微分方程的基础知识及解析解Word文件下载.docx
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0时，s0,vds20dt
（6）
（5）式两端积分一次得：
ds0.4tC1
dt1
v
（7）
再积分一次得
s0.2t2C1tC2
8）
其中C1,C2都是任意常数
把条件“t0时v20”和“t0时s0”分别代入（７）式和（８）式，得
C120,C20
把C1,C2的值代入（7）及（8）式得
（9）
10）
v0.4t20,
s0.2t220t
在（9）式中令v0，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：
20
0.4
50（s）。
再把t5代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程
2
s0.25022050500（m）.
上述两个例子中的关系式
（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。
1．微分方程的概念
一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。
未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；
未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。
我们只研究常微分方程。
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。
例如，方程
（1）是一阶微分方程；
方程（5）是二阶微分方程方程。
又如，方程
y44y'
'
10y'
12y'
5ysin2x是四阶微分方程。
般地，n阶微分方程的形式是
（n）
其中F是个n2变量的函数。
这里必须指出，在方程（11）中，y（n）是必须出现的，而
x,y,y'
...,y（n1）等变量则可以不出现。
例如n阶微分方程
y（n）10
中，除y（n）外，其他变量都没有出现。
由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。
这个函数就叫做该微分方程的解。
例如，函数（3）和（4）都是微分方程
（1）的解；
函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
例如，函数（3）是方程
（1）的解，它含有一个任意常数，而方程
（1）是一阶的，所以函数（3）是方程
（1）的通解。
又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。
由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。
为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。
例如，例1中的条件
（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。
设微分方程中的未知函数为yy（x），如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是
xx0时，yy0，
或写成y|xx0y0
其中x0，y0都是给定的值；
如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：
xx0时，yy0，y'
y1
或写成y|xx0y0，y'
|xx0y1其中x0，y0和y1都是给定的值。
上述条件叫做初始条件。
确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。
例如（4）式是方程
（1）满足条件
（2）的特解；
（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。
求微分方程y'
f（x,y）满足初始条件y|x
x0
y0的特解这样一个问
题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作
y'
f（x,y）,y|xx0y0.
13）
二阶微分方程的初值问题是
f（x,y,y'
）,y|xx0y0,y'
|xx0y1
3、例题
例1验证：
函数
xC1cosktC2sinkt
14）
是微分方程
d22xk2x0
dt2
15）
的解。
求出所给函数
14）的导数dxdt
kC1sinktkC2coskt,
d2x
dt2
kC1coskt
22
kC2sinktk（C1cosktC2sinkt）
把ddt2x及x的表达式代入方程（
15）得
k2（C1cosktC2sinkt）+k2（C1cosktC2sinkt）0
14）是微
函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（
分方程（15）的解。
用程序来实现：
>
symsktC1C2;
x=C1*cos（k*t）+C2*sin（k*t）;
diff（x,t,2）+k^2*xans=k^2*（C1*cos（k*t）+C2*sin（k*t））-C1*k^2*cos（k*t）-C2*k^2*sin（k*t）>
simple（ans）
（二）微分方程的解一、几个会用到的函数：
1、solve函数：
Matlab中solve函数主要是用来求解线性方程组的解析解或者精确解。
solve函数的语法定义主要有以下四种：
solve（‘eq'
）
‘var'
solve（‘eq1'
'
eq2'
⋯eq,n'
g=solve（‘eq1'
‘eq2'
‘var1'
‘var2'
⋯va,rn‘'
eq代表字符串形式的方程，var代表的是变量。
例1：
解方程ax2bxc0
程序是：
symsabcx;
solve（'
a*x^2+b*x+c'
）（也可写成solve（'
a*x^2+b*x+c=0'
））当没有指定变量的时候，matlab默认求解的是关于x的解，求解的结果为：
ans=
-（b+（b^2-4*a*c）^（1/2））/（2*a）
-（b-（b^2-4*a*c）^（1/2））/（2*a）d
当指定变量为b的时候：
b'
求解的结果为：
ans=-（a*x^2+c）/xs=-（a*x^2+c）/x
例2：
对于方程组xy1的情况
x11y5
S=solve（'
x+y=1'
x-11*y=5'
）;
S.x
S.y
S=[S.x,S.y]（这里或者写成x=S.xy=S.y）如果解得是一个方程组，而且采用了形如[a,b]=solve（a+b=1,2a-b=4ab）的格式，那么，在MATLABR2014a中没问题，可以保证输出的a，b就等于相应的解，但是在R2012b等早先版本中不能保证输出的顺序就是你声明变量时的顺序。
所以最好采用g=solve（a+b=1,2a-b=4ab）这种单输出格式，这样输出的是一个结构体，g.a和g.b就是对应的解。
S=[4/3,-1/3]
一、微分方程的解析解格式：
dsolve（方‘程1'
方‘程2'
⋯方‘程n'
初‘始条件'
自‘变量'
）记号:
在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2y、D3y等表示求高阶微分.
任何D后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省，默认自变量是t例如，微分方程d2y0应表达为：
D2y=0.
dx2
求解本问题的Matlab程序为：
symsxy%line1
y=dsolve（'
Dy+2*x*y=x*exp（-x^2）'
x'
）%line2
diff（y,x）+2*x*y-x*exp（-x^2）%line3
simplify（diff（y,x）+2*x*y-x*exp（-x^2））%line4
例1：
求解微分方程dy2xyxex，并加以验证．
说明：
（1）行line1是用命令定义x,y为符号变量．这里可以不写，但为确保正确性，建议写上；
（2）行line2是用命令求出的微分方程的解：
1/2*exp（-x^2）*x^2+exp（-x^2）*C1
（3）行line3使用所求得的解．这里是将解代入原微分方程，结果应该为0，
但这里给出：
-x^3*exp（-x^2）-2*x*exp（-x^2）*C1+2*x*（1/2*exp（-x^2）*x^2+exp（-x^2）*
C1）
（4）行line4用simplify（）（simple（））函数对上式进行化简，结果为0，表明yy（x）的确是微分方程的解．
例2：
先求微分方程xy'
yex0的通解，再求在初始条件y
（1）2e下的特解，并画出特解函数的图形．
symsxy
x*Dy+y-exp（x）=0'
'
结果y=
（exp（x）+C1）/x
求特解两个方法
1.y=dsolve（'
y
（1）=2*exp
（1）'
（exp（x）+exp
（1））/x
2.C1=solve（'
2*exp
（1）=exp
（1）+C1'
C1'
结果C1=exp
（1）
y=（exp（x）+exp（-x^2）
结果（exp（x）+exp
（1））/x
ezplot（y）
例3：
求微分方程组dt
5xy
dy
dt
x3y
在初始条件x|t01,y|t00下的特解，
并画出解函数的图形．求解本问题的Matlab程序为：
symsxyt
a=dsolve（'
Dx+5*x+y=exp（t）'
Dy-x-3*y=0'
x（0）=1'
y（0）=0'
t'
x=a.x
y=a.ysimple（x）;
simple（y）;
ezplot（x,y,[0,1.3]）;
axisauto%坐标刻度选默认值例4先求微分方程的通解，再求微分方程的特解
d22y4dy29y0
dx2dx
y（0）0,y'
（0）15
dsolve（'
D2y+4*Dy+29*y=0'
y（0）=0,Dy（0）=15'
）ans=（3*sin（5*x））/exp（2*x）
例5求微分方程组的通解
dz
2x
3y
3z
4x
5y
4y
2z
A=dsolve（'
Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z'
x=A.x
y=A.y
z=A.z
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