中国矿业大学运筹学复习题及答案Word文件下载.docx
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有利
单位材料的影子价格是1元,10元钱购进15单位的材料的单位价格为2/3元,低于影子价格。
同时,在保持最优基不变的情况下
购进15吨的原材料,最优基不变。
该材料的影子价格仍为1元。
(5)当可利用的资源增加到60单位时,求最优解。
-15
12
【-1】
6/5
-2
最优解为X*=(x1,x2,x3,x4,x5)T=(0,0,9,0,15)T,最优目标值z*=45
(6)当产品B的原材料消耗减少为2个单位时,是否影响当前的最优解,为什么?
x2在最有表是非基变量,该产品的原材料消耗只影响x2的检验数。
(7)增加约束条件2x1+x2+3x3≤20,对原最优解有何影响,对对偶解有何影响?
增加的约束条件,相当于增加了一个约束方程
cj
2
x1
x6
20
1
0
-1
3/5
4/5
-7/5
-3/5
-3
对原问题的最优解无影响,对对偶问题的最优解也无影响。
二、考虑下列线性规划
MaxZ=2X1+3X2
2X1+2X2+X3=12
X1+2X2+X4=8
4X1+X5=16
4X2+X6=12
Xj≥0(j=1,2,…6)
其最优单纯形表如下:
基变量
X1
X2
X3
X4
X5
X6
-1/4
1/4
1/2
-1/8
σj
-3/2
1)当C2=5时,求新的最优解
2)当b3=4时,求新的最优解
3)当增加一个约束条件2X1+X2≤12,问最优解是否发生变化,如果发生变化求新解?
解当C2=5时
σ4=-5/2
σ5=1/8>0所以最优解发生变化
-5/2
1/8
-2
-1/2
8
-4
最优解为X1=2,X2=3,Z=19
2)当b3=4时
5/2
9/2
3/2
7/4
-3/4
此时最优解为X1=1,X2=7/4,Z=29/4
3)增加一个约束条件
X7
-1/2
-3/8
由于X7=2大于0,所以最优解不变
三、用对偶单纯形法求下面问题
解:
Cj
min{(zj-cj)/ai*j}
ai*j<
80
(2)
{4,3*}
75
OBJ=
zj
zj-cj
4
40
1/2
35
(5/2)
{2/5*,6}
240
33
14
2/5
254
14/5
答:
最优解为x1=14,x2=33,目标函数值为254。
四、A、B两个煤矿负责供应甲、乙、丙三个城市煤炭。
已知A、B两矿年产量、三个城市的需求量以及从两煤矿至各城市煤炭运价如下表。
由于供不应求,经协商,甲城市必要时可少供应0-30万吨,乙城市需求须全部满足,丙城市需求不少于270万吨。
试求:
将甲、乙两矿煤炭全部分配出去,满足上述条件又使总运费最低的调运方案。
产销
甲
乙
丙
产量
A
B
21
18
25
22
16
400
450
销量(T)
320
250
350
(1)依题意得产销平衡表如下:
甲’
甲’’
丙’
丙’’
C
M
70
290
270
80
(2)做初始的调运方案(伏格尔法)
150
140
10
(3)用位势法进行检验
U
-6
-16
M-5
-5
M-8
V
24
(4)做闭回路调整
调整后为:
(5)进行进一步检验
(6)调整后的方案为最优方案
最低费用=150×
15+250×
18+140×
21+270×
16+40×
16+30×
0+40×
0=14650
五、分配甲、乙、丙、丁四人去完成5项任务。
每人完成各项任务时间如下表所示。
由于任务数多于人数,故规定其中有一人可兼完成两项任务,其余三人每人完成一项,试确定总花费时间最少的指派方案。
D
E
29
31
42
37
39
38
26
34
27
28
32
丁
36
23
假设增加一个人戊完成各项工作的时间取A、B、C、D、E最小值。
得效率矩阵为:
各行减最小值,各列减最小值:
得
变换得
进一步
最有指派方案
甲——B,乙——C,D,丙——E,丁——A
最低费用=29+26+20+32+24=131
六、某厂拟建两种不同类型的冶炼炉。
甲种炉每台投资为2个单位,乙种炉每台投资为1个单位,总投资不能超过10个单位;
又该厂被许可用电量为2个单位,乙种炉被许可用电量为2个单位,但甲种炉利用余热发电,不仅可以满足本身需要,而且可供出电量1个单位。
已知甲种炉每台收益为6个单位,乙种炉每台收益为4个单位。
试问:
应建甲、乙两种炉各多少台,使之收益最大?
