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若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为（组合）
例2．随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
此试验的样本空间所有样本点的个数为
第一种方法用组合+乘法原理；
第二种方法用排列
2事件间的关系与运算
1、包含:
“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为AB或BA。
例如，在E1中，令A表示“掷出2点”的事件，即A={2}
B表示“掷出偶数”的事件，即B={2，4，6}则
2、相等：
若AB且BA，则称事件A等于事件B，记为A=B
例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示“取得到少有3张红桃”的事件；
B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。
显然A=B
3、和：
称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为AB，或A+B
例如，甲，乙两人向目标射击，令A表示“甲击中目标”的事件，B表示“乙击中目标”的事件，则AUB表示“目标被击中”的事件。
推广：
有限个
无穷可列个
4、积：
称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为AB或AB。
例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到偶数次呼唤}，B={接到奇数次呼唤}，则AB={接到6的倍数次呼唤}
推广：
任意有限个
无穷可列个
5、差：
称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。
例如，测量晶体管的β参数值，令A={测得β值不超过50}，B=｛测得β值不超过100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为50﹤β≤100｝
6、互不相容：
若事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A与B是互不相容的。
例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：
若A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则A与B便是互不相容的。
7、对立：
称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为显然，A∩=φ
例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A={取得的3个产品中至少有一个次品}，则={取得的3个产品均为正品}。
3事件的运算规律
1、交换律A∪B=B∪A；
A∩B=B∩A
2、结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；
（A∩B）∩C=A∩（B∩C）
3、分配律A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）
4、对偶律
此外，还有一些常用性质，如
A∪BA，A∪BB（越求和越大）；
A∩BA，A∩BB（越求积越小）。
若AB，则A∪B=B,A∩B=AA-B=A-AB=A等等。
例3，从一批产品中每次取一件进行检验，令Ai={第i次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。
A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝
解：
Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表为
或
例4，一名射手连续向某一目标射击三次，令Ａi={第i次射击击中目标},i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：
A1A 2A3={三次射击都击中目标}
A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标}
例5，下图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系。
解，不难看出有如下一些关系：
二事件的概率
1概率的定义
所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P（A）。
规定P（A）≥0，P（Ω）=1。
1、古典概型中概率的定义
古典概型：
满足下列两条件的试验模型称为古典概型。
（1）所有基本事件是有限个；
（2）各基本事件发生的可能性相同；
例如：
掷一匀称的骰子，令A={掷出2点}={2}，B={掷出偶数总}={2，4，6}。
此试验样本空间为
Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，应有1=P（Ω）=6P（A），即P（A）=。
而P（B）=3P（A）=
定义1：
在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为NΩ而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为NA，则事件A的概率便定义为：
例1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。
用H表示正面，T表示反面，则该试验的样本空间
Ω={（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）}。
可见NΩ=8令A={恰有一次出现正面}，则A={（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）}
可见，令NA=3故
例2，（取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。
（1）有放回地取球：
从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；
（2）无放回地取球：
从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；
（3）一次取球：
从袋中任取3个球。
在以上三种取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率。
（1）有放回取球NΩ=8×
8×
8=83=512 （袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等）
