•所求二面角B1-AE-F的余弦值为「
A
【考点】MT二面角的平面角及求法；LW直线与平面垂直的判定.
【分析】（I）只需证明DB丄AC,BD丄AE,即可得BD丄平面ACFE
（II）取EF的中点为M以0为坐标原点，以0A为x轴，以0B为y轴，以0M为z
轴，建立空间直角坐标系，贝则卜,〔工U「）,D（0,-二0）,F（-1,0,h）,E
（1,0,2,则［］一汽_技"⑴，「■-.•，利用向量法求解
【解答】（I）证明：
在菱形ABCD中，可得DB丄AC,
又因为AE!
平面ABCD-BDLAE,
且AEnAC=ABD丄平面ACFE
（II）解：
取EF的中点为M以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OM为z
轴，建立空间直角坐标系，
则I：
l：
l,D（0,-一，0）,F（-1,0,h）,E（1,0,2），贝V
DB=（0,2^3，0）,DE=（K血，2）,
设平面BDE的法向量□产（X,yfz）,由、
ni*DB=2V3y=0
，可取
□,DB=x+V3yf2z=0
n7=（2,0,1）,
面角B-EF-D的余弦值为＜
【考点】MT二面角的平面角及求法；LY:
平面与平面垂直的判定.
【分析】（I）证明：
AD丄平面ABFE即可证明平面PADL平面ABFE
（H）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P
-ABCD的高.
【解答】（I）证明：
直三棱柱ADE-BCF中,AE丄平面ADE
所以：
AB丄AD,又ADLAF,
所以：
AD丄平面ABFEAD?
平面PAD
所以：
平面PADL平面ABFE-.
（n）TADL平面ABFE•••建立以A为坐标原点，AB,AEAD分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图：
设正四棱锥P-ABCD勺高为h,AE=AD=2
则A（0,0,0）,F（2,2,0）,C（2,0,2）,
=（1,-h,1）,
AF=2x+2y=0
AC=2x+2z=0
.=（2,2,0）,
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