反比例函数知识点归纳重点95445Word下载.docx

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（十八）　　在用描点法画反比例函数

的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．

（十九）（三）反比例函数及其图象的性质

（二十）　　1．函数解析式：

）

（二十一）　　2．自变量的取值范围：

（二十二）　　3．图象：

（二十三）　　

（1）图象的形状：

双曲线．

（二十四）　　

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．　

越小，图象的弯曲度越大．

（二十五）　　

（2）图象的位置和性质：

（二十六）　　与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．

（二十七）　　当

时，图象的两支分别位于一、三象限；

在每个象限内，y随x的增大而减小；

（二十八）　　当

时，图象的两支分别位于二、四象限；

在每个象限内，y随x的增大而增大．

（二十九）　　（3）对称性：

图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（

，

）在双曲线的另一支上．

（三十）图象关于直线

对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（

）和（

（三十一）　　4．k的几何意义

（三十二）　　如图1，设点P（a，b）是双曲线

上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是

（三角形PAO和三角形PBO的面积都是

）．

（三十三）　　如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形

PQC的面积为

．

（三十四）　　　　

（三十五）　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　　　图2

（三十六）　　5．说明：

（三十七）　　

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个

分支分别讨论，不能一概而论．

（三十八）　　

（2）直线

与双曲线

的关系：

（三十九）　　　当

时，两图象没有交点；

当

时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

（四十）　　（3）反比例函数与一次函数的联系．

（四十一）（四）实际问题与反比例函数

（四十二）　　1．求函数解析式的方法：

（四十三）　　

（1）待定系数法；

（2）根据实际意义列函数解析式．

（四十四）　　2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．

（四十五）（五）充分利用数形结合的思想解决问题．

（四十六）三、例题分析

（四十七）　　

1．反比例函数的概念

（四十八）　　

（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．

（四十九）　　A．y=3x　　　B．

　　　　C．3xy=1　　　　D．

（五十）　　

（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．

（五十一）　　A．

　　　　B．

　　　　C．

　　　　D．

（五十二）　　答案：

（1）C；

（2）A．

（五十三）　　

2．图象和性质

（五十四）　　

（1）已知函数

是反比例函数，

（五十五）　　①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．

（五十六）　　②若y随x的增大而减小，那么k=___________．

（五十七）　　

（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数

的图象位于第________象限．

（五十八）　　（3）若反比例函数

经过点（

，2），则一次函数

的图象一定不经过第_____象限．

（五十九）　　（4）已知a·

b＜0，点P（a，b）在反比例函数

的图象上，

（六十）　　　　则直线

不经过的象限是（）．

（六十一）　　A．第一象限　　　　B．第二象限　　　C．第三象限　　　　　D．第四象限

（六十二）　　（5）若P（2，2）和Q（m，

）是反比例函数

图象上的两点，

（六十三）　　　　则一次函数y=kx+m的图象经过（）．

（六十四）　　A．第一、二、三象限　　　　　　B．第一、二、四象限

（六十五）　　C．第一、三、四象限　　　　　　D．第二、三、四象限

（六十六）　　（6）已知函数

和

（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．

（六十七）　　

（六十八）　　　　A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　　D．

（六十九）　　答案：

（1）①

②1；

（2）一、三；

（3）四；

（4）C；

（5）C；

（6）B．

（七十）　　

3．函数的增减性

（七十一）　　

（1）在反比例函数

的图象上有两点

，且

，则

的值为（）．

（七十二）　　A．正数　　　　B．负数　　　　　C．非正数　　　　　D．非负数

（七十三）　　

（2）在函数

（a为常数）的图象上有三个点

，则函数值

、

的大小关系是（）．

（七十四）　　A．

＜

　　　B．

　　　　　C．

　　　D．

（七十五）　　（3）下列四个函数中：

①

；

②

③

④

（七十六）　　　　y随x的增大而减小的函数有（）．

（七十七）　　A．0个　　　　B．1个　　　　　C．2个　　　　　D．3个

（七十八）　　（4）已知反比例函数

的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而　　　　（填“增大”或“减小”）．

（七十九）　　答案：

（1）A；

（2）D；

（3）B．

（八十）　　注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内”y随x的增大而减小．

（八十一）　　

4．解析式的确定

（八十二）　　

（1）若

与

成反比例，

成正比例，则y是z的（）．

（八十三）　　A．正比例函数　　　B．反比例函数　　　　C．一次函数　　　　D．不能确定

（八十四）　　

（2）若正比例函数y=2x与反比例函数

的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．

（八十五）　　（3）已知反比例函数

的图象经过点

，反比例函数

的图象在第二、四象限，求

的值．

（八十六）　　（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数

）的图象在第一象限内的交点为P（x0，3）．

（八十七）　　①求x0的值；

②求一次函数和反比例函数的解析式．

（八十八）

（八十九）　　（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：

（九十）　　①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x的取值范围是_______________；