（先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取白球还有五种情况<
注意是有放回>
，第三次取黑球只有三种情况）
（2）无放回取球 故
（3）一次取球
故
属于取球问题的一个实例：
设有100件产品，其中有5%的次品，今从中随机抽取15件，则其中恰有2件次品的概率便为
（属于一次取球模型）
例3（分球问题）将n个球放入N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率（n≤N）。
令A={恰有n个盒子各有一球}，先考虑基本事件的总数
先从N个盒子里选n个盒子，然后在n个盒子里n个球全排列
故
属于分球问题的一个实例：
全班有40名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？
令A={40个同学生日皆不相同}，则有
（可以认为有365个盒子，40个球）故
例4（取数问题）
从0，1，……,9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：
（1）
四个数排成一个偶数；
（2）
四个数排成一个四位数；
（3）
四个数排成一个四位偶数；
令A={四个数排成一个偶数}，B={四个数排成一个四位数}，C={四个数排成一个四位偶数}
，
例5（分组问题）将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率各为多少？
令A={有人手里有13张黑桃}，B={有人手里有4张A牌}
于是
，故
不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质：
1°
P（A）≥0
2°
P（Ω）=1
3°
若A1，A2，……，An两两互不相容，则
2、概率的统计定义
频率：
在n次重复试验中，设事件A出现了nA次，则称：
为事件A的频率。
频率具有一定的稳定性。
示例见下例表
试验者
抛硬币次数
n
正面（A）出现次数nA
正面（A）出现的
频率
德·
摩尔根
2048
1061
0．5180
浦丰
4040
2148
0．5069
皮尔逊
12000
6019
0．5016
24000
12012
0．5005
维尼
30000
14994
0．4998
定义2：
在相同条件下，将试验重复n次，如果随着重复试验次数n的增大，事件A的频率fn（A）越来越稳定地在某一常数p附近摆动，则称常数p为事件A的概率，即P（A）=p
不难证明频率有以下基本性质：
2°
若A1，A2，……，两两互不相容，则
3、概率的公理化定义（数学定义）
定义3：
设某试验的样本空间为Ω，对其中每个事件A定义一个实数P（A），如果它满足下列三条公理：
P（A）≥0（非负性） 2°
P（Ω）=1（规范性）
若A1，A2，……，An……两两互不相容，则（可列可加性，简称可加性）
则称P（A）为A的概率
4、几何定义
定义4：
假设Ω是Rn（n=1,2,3）中任何一个可度量的区域，从Ω中随机地选择一点，即Ω中任何一点都有同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A是Ω中任何一个可度量的子集，则
P（A）==ū（A）/ū（Ω）
2概率的性质
性质1：
若AB,则P（B-A）=P（B）-P（A）——差的概率等于概率之差
证：
因为：
AB
所以：
B=A∪（B-A）且A∩（B-A）=φ,由概率可加性
得P（B）=P[A∪（B-A）]=P（A）+P（B-A）
即P（B-A）=P（B）-P（A）
性质2：
若AB，则P（A）≤P（B）——概率的单调性
由性质1及概率的非负性得0≤P（B-A）=P（B）-P（A），即P（A）≤P（B）
性质3：
P（A）≤1 证明：
由于AΩ，由性质2及概率的规范性可得P（A）≤1
性质4：
对任意事件A，P（）=1-P（A）
证明：
在性质1中令B=Ω便有P（）=P（Ω-A）=P（Ω）-P（A）=1-P（A）
性质5：
P（φ）=0 证：
在性质4中，令A=Ω，便有P（φ）=P（）=1-P（Ω）=1-1=0
性质6（加法公式）对任意事件A，B，有P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）
由于A∪B=A∪（B-AB）且A∩（B-AB）=φ（见图）
由概率的可加性及性质1便得
P（A∪B）=P[A∪（B-AB）]=P（A）+P（B-AB）
=P（A）+P（B）-P（AB）
推广:
P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）
例6设10个产品中有3个是次品，今从中任取3个，试求取出产品中至少有一个是次品的概率。
令C={取出产品中至少有一个是次品}，则={取出产品中皆为正品}，于是由性质4得
例7，甲，乙两城市在某季节内下雨的概率分别为0.4和0.35，而同时下雨的概率为0.15，问在此季节内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率。
令A={甲城下雨}，B={乙城下雨}，按题意所要求的是
P（A∪B）=P（A）+P（B）—P（AB）=0.4+0.35-0.15=0.6
例8．设A,B,C为三个事件，已知P（A）=P（B）=P（C）=0.25,P（AB）=0,P（AC）=0,P（BC）=0.125,求A,B,C至少有一个发生的概率。
于是所求的概率为
三条件概率
1条件概率的概念及计算
在已知事件B发生条件下，事件A发生的概率称为事件A的条件概率，记为P（A/B）。
条件概率P（A/B）与无条件概率P（A）通常是不相等的。
例1：
某一工厂有职工500人，男女各一半，男女职工中非熟练工人分别为40人和10人，即该工厂职工人员结构如下：
人数
男
女
总和
非熟练工人
40
10
50
其他职工
210
240
450
250
500
现从该厂中任选一职工，令A={选出的职工为非熟练工人}，B={选出的职工为女职工}
显然，；
而
，
定义1设A、B为两事件，如果P（B）>
0，则称为在事件B发生的条件下，事件A的条件概率。
同样,如果P（A）>
0，则称为在事件A发生条件下，事件B的条件概率。
条件概率的计算通常有两种办法：
（1）由条件概率的含义计算（通常适用于古典概型），
（2）由条件概率的定义计算。
例2：
一盒子内有10只晶体管，其中4只是坏的，6只是好的，从中无放回地取二次晶管，每次取一只，当发现第一次取得的是好的晶体管时，向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少？
解：
令A={第一次取的是好的晶体管}，B={第二次取的是好的晶体管}
按条件概率的含义立即可得：
按条件概率的定义需先计算：
；
于是
例3：
某种集成电路使用到2000小时还能正常工作的概率为0.94,使用到3000小时还能正常工作的概率为0.87.有一块集成电路已工作了2000小时,向它还能再工作1000小时的概率为多大?
