学而思初二数学上册培优辅导讲义人教版.doc
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第1讲与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：
相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪几对对顶角？
一共A
B
C
D
E
F
构成哪几对邻补角？
【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：
有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.
⑶邻补角：
两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.
有6对对顶角.12对邻补角.
A
B
C
D
E
F
P
Q
R
【变式题组】
01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：
⑴∠ARC的对顶角是.邻补角是.⑵中有几对对顶角，几对邻补角？
02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；
当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；
当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.
问：
当有100条直线相交于一点时共有对顶角.
【例２】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、
∠AOC．
A
B
C
E
F
O
⑴求∠EOF的度数；
⑵写出∠BOE的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC∴∠EOC＝∠BOC，∠FOC＝∠AOC∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝∠BOC＋∠AOC＝又∵∠BOC＋∠AOC＝180°∴∠EOF＝×180°＝90°⑵∠BOE的余角是：
∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：
∠AOE.
【变式题组】
01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是（）
A．20°B． 40° C．50° D．80°
E
A
A
C
D
O
（第1题图）
1
4
3
2
（第2题图）
02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝.
A
B
O
l2
l1
【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：
⑴经过点A画直线l2的垂线.
⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.
【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.
【变式题组】
01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离为（）
A．4cmB． 5cm C．不大于4cmD．不小于6cm
02如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；
⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.
⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在的路上距离M村越来越近..在
的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.
F
B
A
O
C
D
E
【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数.
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：
∠AOF＝90°，OF⊥AB．
【变式题组】
C
D
B
A
E
O
01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE的度数.
02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD．
B
A
C
D
O
⑴求∠AOC的度数；
⑵试说明OD与AB的位置关系.
A
B
A
E
D
03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请作出∠CBE的对顶角，并求其度数.
C
F
E
B
A
D
1
4
2
3
6
5
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：
∠1和∠2：
∠1和∠3：
∠1和∠6：
∠2和∠6：
∠2和∠4：
∠3和∠5：
∠3和∠4：
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：
首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.
A
B
D
C
H
Ｇ
E
F
【变式题组】
01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有（）
A．4对B． 8对 C．12对D．16对
7
1
5
6
8
4
1
2
乙
丙
3
2
3
4
5
6
1
2
3
4
甲
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
1
A
B
C
2
3
4
5
6
7
03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）
A．∠1和∠2是同旁内角
B．∠3和∠4是内错角
C．∠5和∠6是同旁内角
D．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？
并说明理由•
A
B
C
D
O
⑴∠CBD＝∠ADB；
⑵∠BCD＋∠ADC＝180°
⑶∠ACD＝∠BAC
【解法指导】图中有即即有同旁内
角，有“”即有内错角.
【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角相等，两直线平行.
⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁内角互补，两直线平行.
⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两直线平行.
A
B
D
E
F
【变式题组】
01．如图，推理填空.
⑴∵∠A＝∠（已知）
∴AC∥ED（）
⑵∵∠C＝∠（已知）
∴AC∥ED（）
C
⑶∵∠A＝∠（已知）
∴AB∥DF（）
02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系.
解：
∵AD是∠BAC的平分线（已知）
A
B
C
D
E
F
1
2
∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）
又∵EF平分∠DEC（已知）
∴（）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴（）
∴AB∥DE（）
A
B
C
D
E
03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°，求证：
AB∥CD．
04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：
CD∥EF.
A
B
C
D
E
F
l1
l2
l3
l4
l5
l6
图⑴
l1
l2
l3
l4
l5
l6
图⑵
【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：
在所有的交角中，至少有一个角小于31°.
【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.
证明：
假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°
则12×31°＝372°＞360°
这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31°
【变式题组】
01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：
在所有的交角中至少有一个角小于11°.
02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是.
03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：
S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝.
演练巩固·反馈提高
01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）
A．α的余角只有∠BB．α的邻补角是∠DAC
C．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补A
E
B
C
F
D
A
B
C
D
F
E
M
N
α
第1题图
第2题图
A
B
D
C
第4题图
02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）
A．∠AMFB．∠BMF C．∠ENC D．∠END
03．下列语句中正确的是（）
A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B．过直线上一点的直线只有一条
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D．垂线段就是点到直线的距离
04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）
①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BD
A．0B． 2C．4D．6
05．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）
A．4cmB．5cm C．小于4cm D．不大于4cm
06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC＝.
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
第6题图
第7题图
第9题图
1
2
3
4
5
6
7
8
1
07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝.
08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1a10.（a1与a10不重合）
09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：
①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是.
10．在同一平面内两条直线的位置关系有.
A
C
D
E
B
11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？
12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？
A
B
C
D
E
F
1
2
13．如图，推理填空：
⑴∵∠A＝（已知）
∴AC∥ED（）
⑵∵∠2＝（已知）
∴AC∥ED（）
⑶∵∠A＋＝180°（已知）
∴AB∥FD．
14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．
A
B
C
D
E
F
第14题图
培优升级·奥赛检测
01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）
A．1，3B．0，1，3 C．0，2，3D．0，1，2，3
A
B
C
D
E
F
02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（）部分.
A．60B． 55 C．50 D．45
03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（）个交点.
A．35B． 40 C．45 D．55
04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点.
05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.
a
b
06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）
A．3B．1或3 C．1或2或3 D．不一定是1，2，3
07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？
08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？
A
B
C
09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么两条对角线的夹角等于（）
A．60°B． 75°C．90°D．135°
10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？
⑴任意两条直线都有交点；
⑵总共有29个交点.
第13讲平行线的性质及其应用
考点·方法·破译
1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；
2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；
3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.