该问题也可如下表表示。
(要求用割平面法求解该整数规划问题)
甲种炉(x1)
乙种炉(x2)
限量
每台投资/单位
用电量/单位
收益/单位
设x1,x2为甲乙种炉应建台数,则
用单纯形法求最优解,见下表。
--
-z
7
14/5
-30
18/5
2/5
-1/5
-16/5
-2/5
最优解为
确定割平面方程:
从而,构造割平面,并且标准化,加入最优表中,用对偶单纯形法求最优解,见下表。
-4/5
-32
。
此解为整数解,故计算停止。
七、某公司打算将3千万元资金用于改造扩建所属的3个工厂,每个工厂的利润增长额与所分配的投资有关。
各工厂在获得不同的投资额时所能增加的利润如下表所示,问应如何分配资金,使公司总的利润为最大。
利润投资
工厂
1千万
2千万
3千万
K为阶段变量,k=1,2,3
Sk:
第k阶段所剩的资金数
Xk:
第k阶段分配给第k个工厂的资金数
gk(xk):
将xk分配给第k个工厂的效益
状态转移方程:
Sk+1=Sk-xk
递推关系:
第三阶段,k=3
X3=s3
s3
g3(x3)
f3(s3)
x*3
第二阶段:
s3=s2-x2,0s23,0x2s2
s2
f2(s2)
x*2
0+0
0+2
3+0
0+6
3+2
5+0
0+9
3+6
5+2
+0
0,1
第三阶段
S1=3
S2=s1-x1,0x1s1
s1
f1(s1)
x*1
+6
4+3
10+0
最优分配方案为,x1*=3,x2*=0,x3*=0
最佳获益值:
10千万。
八、甲乙乒乓球队进行团体对抗赛,每对由三名球员组成,双方都可排成三种不同的阵容,每一种阵容可以看成一种策略,双方各选一种策略参赛。
比赛共赛三局,规定每局胜者得1分,输者得-1分,可知三赛三胜得3分,三赛二胜得1分,三赛一胜得-1分,三赛三负得-3分。
甲队的策略集为S1={α1,α2,α3},乙队的策略集为S1={β1,β2,β3},根据以往比赛得分资料,可得甲队的赢得矩阵为A,如下:
试问这次比赛各队应采用哪种阵容上场最为稳妥。
甲队的α1,α2,α3三种策略可能带来的最少赢得,即矩阵A中每行的最小元素分别为:
1,-3,-1,
在这些最少赢得中最好的结果是1,即甲队应采取策略α1,无论对手采用什么策略,甲队至少得1分。
而对乙队来说,策略β1,β2,β3可能带来的最少赢得,即矩阵A中每列的最大因素(因为两人零和策甲队得分越多,就使得乙队得分越少),分别为:
3,1,3,
其中乙队最好的结果为甲队得1分,这时乙队采取β2策略,不管甲队采用什么策略甲队的得分不会超过1分(即乙队的失分不会超过1)。
这样可知甲队应采用α1策略,乙队应采取β2策略。
把这种最优策略α1和β2分别称为局中人甲队、乙队的最优纯策略。
这种最优纯策略只有当赢得矩阵A=(aij)中等式
maxminaij=minmaxaij
ijji
成立时,局中人才有最优纯策略,并把(α1,β2)称为对策G在纯策略下的解,又称(α1,β2)为对策G的鞍点。
九、矩阵对策的混合策略
首先设甲使用α1的概率为X1’,使用α2的概率为X2’,并设在最坏的情况下(即乙出对其最有利的策略情况下),甲的赢得的平均值等于V。
这样我们建立以下的数学关系:
1.甲使用α1的概率X1’和使用α2的概率X2’的和为1,并知概率值具有非负性,即X1’+X2’=1,且有X1’≧0,X2’≧0.
2.当乙使用β1策略时,甲的平均赢得为:
5X1’+8X2’,此平均赢得应大于等于V,即5X1’+8X2’≧V
3.当乙使用β2策略时,甲的平均赢得为:
9X1’+6X2’,此平均赢得应大于等于V,即9X1’+6X2’≧V
第二步,我们来考虑V的值,V的值与赢得矩阵A的各因素的值是有关的,如果A的各元素的值都大于零,即不管甲采用什么策略,乙采用什么策略,甲的赢得都是正的。
这时的V值即在乙出对其最有利的策略时甲的平均赢得也显然是正的。
因为A的所有元素都取正值,所以可知V﹥0.
第三步,作变量替换,令Xi=
(i=1,2)
考虑到V﹥0,这样把以上5个数量关系式变为:
X1+X2=
,X1≧0,X2≧0,
5X1+8X2≧1
9X1+6X2≧1
对甲来说,他希望V值越大越好,也就是希望
的值越小越好,最后,我们就建立起求甲的最优混合策略的线性规划的模型如下:
minX1+X2
约束条件:
5X1+8X2≧1
X1≧0,X2≧0
同样求出乙最优混合策略,设y1’,y2’分别为乙出策略β1,β2的概率,V为甲出对其最有利的策略的情况下,乙的损失的平均值。
同样我们可以得到:
y1’+y2’=1,
5y1+9y2≦V
8y1+6y2≦V
y1’≧0,y2’≧0.
同样作变量替换,令yi=
得关系式:
y1+y2=
5y1+9y2≦1
8y1+6y2≦1
y1≧0,y2≧0.
乙希望损失越少越好,即V越小越好而
越大越好,这样我们也建立了求乙的最优混合策略的线性规划的模型如下:
maxy1+y2
5y1+9y2≦1
十、绘制工程图,计算各工作的最早开始时间和最早完工时间,并给出关键路线。
工序
内容
工时(天)
紧前工序
F
G
初步研究
研究选点
准备调研方案
联系调研点
培训工作人员
实地调研
写调研报告并汇总
/
A
B、C
D、E
F
(1)工程图如下:
(2)各工序时间如下图,
工程
ES
EF
13
G
17
(3)关键路线是A---C---E---F---G