二次函数综合题专题教师版汇总Word下载.docx

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．

（1）填空：

OB＝_▲，OC＝_▲；

（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；

（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：

x＝n与

（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且

交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：

当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°

，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，

A、B、D三点的坐标分别是A（10-，），B（12-，），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线

2yaxbxc=++经过点D、M、N．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？

并求出最大值．

7、已知抛物线

2

23（0yaxaxaa=--<

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）

，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶

点．

（1）求A、B的坐标；

（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；

（3）在第

（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？

若存在，求出点M的坐标；

（二次函数与圆）

8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2

+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．1）求该抛物线的解析式．

2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．

9、如图，y关于x的二次函数y=﹣

（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M

，

图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0）

（1）写出A、B、D三点的坐标；

（2）当m为何值时M点在直线ED上？

判定此时直线与圆的位置关系；

（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。

10、已知抛物线2yaxbxc=++的对称轴为直线2x=，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中AI（1，0，C（0，3-．

（1）（3分）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．

①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；

②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。

答案：

6

1、解：

（1）由已知条件得，（2分）

解得b=﹣，c=﹣，∴此二次函数的解析式为y=x2

﹣x﹣；

（1分）

（2）∵x2

﹣

x﹣=0，∴x1=﹣1，x2=3，

∴B（﹣1，0），C（3，0），∴BC=4，（1分）

∵E

点在x轴下方，且△EBC面积最大，∴E点是抛物线的顶点，其坐标为（1，﹣3），（1分）∴△EBC的面积=×

4×

3=6．（1分）

2、

（1）∵抛物线的顶点为（1，92∴设抛物线的函数关系式为y＝a（x－1292∵抛物线与y轴交于点C（0，4，∴a（0－12＋92＝4解得a＝－1

2∴所求抛物线的函数关系式为y＝－12（x－12＋9

2

（2）解：

P1（1，17，P2（1，－17，P3（1，8，P4（1，17

8，（3）解：

令－12x－12＋9

20，解得x1＝－2，x1＝4

∴抛物线y＝－12x－129

2x轴的交点为A（－2，0C（4，0过点F作FM⊥OB于点M，

∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴MFOC＝EBAB又∵OC＝4，AB＝6，∴MF＝EBAB×

OC＝2

3EB

设E点坐标为（x，0，则EB＝4－x，MF＝23（4－x∴S＝S△BCE－S△BEF＝12EB·

OC－12·

MF＝12（OC－MF＝1

2（4－x[4－23（4－x]132＋2383＝－1

3x－12＋3

∵a＝－1

3＜0，∴S有最大值当x＝1时，S最大值＝3此时点E的坐标为（1，03、

（1）∵一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，

∴A（－1，0C（0，－4把A（－1，0C（0，－4代入y＝4

32＋bx＋c得∴⎩⎪⎨⎪⎧43b＋c＝0c＝－4解得⎩⎪⎨⎪⎧b＝－83c＝－4

∴y＝432－8

3

－4

（2）∵y432－83－4＝43x－12163∴顶点为D（1，－16

3）

设直线DC交x轴于点E由D（1，－16

3C（0，－4

易求直线CD的解析式为y＝－4

3－4易求E（－3，0），B（3，0）S△EDB＝12616

316

S△ECA＝1

22×

4＝4S四边形ABDC＝S△EDB－S△ECA＝12

7

（3）抛物线的对称轴为x＝－1

做BC的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点D3易求AB的解析式为y＝－3x3∵D3E是BC的垂直平分线∴D3E∥AB设D3E的解析式为y＝－3x＋b

∵D3E交x轴于（－1，0）代入解析式得b＝－3,∴y＝－3x－3把x＝－1代入得y＝0∴D3（－1，0,过B做BH∥x轴，则BH＝111

在Rt△D1HB中，由勾股定理得D1H11∴D1（－1113）同理可求其它点的坐标。

可求交点坐标D1（－1，11＋3）,D2（－1，2）,D3（－1，0,D4（－1,11－3D5（－1，－2）4、（1∆=（2

174222mm⎛⎫--⨯

⨯-⎪⎝⎭

=247mm-+=2443mm-++=（2

23m-+，∵不管m为何实数，总有（

2m-≥0，∴∆=（2

23m-+＞0，∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．

（2∵抛物线的对称轴为直线x=3，∴3m=，抛物线的解析式为215322yxx=

-+=（2

1322

x--，顶点C坐标为（3，－2），解方程组21,

153

22yxyxx=-⎧⎪

⎨=-+⎪⎩，解得1110xy=⎧⎨

=⎩或2276xy=⎧⎨=⎩，所以A的坐标为（1，0）、B的坐标为（7，6），∵3x=时y=x－1=3－1=2，∴D的坐标为（3，2），设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，则E的坐标为（3，

