自动控制原理(胥布工)第二版6-7-8章习题及详解文档格式.doc
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习题6-5图解
6-6给定反馈系统的开环传递函数如下，
（a）；
（b）；
（c）；
（d）；
（e）。
（1）试分别绘出其开环频率特性的奈奎斯特草图，并与借助Matlab绘制的精确奈奎斯特曲线进行比较。
（2）试根据草图判断各系统的稳定性。
（1）精确曲线如习题6-6图解所示。
习题6-6图解
（2）（a）临界稳定（闭环系统有一对共轭虚根），其余系统稳定。
6-7给定反馈系统的开环传递函数如下，
（b）；
（c）；
（d）；
（1）试绘出各系统的开环对数幅频渐近特性，并根据所得的渐近特性估算截止频率和相位裕度。
（2）试借助Matlab绘制各系统的开环对数幅频精确特性，并确定各系统的截止频率和相位裕度。
（3）试比较
（1）、
（2）所得结果的差别，并解释出现差别的原因。
（1）（a）,；
（b）,；
（c）,；
（d）,；
（a）（b）
（c）（d）
习题6-7图解
（2）（a）,；
（d）,；
（3）因渐近特性仅为精确曲线的近似，需要修正。
6-8测量某最小相位系统的开环对数幅频特性，并对其作渐近特性近似，所得结果如图6-94所示，试写出其开环传递函数。
图6-94习题6-8图
。
6-9已知最小相位系统开环对数幅频渐近特性曲线如图6-95所示，试求其各自对应的传递函数。
（a）（b）
（c）（d）
图6-95习题6-9图
（c），其中参数待定；
（d）。
6-10试证明图6-95（c）对应反馈系统的静态误差系数为，并求其值。
6-11设单位反馈系统的开环传递函数如下，其中各待定参数均大于零，
试分别采用奈奎斯特判据、劳斯判据和根轨迹方法确定使系统稳定的参数取值范围。
（1）奈奎斯特判据
见习题6-11图解（a），时稳定，时不稳定，时临界稳定（虚轴上存在一对闭环共轭极点）。
（2）劳斯判据
结论同
（1）。
（3）根轨迹法
见习题6-11图解（b），结论同
（1）。
（a）奈亏斯特曲线（b）根轨迹
习题6-11图解
6-12设系统开环幅相频率特性如图6-96（a）~（j）所示，其中，其开环传递函数在右半平面的极点数为，系统型别为，试根据奈氏判据判定各系统的闭环稳定性，若系统闭环不稳定，确定其右半平面的闭环极点数。
（a），；
（b），；
（c），；
（d），；
（e），；
（f），；
（g），；
（h），；
（i），；
（j），。
（a）（b）（c）（d）（e）
（f）（g）（h）（i）（j）
图6-96习题6-12图
（a）不稳定，2；
（b）稳定；
（c）不稳定，2；
（d）稳定；
（e）不稳定，2；
（f）稳定；
（g）稳定；
（h）稳定；
（i）不稳定，1；
（j）稳定。
6-13给定反馈系统开环传递函数如下
（1）设分别取值1、0.4、0.1；
试借助Matlab分别绘制各取值情况下对应的开环对数幅频特性曲线，并确定系统的截止频率和相位裕度。
（2）截止频率附近的谐振环节会对闭环系统产生不良影响。
试结合
（1）的结果谈谈你对该说法的理解。
（1）时，,；
时，,（前后三次穿越零分贝线，以相位较小处频率为截止频率）；
时，,。
（2）截止频率附近的谐振环节会大幅降低系统相位裕度，影响平稳性。
6-14给定单位反馈系统的开环传递函数分别为
（1）；
（2）
试根据奈奎斯特曲线判断闭环系统在右半平面是否有极点。
（提示：
调整包围右半平面的封闭曲线）
两系统在右半平面均无极点。
对于系统1），当时，其开环系统的奈奎斯特曲线穿过点，表明为其闭环极点。
故应使包围右半s平面的封闭曲线逆时针绕过原点。
该封闭曲线与正实轴的交点处坐标为，其中为无穷小正数。
又，故封闭曲线调整后的奈奎斯特曲线顺时针包围点一圈，而开环系统在右半s平面有一个极点，故闭环系统在右半s平面无极点。
对于系统