解：
令A={集成电路能正常工作到2000小时}，B={集成电路能正常工作到3000小时}
已知:
：
P（A）=0.94,P（B）=0.87且，既有AB=B于是P（AB）=P（B）=0.87
按题意所要求的概率为：
2关于条件概率的三个重要公式
1.乘法公式
定理1:
例4:
已知某产品的不合格品率为4%,而合格品中有75%的一级品,今从这批产品中任取一件,求取得的为一级的概率.
解:
令A={任取一件产品为一级品},B={任取一件产品为合格品}，显然，即有AB=A故P（AB）=P（A）。
于是,所要求的概率便为
例5:
为了防止意外,在矿内安装两个报警系统a和b,每个报警系统单独使用时,系统a有效的概率为0.92,系统b的有效概率为0.93,而在系统a失灵情况下,系统b有效的概率为0.85，试求：
（1）当发生意外时,两个报警系统至少有一个有效的概率；
（2）在系统b失灵情况下,系统a有效的概率.
令A={系统a有效}B={系统b有效}
已知,,
对问题
（1）,所要求的概率为
，其中（见图）
==
对问题
（2）,所要求的概率为：
=
如果
证:
由于
所以上面等式右边的诸条件概率均存在,且由乘法公式可得
=
……（依此类推）=
例6：
10个考签中有4个难签,三个人参加抽签（无放回）甲先,乙次,丙最后,试问
（1）
甲、乙、丙均抽得难签的概率为多少?
（2）
甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少?
令A,B,C分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件，
对问题
（1）,所求的概率为：
对问题
（2）,甲抽得难签的概率为：
乙抽得难签的概率为
丙抽得难签的概率为
其中
于是
2.全概率公式
完备事件组:
如果一组事件在每次试验中必发生且仅发生一个,
即则称此事件组为该试验的一个完备事件组
例如，在掷一颗骰子的试验中，以下事件组均为完备事件组：
①{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}；
②{1，2，3}，{4，5}，{6}；
③Ａ，（A为试验中任意一事件）
定理2：
设为一完备事件组，且，则对于任意事件A有
由于且对于任意
，于是由概率的可加性及乘法公式便得：
例7，某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下：
根据以往资料可知，中国胜美国的概率为0.4，中国胜日本的概率为0.9，而日本胜美国的概率为0.5，求中国得冠军的概率。
令H={日本胜美国},={美国胜日本},A={中国得冠军}
由全概率公式便得所求的概率为
例8，盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时，从盒中任取3个使用，用后放会盒中，第二次比赛时，再取3个使用，求第二次取出都是新球的概率
令H={第一次比赛时取出的3个球中有i个新球}i=0，1，2，3，A={第二次比赛取出的3个球均为新球}
于是,,,
而,,,
由全概率公式便可得所求的概率
=0.146
3贝叶斯公式
定理3：
设H,H,…….H为一完备事件组，且又设A为任意事件，且P（A）>
0，则有
由乘法公式和全概率公式即可得到
先验概率
例9：
某种诊断癌症的实验有如下效果：
患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95，不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为0.95，并假定就诊者中有0.005的人患有癌症。
已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？
令H={做实验的人为癌症患者}，={做实验的人不为癌症患者}，A={实验结果反应为阳性}，{实验结果反应为阴性}，由贝叶斯公式可求得所要求的概率：
例10：
两信息分别编码为X和Y传送出去，接收站接收时，X被误收作为Y的概率0.02,而Y被误作为X的概率为0.01.信息X与Y传送的频繁程度之比为2:
1,若接收站收到的信息为X，问原发信息也是X的概率为多少?