0），所以AE=BE=3，DE=CE=2，

①假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相

垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形．

②（Ⅰ设直线CD向右平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点

的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3n+，直线CD与直线y=x－1交于点M（3n+，2n+），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．

∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．

（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3n+，2n-），又N在抛物线215322yxx=

-+上，∴（（2

15233322

nnn-=+-++，解得10n=（不合题意，舍去），22n=，

（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标为（3n+，6n+），又N在抛物线215322yxx=

15633322

nnn+=+-++，解得11n=，21n=

（Ⅱ设直线CD向左平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD

的解析式为x=3n-，直线CD与直线y=x－1交于点M（3n-，2n-），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．

（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3n-，2n--），

8

又N在抛物线215322yxx=

nnn--=---+，解得10n=（不合题意，舍去），22n=-（不合题意，舍去），

（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标为（3n-，6n-），又N在抛物线215322yxx=

-

+上，∴（（2

1563

3322

nnn-=---+，解得

11n=-

21n=-，

综上所述，直线CD向右平移2或（11-+C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

5、解：

（1）OB＝3，OC＝8

（2）连接OD，交OC于点E

∵四边形OACD是菱形∴AD⊥OC，OE＝EC＝1

2×

8＝4∴BE＝4－3＝1又∵∠BAC＝90°

∴△ACE∽△BAE∴AEBECE

AE

∴AE2＝BE·

CE＝1×

4

∴AE＝2∴点A的坐标为（4，2把点A的坐标（4，2代入抛物线y＝mx2－11mx＋24m，

得m＝－12∴抛物线的解析式为y12x2＋11

2x－12

（3）∵直线x＝n与抛物线交于点M∴点M的坐标为（n，－122＋11

2n－12

由

（2）知，点D的坐标为（4，－2），则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y＝12x－4

∴点N的坐标为（n，12－4∴MN＝（－12n2＋112n－12）－（2n－4）＝－2n2＋5n－8

∴S四边形AMCN＝S△AMN＋S△CMN＝12·

CE＝121

2n2＋5n－8）×

4＝－（n－52＋9∴当n＝5时，S四边形AMCN＝9

6、解：

（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC与x轴的交点，∴M（0，2），

∵DM∥ON，D（3，0），∴N（-3，2），则9302930abccabc++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩，解得19

132

abc⎧

=-⎪⎪⎪=-⎨⎪

=⎪⎪⎩

，∴211293yxx=--+；

（2）连接AC交y轴与G，∵M是BC的中点，∴AO=BM=MC，AB=BC=2，∴AG=GC，即G（0，1），∵∠ABC=90°

，∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，∴点P为直线BG与抛物线的交点，

设直线BG的解析式为ykxb=+，则21kbb-+=⎧⎨=⎩，解得1

1kb=-⎧⎨=⎩

，∴1yx=-+，

9

∴2111

293yxyxx=-+⎧⎪⎨=--+⎪⎩

，解得1132xy⎧=+⎪⎨=--⎪⎩

2232xy⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩∴点P

（32+--，P

（2-+，，（3）∵22111392（93924yxxx=--+=-++，∴对称轴3

x=-，令211

2093

xx-

-+=，解得13x=，26x=，∴E（6-，0），故E、D关于直线3

x=-对称，∴QE=QD，∴|QE-QC|=|QD-QC|，

要使|QE-QC|最大，则延长DC与3

x=-相交于点Q，即点Q为

直线DC与直线3

x=-的交点，

由于M为BC的中点，∴C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx+b，则302

kbkb+=⎧⎨

+=⎩，解得1

3kb=-⎧⎨=⎩，∴3yx=-+，

当32x=-

时，39322y=+=，故当Q在（39

22

-）的位置时，|QE-QC|最大，过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则

=

7、解：

（1）由y=0得，ax2-2ax-3a=0，

∵a≠0，∴x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）；

（2）由y=ax2

-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，∴C（0，-3a），

又∵y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a，得D（1，-4a），

∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a，∴-a=1，∴a=-1，∴C（0，3），D（1，4），设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得，，解得