（2），当时，其开环系统的奈奎斯特曲线穿过点，表明为其闭环极点。
故应使包围右半s平面的封闭曲线逆时针绕过原点和这两个闭环极点。
分析方法同系统
（1），易知闭环系统在右半s平面无极点。
6-15试讨论去掉6.4.3节例6-3系统开环传递函数
中的带有零点的环节，对闭环系统幅值裕度和相位裕度有何影响。
虚、实线分别对应于去掉零点前、后对数幅频渐近特性和相频特性。
去掉该环节前后，对数幅频特性分别以和的斜率穿过零分贝线，故前者相位裕度必然远大于后者。
根据相频特性也可得到同样的结论：
去掉零点后相频特性迅速下降，稳定裕度大大降低。
根据对数幅频渐近特性可求得，去掉该环节前后，截止频率分别为和，进而得和。
题图6-15题6-15系统的伯德图渐近线
6-16设单位反馈系统的开环传递函数为
试确定：
（1）使闭环系统稳定的值取值范围。
（2）使相位裕度的值取值范围，并求出闭环系统在单位阶跃输入下的稳态误差。
（3）去掉延迟环节重复上述计算。
其草图如习题6-16图解所示，其中，。
简单试探可知，时，；
时，；
分别代上述值入，可求得最大取值。
（1）使闭环系统稳定的值取值范围约为。
（2）使相位裕度的值取值范围约为。
（3）去掉滞后环节，则无论取何值，，故即可。
三种情况下，稳态误差均为。
习题6-16图解奈奎斯特曲线
6-17系统的开环传递函数为
要求：
（1）绘制系统当时的开环对数频率特性草图，并估算系统的相位裕度。
（2）根据系统的相位裕度和截止频率估算系统的时域性能指标。
（3）设增大为10，重复上述计算。
增大前、后相频特性不变，幅频特性上升20分贝，分别如习题6-17图解（a）虚、实线所示。
增大前、后截止频率分别为和；
相位裕度分别为：
和（按精确曲线所得分别为，和，）。
增大前性能指标：
因为时，对数幅频特性几乎以斜率穿过零分贝线，且第二个转折频率相对远离，因此可以将其近似为典型二阶系统处理，根据图6-59和图6-60，易知其阶跃响应最大超调量约为，调节时间约为（按精确曲线所得分别为和；
实际仿真结果为，）。
增大为10后系统不稳定，因此无法讨论快速性和平稳性。
（a）对数频率特性
（b）单位阶跃响应
习题6-17图解
6-18图6-97给出了（a）和（b）两组单位反馈系统的开环对数幅频特性。
设各开环系统均为最小相位系统，
（1）试定性比较各组内系统之间的性能。
（2）试求出各系统的传递函数，并借助Matlab仿真判断
（1）中定性分析的结果是否正确。
（a）
（b）
图6-97习题6-18图
（1）
l图6-97（a）：
n平稳性：
三系统的对数幅频特性均以斜率穿过零分贝线，且截止频率两端均具一定宽度，因此三系统的平稳性均比较良好；
第二个系统中频段宽度相对较窄，故可预计其单位阶跃响应的最大超调量是三个系统中最大的，而另外两系统应具有相同的最大超调量。
n快速性：
第三个系统截止频率最高，故响应最快速；
其余两系统的快速性差别不大。
n准确性：
三系统的低频段斜率亦均为，均为I型系统，稳态精度高。
而第三个系统低频段增益显著高于前两个系统，故其稳态精度最高。
l图6-97（b）：
根据对数幅频特性穿过零分贝线的斜率可知第一个系统的平稳性显著优于其余两系统。
其余两系统平稳性差别不大。
第三个系统截止频率最高，且可推出其放大系数最大，故其响应最快；
第二个系统响应最慢。
三个系统均为II型系统，稳态精度高。
而第三个系统低频段增益显著高于前两个系统，故其稳态精度最高，第二个系统稳态精度最低。
（2）
，，
l图6-97（b）：
，，。
6-19某控制系统的结构如图6-98所示，其中
，
试按和估算系统的时域指标和。
图6-98习题6-19图
截止频率，相位裕度（按渐近特性估算为，）。
按典型二阶系统近似，根据图6-59和图6-60，系统单位阶跃响应最大超调量；
调节时间。
因按开环传递函数按典型二阶系统处理，忽略了零点和一小惯性极点的影响，故超调量和调节时间估计值与实际值会有一定的偏差（仿真结果：
；
