15 空间中的平行与垂直Word格式文档下载.docx

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江苏）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.

求证：

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）BC1⊥AB1.

【考点1】空间线面位置关系的判断

空间线面位置关系判断的常用方法

（1）根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；

（2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．

例1　

（1）（2015·

广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

（2）平面α∥平面β的一个充分条件是（　　）

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

练1　已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：

①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；

②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；

③若α⊥β，m∥α，则m⊥β；

④若m⊥α，m∥β，则α⊥β.

A．0B．1

C．2D．3

【考点2】空间平行、垂直关系的证明

空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．

例2　如图，在几何体ABCDEF中，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD.

（1）求证：

AC⊥平面BDE；

（2）若AF∥DE，DE＝3AF，点M在线段BD上，且BM＝

BD，求证：

AM∥平面BEF.

练2　如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．

（1）AF∥平面BCE；

（2）平面BCE⊥平面CDE.

【考点3】平面图形的折叠问题

平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．

例3　如图

（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°

，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图

（2）．

DE∥平面A1CB；

（2）求证：

A1F⊥BE；

（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？

请说明理由．

练3　（2014·

广东）如图

（1），四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图

（2）折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.

（1）证明：

CF⊥平面MDF；

（2）求三棱锥M－CDE的体积．

【巩固练习】

1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是（　　）

A．m⊥n⇒m⊥βB．m⊥n⇒α⊥β

C．α∥β⇒m∥βD．m∥n⇒α∥β

2．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.

D1C⊥AC1；

（2）问在棱CD上是否存在点E，使D1E∥平面A1BD.若存在，确定点E位置；

若不存在，说明理由．

【课后作业】

山西康杰中学4月模拟）若a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的为（　　）

A．若a∥α，b∥α，则a∥b

B．若α∥a，β∥a，则α∥β

C．若a⊥α，b⊥α，则a∥b

D若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ

湖北）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：

l1，l2是异面直线，q：

l1，l2不相交，则（　　）

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

3．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°

，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的投影H必在（　　）

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

4．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：

①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；

②存在一条直线a，a⊂α，a⊥β；

③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.

其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是（　　）

A．①B．②

C．③D．①③

5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°

，∠BAD＝90°

，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

6．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若

＝

，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．

7．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点.有以下四个命题：

①PA∥平面MOB；

②MO∥平面PAC；

③OC⊥平面PAC；

④平面PAC⊥平面PBC.

其中正确的命题是________（填上所有正确命题的序号）．

8．（2015·

辽宁五校联考）四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．

9．（2015·

山东）如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

BD∥平面FGH；

（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：

平面BCD⊥平面EGH.

10．（2015·

四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；

（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；

（3）证明：

直线DF⊥平面BEG.

11．（2015·

辽宁师范大学附属中学期中）已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是（　　）

A．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α

B．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ

C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，则a⊥b

D．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ

12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．（填序号）

①AC⊥BE；

②B1E∥平面ABCD；

③三棱锥E－ABC的体积为定值；

④直线B1E⊥直线BC1.

14.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

平面ADC1B1⊥平面A1BE；

（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？

证明你的结论．