∴直线CD的解析式为y=x+3；

（3）存在．

由

（2）得，E（-3，0），N（-，0）∴F（，），EN=，作MQ⊥CD于Q，设存在满足条件的点M（，m），则FM=-m，EF=

，MQ=OM=

由题意得：

Rt△FQM∽Rt△FNE，∴=

，整理得4m2+36m-63=0，∴m2+9m=

m2+9m+

+

（m+）2=

m+=±

∴m1=，m2=-

∴点M的坐标为M1（，），M2（，-

）．

8、解：

（1）∵抛物线y=ax2

+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），

∴假设二次函数解析式为：

y=a（x﹣1）（x﹣3），将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：

3=3a，∴a=1，

10

∴抛物线的解析式为：

y=（x﹣1）（x﹣3）=x﹣4x+3；

（2）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，∴AC×

BC=6，∵抛物线y=ax2

+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，∴二次函数对称轴为x=2，∴AC=3，∴BC=4，∴B点坐标为：

（2，4），一次函数解析式为；

y=kx+b，∴

，解得：

，y=x+；

（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，

∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，

∵AC=1+2=3，BC=4，∴AB=5，AM=3，∴BM=2，∵∠MBP=∠ABC，∠BMP=∠ACB，

∴△ABC∽△CBM，∴

∴，∴PC=1.5，P点坐标为：

（2，1.5）．

9、解：

（1）A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）．

（2）设直线ED的解析式为y=kx+b，将E（﹣3，0），D（0，m）代入得：

解得，k=，b=m．∴直线ED的解析式为y=mx+m．

将y=﹣（x+m）（x﹣3m）化为顶点式：

y=﹣

（x+m）2

m．

∴顶点M的坐标为（m，m）．代入y=mx+

m得：

m2

=m

∵m＞0，∴m=1．所以，当m=1时，M点在直线DE上．连接CD，C为AB中点，C点坐标为C（m，0）．∵OD=

，OC=1，∴CD=2，D点在圆上

又OE=3，DE2

=OD2

+OE2

=12，EC2

=16，CD2

=4，∴CD2

+DE2

=EC2

．∴∠FDC=90°

∴直线ED与⊙C相切．（3）当0＜m＜3时，S△AED=AE．•OD=

m（3﹣m）S=﹣

当m＞3时，S△AED=AE．•OD=m（m﹣3）．即S=m

2_

ì

ï

a+b+c=0ì

a=-1ï

10、解：

（1）由题意，得í

c=-3，解得í

b=4∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3。

c=-3ï

bî

-=2î

2a

（2）①令-x+4x-3=0，解得x1=1，x2=32y∴B（3,0）PAOEP3CBx当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，易求直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AP的解析式为y=x+n，∵直线AP过点A（1,0），代入求得n=-1。

∴直线AP的解析式为y=x-1ì

y=x-1ì

x1=1ì

x2=2，解方程组í

，得í

í

2î

y1=0î

y2=1î

y=-x+4x-3当点P在x轴下方时，如图1∴点P11（2，P2第24题图1设直线AP-1，1交y轴于点E（0，把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P2、P3，ì

3+17ì

3-17ì

y=x-5x1=ï

x2=解方程组í

，ï

222，í

î

y=-x+4x-3í

-7+17ï

-7-17ï

y1=ï

2y2=ï

2得直线P2P3的解析式为y=x-5，∴P2（3-17-7-173+17-7+17，，P3（，2222综上所述，点P的坐标为：

P1，P2（1（2，3-17-7-173+17-7+17，，P3（，2222设直线CP的解析式为y=kx-30C（0，-3∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°

②∵B（3，，如图2，延长CP交x轴于点Q，设∠OCA=α，则∠ACB=45°

-α∵∠PCB=∠BCA∴∠PCB=45°

-α∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°

-（45°

-α）=α∴∠OCA=∠OQC又∵∠AOC=∠COQ=90°

∴Rt△AOC∽Rt△COQ∴yOAOC13=，∴=，∴OQ=9，∴Q（9，0OCOQ3OQ∴k=AOBQx0，∴9k-3=0∵直线CP过点Q（9，∴直线CP的解析式为y=13PC1x-3。

3第24题图211