高等代数北大版课件10.2对偶空间PPT推荐.ppt

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第十章双线性函数,10.1线性函数,10.2对偶空间,10.3双线性函数,10.4对称双线性函数,10.2对偶空间,一、对偶空间与对偶基,二、对偶空间的有关结果,10.2对偶空间,10.2对偶空间,一、对偶空间与对偶基,1.对偶空间,设是数域上的维线性空间，表示,上全体线性函数的集合，在中定义加法,和数乘运算：

@#@,则构成数域上的线性空间，称之为V,的对偶空间，记为,定义,10.2对偶空间,1.对偶基,设为数域上线性空间的一组基，,作映射,则，且,即，,有，,对任意,10.2对偶空间,线性无关.,证明：

@#@设,两端作用得,中任意线性函数可由线性表出.,证明：

@#@，对，设,则,线性无关.,10.2对偶空间,10.2对偶空间,综合与即得,定理2取定线性空间V的一组基,若V上的n个线性函数满足,则为的一组基.,称之为的对偶基.,10.2对偶空间,例.上线性空间,任意个不同实数,根据拉格朗日插值公式，有多项式,则,且为的一组基.,10.2对偶空间,这是因为:

@#@,线性无关.,事实上，若有,用依次代入上式则得:

@#@,线性无关.,为基.,10.2对偶空间,则线性函数满足,因此是的对偶基.,设是在点的取值函数：

@#@,10.2对偶空间,二、对偶空间的有关结果,1.设V数域P上的一个n维线性空间，,与是V的两组基，它们的对偶基分别是,即，,再设,10.2对偶空间,其中，,于是有,所以，,即或,10.2对偶空间,因此有下述定理,定理3设与为线性,空间V的两组基，其的对偶基分别为,与,如果,则到的过渡矩阵为,即，,10.2对偶空间,2.线性函数空间的同构,定理4设V为线性空间，是V的对偶空间,的对偶空间，即,定义映射,则为同构映射.即,10.2对偶空间,证：

@#@,同理,所以保持加法和数量乘法.,10.2对偶空间,首先：

@#@是1-1对应的，,若,则对,即,又,由的任意性，,即,故是单射.,10.2对偶空间,空间，所以可看成上线性函数空间,与是,由Th3,与同构，而是上线性函数空间，,互为线性函数空间的.,注：

@#@,10.2对偶空间,例1.设是线性空间的一组基,是它的对偶基，,试证：

@#@是的一组基，并求它的对偶基.,（用表示）,10.2对偶空间,非退化.,故是的一组基.,它的对偶基,解：

@#@,而,10.2对偶空间,例2.设是一个线性空间，是中的,非零向量.证明：

@#@,存在使,证：

@#@的核是的真子空间，否则,即,从而,与已知矛盾.,