小初高学习XX届高考数学第一轮两角和与差二倍角的公式复习上课学习上课学习教案Word文件下载.docx
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c.α=，β=
D.α=，β=
解析：
由已知得cos（α+β）=，代入检验得A.
答案：
A
2.已知tanα和tan（－α）是方程ax2+bx+c=0的两个根，则a、b、c的关系是
A.b=a+c
B.2b=a+c
c.c=b+a
D.c=ab
∴tan==1.
∴－=1－.∴－b=a－c.∴c=a+b.
c
3.f（x）=的值域为
A.（－－1，－1）∪（－1，－1）
B.［，－1）∪（－1，］
c.（，）
D.［，］
令t=sinx+cosx=sin（x+）∈［－，－1）∪（－1，］，
则f（x）==∈［，－1）∪（－1，］.
B
4.已知cosα－cosβ=，sinα－sinβ=，则cos（α－β）=_______.
（cosα－cosβ）2=，（sinα－sinβ）2=.
两式相加，得2－2cos（α－β）=.∴cos（α－β）=.
●典例剖析
【例1】求证：
－2cos（α+β）=.
剖析：
先转换命题，只需证sin（2α+β）－2cos（α+β）&
#8226;
sinα=sinβ，再利用角的关系：
2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β可证得结论.
证明：
sin（2α+β）－2cos（α+β）sinα
=sin［（α+β）+α］－2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα－2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=sin［（α+β）－α］=sinβ.
两边同除以sinα得
－2cos（α+β）=.
评述：
证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.
【例2】P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，求证：
椭圆的离心率为e=2cosα－1.
依据椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，∴e=.
在△PF1F2中解此三角即可得证.
在△PF1F2中，由正弦定理知
==.
由比例的性质得=
e===
=
==2cosα－1.
恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.
深化拓展
求cot10°
－4cos10°
的值.
分析：
给出非特殊角，怎样化为特殊角或非特殊角，互相抵消、约分求出值.
提示：
cot10°
=－4cos10°
=
==
===.
.
●闯关训练
夯实基础
.（XX年高考新课程卷）已知x∈（－，0），cosx=，则tan2x等于
A.
B.－
c.
D.－
∵cosx=，x∈（－，0），∴sinx=－.∴tanx=－.
∴tan2x===－×
=－.
D
2.（XX年春季北京）已知sin（θ+π）＜0，cos（θ－π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是
A.tan＜cot
B.tan＞cot
c.sin＜cos
D.sin＞cos
由已知得sinθ＞0，cosθ＜0，则tan－cot=－=－＞0.
∴tan＞cot.
3.下列四个命题中的假命题是
A.存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
B.不存在无穷多个α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
c.对于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ
D.不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ－sinαsinβ
由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ－sinαsinβ，得
sinαsinβ=0.∴α=kπ或β=kπ（k∈Z）.
4.函数y=5sinx+cos2x的最大值是_______.
y=5sinx+cos2x=5sinx+1－2sin2x=－2（sinx－）2+.
∴sinx=1时，ymax=4.
4
5.求周长为定值L（L＞0）的直角三角形的面积的最大值.
解法一：
a+b+=L≥2+.∴≤.
∴S=ab≤（）2=&
［］2=L2.
解法二：
设a=csinθ，b=ccosθ.
∵a+b+c=L，
∴c（1+sinθ+cosθ）=L.∴c=.
∴S=c2sinθcosθ=
.
设sinθ+cosθ=t∈（1，］，
则S=&
=&
=（1－）≤（1－）=L2.
6.（XX年湖南，17）已知sin（+2α）&
sin（－2α）=，α∈（，），求2sin2α+tanα－cotα－1的值.
解：
由sin（+2α）&
sin（－2α）=sin（+2α）&
cos（+2α）=sin（+4α）=cos4α=，得cos4α=.
又α∈（，），所以α=.
于是2sin2α+tanα－cotα－1=－cos2α+=－cos2α+
=－（cos2α+2cot2α）=－（cos+2cot）
=－（－－2）=
培养能力
7.求证：
=.
左边===，
右边==，
∵左边=右边，∴原式成立.
8.（XX年春季北京，15）在△ABc中，sinA+cosA=，Ac=2，AB=3，求tanA的值和△ABc的面积.
本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.
∵sinA+cosA=cos（A－45°
）=，∴cos（A－45°
）=.
又0°
＜A＜180°
，∴A－45°
=60°
，A=105°
∴tanA=tan（45°
+60°
）==－2－.
∴sinA=sin105°
=sin（45°
）
=sin45°
cos60°
+cos45°
sin60°
∴S△ABc=Ac&
ABsinA
=&
2&
3&
=（+）.
∵sinA+cosA=，
①
∴（sinA+cosA）2=.∴2sinAcosA=－.
∵0°
，∴sinA＞0，cosA＜0.∴90°
∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA=，
∴sinA－cosA=.
②
①+②得sinA=.
①－②得cosA=.
∴tanA==&
=－2－.
（以下同解法一）
探究创新
9.锐角x、y满足sinycscx=cos（x+y）且x+y≠，求tany的最大值.
∵sinycscx=cos（x+y），∴sinycscx=cosxcosy－sinxsiny，
siny（sinx+cscx）=cosxcosy.
∴tany====≤=，
当且仅当tanx=时取等号.
∴tany的最大值为.
●思悟小结
.证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.
2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等.
3.三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值，这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成y=Asin（ωx+）（A≠0，ω＞0）的形式，或者通过换元转化成二次函数，然后再求之.
●教师下载中心
教学点睛
.三角恒等式的证明实际上就是三角函数式的化简过程.
2.有条件的三角函数求值有两个关键：
①三角函数各关系式及常用公式的熟练应用.②条件的合理应用：
注意条件的整体功能，注意将条件适当简化、整理或重新改造组合，使其与所计算的式子更加吻合.
3.注意方程思想的应用.
拓展题例
【例1】试证：
左边=
====cot，
右边==
==cot，∴原等式成立.
【例2】已知α、β∈（0，），3sinβ=sin（2α+β），4tan=1－tan2.求α+β的值.
∵4tan=1－tan2，∴2&
tanα=1，tanα=.
∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.
∴3sin（α+β）cosα－3cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα.
∴tan（α+β）=2tanα=1.∴α+β=.
角的变换是常用技巧.如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α等.
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