药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．

（九十一）　　②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；

（九十二）　　③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效为什么？

（九十三）　　答案：

（1）B；

（2）4，8，（

）；

（九十四）　　（3）依题意，

且

，解得

（九十五）　　（4）①依题意，

解得

（九十六）　　　　②一次函数解析式为

，反比例函数解析式为

（九十七）　　（5）①

（九十八）　　　　②30；

③消毒时间为

（分钟），所以消毒有效．

（九十九）　　

5．面积计算

（一百）　　

（1）如图，在函数

的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为

，则（）．

（一百零一）　　A．

　　　　C．

（一百零二）　　

（一百零三）　　　第

（1）题图　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第

（2）题图

（一百零四）　　

（2）如图，A、B是函数

的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（）．

（一百零五）　　A．S=1　　　　B．1＜S＜2　　　　　　C．S=2　　　　　D．S＞2

（一百零六）　　（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线

上，且S△AOB=3，求m的值．

（一百零七）　　

（一百零八）　　　第（3）题图　　　　　　　　　　　　　　　　　　第（4）题图

（一百零九）　　（4）已知函数

的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2，P2R2，垂足分别为Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长，并比较它们的大小．

（一百一十）　　（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数

的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．

（一百一十一）　　　　

（一百一十二）　　　　　第（5）题图　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第（6）题图

（一百一十三）　　（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线

与直线

在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=

（一百一十四）　　①求这两个函数的解析式；

（一百一十五）　　②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．

（一百一十六）　　

（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数

（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数

（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．

（一百一十七）　　①求B点坐标和k的值；

（一百一十八）　　②当

时，求点P的坐标；

（一百一十九）　　③写出S关于m的函数关系式．

（一百二十）　　答案：

（1）D；

（2）C；

（3）6；

（一百二十一）　　（4）

，矩形OQ1P1R1的周长为8，OQ2P2R2的周长为

，前者大．

（一百二十二）　　（5）1．

（一百二十三）　　（6）①双曲线为

，直线为

（一百二十四）　　　　②直线与两轴的交点分别为（0，

，0），且A（1，

）和C（

，1），

（一百二十五）　　　　　因此

面积为4．

（一百二十六）　　（7）①B（3，3），

（一百二十七）　　　　②

时，E（6，0），

（一百二十八）　　　　③

（一百二十九）　　

6．综合应用

（一百三十）　　

（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数

（k2≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（　　）．

（一百三十一）　　A．互为倒数　　　B．符号相同　　　C．绝对值相等　　　D．符号相反

（一百三十二）　　

（2）如图，一次函数

的图象与反比例数

的图象交于A、B两点：

A（

，1），B（1，n）．

（一百三十三）　　①求反比例函数和一次函数的解析式；

（一百三十四）　　②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

（一百三十五）　　（3）如图所示，已知一次函数

（k≠0）的图象与x轴、

y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数

（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．

（一百三十六）　　①求点A、B、D的坐标；

（一百三十七）　　②求一次函数和反比例函数的解析式．

（一百三十八）　　

（4）如图，一次函数

的图象与反比例函数

的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．

（一百三十九）　　①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；

（一百四十）　　②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等若存在，给出证明并求出点P的坐标；

若不存在，说明理由．

（一百四十一）　　（5）不解方程，判断下列方程解的个数．

（一百四十二）　　　　①

　　②

（一百四十三）　　

（2）①反比例函数为

，一次函数为

（一百四十四）　　　　②范围是

或

（一百四十五）　　（3）①A（0，

），B（0，1），D（1，0）；

（一百四十六）　　　　②一次函数为

，反比例函数为

（一百四十七）　　（4）①反比例函数为

（一百四十八）　　　　②存在

（2，2）．

（一百四十九）　　（5）①构造双曲线

和直线

，它们无交点，说明原方程无实数解；

（一百五十）　　　　②构造双曲线

，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．