设H={原发信息为X}
由题意可知
由贝叶斯公式便可求得所要求的概率为
例11：
设有一箱产品是由三家工厂生产的，已知其中的产品是由甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各占，已知甲，乙两厂的次品率为2%，丙厂的次品率为4%，现从箱中任取一产品
（1）
求所取得产品是甲厂生产的次品的概率；
求所取得产品是次品的概率；
已知所取得产品是次品，问他是由甲厂生产的概率是多少？
令分别表示所取得的产品是属于甲、乙、丙厂的事件，A={所取得的产品为次品}
显然，，，
对问题
（1），由乘法公式可得所要求的概率：
对问题
（2），由全概率公式可得所要求的概率
对问题（3），由贝叶斯公式可得所要求的概率
四独立性
1事件的独立性
如果事件B的发生不影响事件A的概率，即则称事件A对事件B独立。
如果事件A的发生不影响事件B的概率，即，则称事件B对事件A独立。
不难证明，当时，上述两个式子是等价的。
事实上，如果，则有
反之，如果，则有
即
同样可证
总之，可见事件独立性是相互的。
定义1设A，B为两个事件，如果，则称事件A与事件B相互独立。
例1,袋中有3个白球2个黑球，现从袋中
（1）有放回；
（2）无放回的取两次球，每次取一球，令
A={第一次取出的是白球}B={第二次取出的是白球}问A，B是否独立？
（1）有放回取球情况，则有
2*3
可见，，可见A，B独立。
（2）无放回取球情况，则有
可见，，故A，B不独立。
（实际上就是抓阄模型）
例2,设有两元件，按串联和并联方式构成两个系统Ⅰ，Ⅱ（见图）每个元件的可靠性（即元件正常工作的概率）为r（0<
r<
1）.假定两元件工作彼此独立,求两系统的可靠性.
令A={元件a正常工作},B={元件b正常工作},且A,B独立。
C1={系统I正常工作},C2={系统II正常工作}
于是系统I的可靠性为
系统II的可靠性为
显然，系统Ⅱ可靠性大于系统Ⅰ的可靠性。
定义：
设A，B，C为三个事件，如果P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），
P（BC）=P（B）P（C），P（ABC）=P（A）P（B）P（C）则称A，B，C为相互独立的。
设A1，A2，……An为n个事件，如果对任意正整数及上述事件中的任意P则称这n个事件A1，A2……，An是相互独立的。
下面几个结论是常用的：
其它三个必成立。
设A，B成立，即，
于是有
故独立。
利用这个结果便可证明其它结论，即
（2）如果相互独立，则
（3）如果相互独立，则
证：
例3：
三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为 求密码能被译出的概率
解：
令 Ai＝｛第个人能译出密码｝，I=1,2,3；
A={密码能被译出}，所要求的概率为
例4：
设每支步枪击中飞机的概率为
，
（1）现有250支步枪同时射击，求飞机被击中的概率;
（2）若要以概率击中飞机，问需多少支步枪同时射击？
令Ai=｛第i支步枪击中飞机｝ 1,2,……,n；
A={飞机被击中}
对问题
（1），n=250,所要求的概率为
对问题
（2），n为所需的步数，按题意,
即,即 于是得
2独立重复试验
独立重复试验在相同条件下，将某试验重复进行n次，且每次试验中任何一事件的概率不受其它次试验结果的影响，此种试验称为n次独立重复试验。
称此试验为贝努里试验
n重贝努里试验将贝努里试验独立重得n次所构成n次独立重得试验称为n重贝努里试验。
例如，
（1）将一骰子掷10次观察出现6点的次数——10重贝努里试验
（2）在装有8个正品，2个次品的箱子中，有放回地取5次产品，每次取一个，观察取得次品的次数
——5重贝努里试验
（3）向目标独立地射击n次，每次击中目标的概率为P，观察击中目标的次数—n重贝努里试验等等
一个重要
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