调节时间）。
习题6-19图解对数频率特性
6-20某高阶控制系统，若要求，，试由近似公式确定频域指标和。
由式（6-41）和（6-42），；
6-21已知单位反馈系统的开环传递函数为，要求：
（1）试求其开环频率特性的和。
（2）试借助MATLAB绘制该系统的尼科尔斯图，求其闭环频率特性的和。
（3）分别用上述两组特征量估算系统的时域指标和。
（截止频率，相位裕度）
（作尼科尔斯图，可读出开环频率特性与尼科尔斯图线的等9dB线相切，故；
与-3dB线交点处频率约为）
（根据式（6-69）～式（6-72），系统单位阶跃响应最大超调量，调节时间分别约为5.8s和5.6s。
）
习题6-21图解尼科尔斯图
6-22设单位反馈系统的开环传递函数为
（1）试手工绘制其开环对数频率渐近特性，并根据其渐近特性判断闭环系统的稳定性。
（2）试用MATLAB绘制其精确的对数频率特性，并判断闭环系统的稳定性。
（3）试根据
（1）和
（2）的结果讨论谐振环节对闭环系统稳定性的影响。
渐近和精确曲线如习题6-22图解所示，其中折线段组合为渐近特性。
按渐近特性，开环频率特性无正负穿越，故闭环系统稳定。
但精确特性表明，开环频率特性在附近出现一次负穿越，故闭环系统不稳定，有两个极点落于右半s平面。
习题6-22图解对数频率特性
6-23已知一双回路控制系统结构如图6-99所示，试借助MATLAB软件，采用奈奎斯特判据确定使系统稳定的值取值范围。
图6-99习题6-23图
（a）内环路奈奎斯特曲线（b）系统奈奎斯特曲线
（c）系统奈奎斯特曲线局部放大图
习题6-23图解各环路开环奈奎斯特曲线
内环传递函数：
故为保证系统稳定，值取值范围为。
6-24试推导最大峰值指标与稳定裕度指标的关系，若，问该系统具有多大的幅稳定裕度，其相稳定裕度是多少度？
由6.6.1节图6-54可知是一个负实数，故有为正实数。
由闭环传递函数得
注意到，进一步得
由于，得
又因，故有
利用图6-74所示的关系，由上式易得
归纳结果：
最大峰值指标与稳定裕度指标的关系为
证毕。
若，则系统的幅和相稳定裕度分别为,。
6-25性能权函数也可选如下形式
试确定其倒数的伯德幅频特性曲线，与性能权函数式（6-100）比较指出两者对性能要求的区别在何处。
解题中的性能权函数要求灵敏度函数的伯德幅频特性在中频段比式（6-100）要求的斜率更大，在最大峰值发生的位置变化不大的前提下，这意味着扩大了控制作用的带宽，因此，该性能权函数的要求比式（6-100）更侧重克服外部扰动输入的影响。
6-26考虑图6-80所示的闭环控制系统。
若不确定性对象为
即标称对象上附加了一个不确定性零点环节，其中，为标称对象，为已知的常数上界，是满足的未知不确定常参数，即只知取值范围的常数。
试求不确定性对象模型的权函数。
由题意可得
因上式对于任何频率和任意成立，故可取权函数为。
6-27考虑图6-80所示的闭环控制系统，设，选定的性能权函数为，并设计了控制器使得闭环控制系统满足鲁棒性能要求（6-115），即等价地满足条件（6-116）。
现已知在频率处，有，而在复平面上的坐标点为。
（1）在频率处，对象不确定性部分的允许上界是多少？
（2）在频率处，对象不确定性相对变化的允许百分比上界是多少？
（3）在只需保证稳定性的前提下，
（1）和
（2）中的结果又是多少？
解注意到条件（6-116）依赖于频率，在频率处，已知，由在复平面上的坐标点为知，此时位于第三象限，其与点的距离为：
由于，由图6-81可知，
即的允许上界是0.7。
又因
即的允许百分比上界是70%。
在保证鲁棒稳定性的前提下，条件化为的允许上界是1，的允许百分比上界是100%。
第7章习题及详解
7-1考虑图7-49所示角度随动系统组成示意图，试回答：
（1）哪些元件属于系统的固有部分，哪些元件构成系统的校正装置？
（2）该系统的校正装置属于串联校正还是局部反馈校正？
（3）试从校正环节增益随频率变化的角度简单分析校正装置的作用？
