高等代数北大版课件4.4矩阵的逆PPT文件格式下载.ppt

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一、可逆矩阵的概念,二、可逆矩阵的判定、求法,4.4矩阵的逆,三、逆矩阵的运算规律,四、矩阵方程,一、可逆矩阵的概念,定义,设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得,ABBAE,则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.,注：

@#@,可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作,单位矩阵E可逆，且,可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆矩阵，且,二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法,定义,1、伴随矩阵,称为A的伴随矩阵.,性质：

@#@,余子式，矩阵,设是矩阵中元素的代数,证：

@#@由行列式按一行（列）展开公式,立即可得,同理,非退化的），且,证：

@#@若由,所以，A可逆，且,两边取行列式，得,2、定理：

@#@矩阵A可逆当且仅当（即A,得,反过来，若A可逆，则有,则A、B皆为可逆矩阵，且,证：

@#@,由定理知，A、B皆为可逆矩阵.,从而,再由,即有，,3、推论：

@#@设A、B为n级方阵，若,例1,判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.,解：

@#@1）,A可逆.,再由,有,当时，A可逆.,且由于,三、逆矩阵的运算规律,（5）若A可逆，则亦可逆，且,（6）若A可逆，则亦可逆，且,当时，定义,注：

@#@,则有,设方阵A满足,证明：

@#@与皆可逆，并求其逆.,例2,由,即,故A可逆，且,再由,得,即,证：

@#@,得,四、矩阵方程,1.线性方程组,令,则

（1）可看成矩阵方程,若A为可逆矩阵，则,矩阵方程,若A为可逆矩阵，则,2.推广,矩阵方程,若A为可逆矩阵，则,矩阵方程,若A,B皆可逆，则,3.矩阵积的秩,证：

@#@,令,又P可逆，,由定理2，,有,故,例3解矩阵方程,解：

@#@,.,注:

@#@,练习,可逆，且,