经典·考题·赏析
【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠A＝38°，求∠CC
B
A
D
的度数.
【解法指导】
两条直线平行，同位角相等；
两条直线平行，内错角相等；
两条直线平行，同旁内角互补.
平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.
【解】：
∵AB∥CDBC∥AD
∴∠A＋∠B＝180°∠B＋∠C＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）
∴∠A＝∠C∵∠A＝38°∴∠C＝38°
【变式题组】
01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC的度数为（）
A．155° B．50° C．45° D．25°
（第1题图）
E
D
C
B
A
3
2
1
l1
l2
（第2题图）
E
A
B
D
α
1
2
C
F
（第3题图）
02．（安徽）如图，直线l1∥l2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）
A．50°B．55°C．60°D．65°
03．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α：
∠D：
∠B＝2:
3:
4,试求∠α、∠D、∠B的度数.
E
A
F
G
D
C
B
【例２】如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG的度数.
【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.
【解】∵AB∥CD∥EF∴∠B＝∠BCD∠F＝∠FCD（两条直线平行，内错角相等）又∵∠B＝60°∠EFC＝45°∴∠BCD＝60°∠FCD＝45°又∵GC⊥CF∴∠GCF＝90°（垂直定理）∴∠GCD＝90°－45°＝45°∴∠BCG＝60°－45°＝15°
【变式题组】
01．如图，已知AF∥BC,且AF平分∠EAB，∠B＝48°，则∠C的的度数＝_______________
B
A
M
C
D
N
P
（第3题图）
A
B
C
D
O
E
F
A
E
B
C
（第1题图）
（第2题图）
02.如图,已知∠ABC＋∠ACB＝120°，BO、CO分别∠ABC、∠ACB，DE过点O与BC平行，则∠BOC＝___________
03．如图，已知AB∥MP∥CD,MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠NMP的度数.
【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：
∠A＝∠F.
【解法指导】
因果转化，综合运用.
逆向思维：
要证明∠A＝∠F，即要证明DF∥AC．
要证明DF∥AC,即要证明∠D＋∠DBC＝180°，
即：
∠C＋∠DBC＝180°；要证明∠C＋∠DBC
＝180°即要证明DB∥EC．要证明DB∥EC即要
证明∠1＝∠3.
C
D
A
B
E
F
1
3
2
证明：
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3∴DB∥EC（同位角相等•两直线平行）∴∠DBC＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C＝∠D∴∠DBC＋∠D＝180°∴DF∥AC（同旁内角，互补两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）
G
B
3
C
A
1
D
2
E
F
（第1题图）
【变式题组】
01．如图，已知AC∥FG，∠1＝∠2，求证：
DE∥FG
A
2
C
F
3
E
D
1
B
（第2题图）
02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B．求证：
∠AED＝∠ACB
03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行
O/
α
O
θ
β
B
于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B平行
于α，则角θ等于_________.
【例４】如图，已知EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3.
3
1
A
B
G
D
C
E
求证：
AD平分∠BAC．
【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析
条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论
的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：
∠1＝∠3）
证明：
∵EG⊥BC，AD⊥BC∴∠EGC＝∠ADC＝90°
（垂直定义）∴EG∥AD（同位角相等，两条直线平行）
∵∠1＝∠3∴∠3＝∠BAD（两条直线平行，内错角相等）
∴AD平分∠BAC（角平分线定义）
【变式题组】
D
A
2
E
1
B
C
01．如图，若AE⊥BC于E，∠1＝∠2，求证：
DC⊥BC．
B
F
E
A
C
D
02．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED，CE平分∠ACB．求证：
∠EDF＝∠BDF.
3．已知如图，AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线.CM⊥CN，求：
∠BCM的度数.
A
D
M
C
N
E
B
【例５】已知，如图，AB∥EF，求证：
∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°
F
E
D
2
1
A
B
C
【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，
联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.
过点C作CD∥AB即把已知条件AB∥EF联系起来，这是关键.
【证明】：
过点C作CD∥AB∵CD∥AB∴∠1＋∠ABC＝180°
（两直线平行，同旁内角互补）又∵AB∥EF，∴CD∥EF（平行
于同一条直线的两直线平行）∴∠2＋∠CFE＝180°（两直线平行，
同旁内角互补）∴∠ABC＋∠1＋∠2＋∠CFE＝180°＋180°＝360°
即∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°
【变式题组】
01．如图，已知，AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.
结论：
⑴____________________________⑵____________________________
⑶____________________________⑷____________________________
B
A
P
C
A
C
C
D
A
A
P
C
B
D
P
B
P
D
B
D
⑴
⑵
⑶
⑷
【例６】如图，已知，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是
3
2
1
γ
4
ψ
D
α
β
E
B
C
A
F
H
∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180°
α
β
P
B
C
D
A
∠P＝α＋β
【解法指导】基本图形
善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.
【解】过点E作EH∥AB．过点F作FG∥AB．∵AB∥EH∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG∥AB∴EH∥FG（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3又∵AB∥CD∴FG∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°
【变式题组】
01．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（）
A． ∠β＝∠α＋∠γ B．∠β＋∠α＋∠γ＝180°
C． ∠α＋∠β－∠γ＝90° D．∠β＋∠γ－∠α＝90°
F
D
E
B
C
A
F
γ
D
α
β
E
B
C
A
02．如图，已知，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数.
【例７】如图，平移三角形ABC，设点A移动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/.
B
C
A
A′
l
B′
C′
【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.
⑴定：
确定平移的方向和距离.
⑵找：
找出图形的关键点.
⑶移：
过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.
⑷连:
按原图形顺次连接对应点.
【解】①连接AA/②过点B作AA/
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