在过渡过程的初期，高频信号分量占比较大，而在过渡过程后期，低频信号分量占比较大）
图7-49习题7-1图
（1）功率放大器、减速器、角度传感器属于系统的固有部分。
滤波电路若根据对象应用场合信号特点选定不变，则滤波电路亦属固有部分。
两级放大器，尤其是后一级构成串联PD校正。
（2）串联PD校正。
（3）由于电容的高频阻抗小而低频阻抗大，因此，在过渡过程初始阶段，信号中高频成分居多，此时阻容电路电容的作用明显，第二个运算放大器环节可以获得很高的增益，从而为电机提供更大的电枢电压，有利于加快系统的响应。
而在过渡过程的中后期，信号中高频成分减少，阻容电路阻性突出，此时第二个运算放大器环节的放大倍数下降，加于电机上的电枢电压逐渐下降为稳态值，有利于抑制甚至消除电机的“过冲”现象，提高系统过渡过程的平稳性。
7-2图7-50描述的是一种常见的锅炉汽包水位控制系统，其中，液位变送器LT测量汽包液位，流量变送器FT测量蒸汽流量。
系统根据蒸汽流量和进水流量的差值相应调整进水阀门的开度，其中，和为信号进入加法器前所乘的系数。
试回答：
（1）解释该系统的工作原理。
（2）判断系统属于按扰动的复合校正，还是按给定的复合校正。
图7-50习题7-2图
（1）该系统目的是稳定锅炉汽包水位，负载蒸汽流量波动会引起汽包液位的变化。
LT测量汽包液位，流量计FT测量蒸汽流量。
如习题7-2图解所示，为克服负载蒸汽变化对汽包液位的扰动，按一定比例叠加到控制器的输出上。
若控制合理，蒸汽流量变化形成的扰动在引起锅炉汽包液位变化之前，系统就能通过前馈通道调整阀门开度，降低甚至消除扰动对液位的影响。
（2）属于按扰动的复合校正。
习题7-2图解按扰动补偿的复合校正
7-3考虑图7-51（a）所示的角度随动控制系统原理图，其中采用了由测速发电机及超前阻容网络实现局部反馈校正，校正前后系统主回路及局部反馈回路开环对数幅频特性分别如图7-51（b）中的、和所示。
试根据图7-51（b）解释该系统中的局部反馈校正如何提高电机角度随动系统的平稳性。
图7-51习题7-3图
系统平稳性决定于中频段穿过零分贝线的斜率。
由图7-51（b）易知，该系统中频段增益过大，穿过零分贝线的斜率下降过快。
局部反馈通道的频率特性在该频段大于0，意味着负反馈后能降低系统开环频率特性在该频段的幅值，且是其零分贝线的斜率上升为，有助于提高系统的平稳性。
7-4图7-52所示的电路能提供超前的相角，它是否能单独作为串联超前校正装置？
试说明理由。
图7-52习题7-4图
因其低频段斜率为，极大地降低闭环系统稳态精度，故不宜单独采用。
7-5试结合频率特性解释下述说法：
（1）PD和PID校正容易放大高频噪声，因此应用场合若具有强噪声，应增加滤波环节。
（2）在给定输入频繁升降的场合，PID控制的微分作用会导致过大的控制量，对系统产生冲击。
将微分项放到反馈通道有助于减轻这种冲击。
（3）PI控制的积分作用可以提高系统的稳态精度，但会降低系统的相位裕度。
（1）PD和PID校正环节的高频段均以的斜率上升，因此会放大高频噪声。
（2）在频繁升降的给定输入信号中，高频分量占比较高，PID控制的微分作用将显著放大这些分量而导致过大的控制量。
由于被控对象通常具有低通滤波特性，将微分项放到反馈通道后，给定输入信号经过被控对象滤波才输入到PID控制器，相当于被控对象与被控对象串联，有利于降低高频段增益，从而具有降低控制量的作用。
（3）因PI控制可提高开环频率特性的低频段增益，提高系统型次，故可改善稳态精度；
但其会引入滞后相位，降低系统稳定裕度。
7-6试证明超前校正环节
在和的几何中心对应频率处获得最大超前角，并推导和的表达式。
当时，，而时，且有界。
令得其唯一极值点处频率满足，故在处取得最大值，为。
7-7某单位反馈系统的开环传递函数为
要求系统在单位斜坡输入信号作用下的稳态误差；
（1）若同时要求相位裕度，试判断当前系统是否满足要求；
若不满足要求，试确定合适的超前校正装置的传递函数。
（2）若要求截止频率，相位裕度，试判断单级串联超前校正装置能否满足性能要求。
习题7-7图解校正前后中低频段伯德图（部分）
①由易知应取。
令。
此时，校正前对数幅频特性以斜率穿过零分贝线，故稳定裕度较低。
按渐近性特性可求得，截止频率，相位裕度（精确值为，），不满足要求。
可考虑采用超前校正提供穿越零分贝线的斜率，如习题7-7图解所示。
②因存在极点，校正后截止频率应适当小于10，以保证一定的中频段宽度。
初选。
则根据习题7-7图解，。
③按相位裕度的要求，
故可选。
由此可构造校正环节
④计算校正后系统相位裕度知，满足要求。
根据习题7-7图解，若，由于存在极点，无法保证足够的中频段宽度，故难以通过单级超前校正保证高达40º
的相位裕度。
7-8某单位反馈控制系统的开环传递函数为，要求系统在斜坡函数输入时的稳态误差为，相角裕度。
试判断应采用何种串联校正方式改善系统性能，并给出合适的校正装置的传递函数。
习题7-8图解校正前后系统伯德图
①易求得相位裕度，不满足要求。
校正环节必须提供超前相角，根据习题7-8图解，可考虑采用串联超前校正环节。
②根据习题7-8图解易知，引入适当的超前校正环节后可使穿越零分贝线的斜率提高为。
只要保证该斜率的频段在截止频率两端均具有足够宽度，即可满足相角裕度的要求。
一种可行的方案为，易求得此时。
③检验校正方案：
计算，满足要求。
7-9试说明串联滞后校正是否能解决习题7-7系统所提出的性能要求，若可行，试给出合适的校正装置的传递函数。
习题7-9图解校正前、后系统开环对数频率特性（部分）
（1）可行，因为系统无快速性要求，且低频段斜率为。
故可考虑引入滞后校正环节使得校正后系统以斜率穿过零分贝线，同时恰当选择参数以保证该斜率的频段在截止频率两端均具有足够宽度，即可满足相角裕度的要求。
①取，按中频段具有足够宽度的要求，同时考虑到被控对象存在极点，可初选和。
（注：
由于其余转折频率与的距离均在十倍频程以上，故校正后系统相位裕度基本可根据该中频段宽度估算，，预留了足够裕度）。
②根据习题7-9图解，成立。
由此可确定校正环节为。
③检验：
，满足要求。
（2）不可行，因为滞后校正会使截止频率左移，不能同时满足平稳性和快速性的要求。
7-10某单位反馈系统的开环传递函数为
要求系统在单位斜坡输入信号作用下的稳态误差，阶跃输入下的最大超调量。
i.试判断当前系统是否满足要求；
若不满足要求，试采用频率法设计滞后校正环节。
ii.若增加要求调节时间，试采用频率法设计超前校正环节。
按典型二阶系统将时域性能指标转换为频域指标，根据图6-59知要求。
考虑一定裕度，可初选。
由易知应取；
（1）易求得校正前系统相位裕度，远未满足要求。
可考虑采用滞后校正提高穿越零分贝线的斜率（可参考习题7-9图解）。
①由于期望相位裕度较大，故应按宽中频段形式设计；
考虑到被控对象存在极点，可初选和；
如此，，预留了足够裕度。
②参考习题7-9图解，成立。
③基于Matlab搭建模型进行仿真验证，结果表明阶跃响应超调量稍微超过20％。
为此，适当左移以增大相位裕度，重选校正环节为。
重新仿真验证，可知此时超调量满足要求。
（2）考虑采用超前校正同时提高穿越零分贝线的斜率和截止频率（可参考习题7-7图解）。
①根据图6-60可初选。
取。
②比较校正前、后渐近特性可求得：
③按相位裕度的要求，，故可选。
由此可构造校正环节。
④基于Matlab搭建模型进行仿真验证，结果表明阶跃响应超调量约20％，但调节时间略大于1s。
⑤为此，重选，重复上述步骤可得。
再次仿真验证知该校正环节满足要求。
7-11本章例7-5在超前校正设计步骤⑥中需要根据根轨迹和阴影区域边缘交点计算传递系数的可调范围。
a）若其中一对交点为，试确定参数
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