第一讲 绝对值Word格式文档下载.docx

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（2）｜ab｜=｜a｜｜b｜；

（3）｜a-b｜=｜b-a｜；

　　（4）若｜a｜=b，则a=b；

　　（5）若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；

　　（6）若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．

　　解

（1）不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．

（2）对．

　　（3）对．

　　（4）不对．当a≥0时成立．

　　（5）不对．当b＞0时成立．

　　（6）不对．当a＋b＞0时成立．

　　例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

　　解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．

　　再根据绝对值的概念，得

｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-（a+c），｜c-b｜=b-c．

　　于是有

　　原式=（a-b）-（a+c）+（b-c）=a-b-a-c+b-c=-2c．

　　例3已知x＜-3，化简：

｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．

　　分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．

　　解原式=｜3+｜2+（1+x）｜｜（因为1+x＜0）

　　　　　=｜3+｜3+x｜｜

　　　　　=｜3-（3+x）｜（因为3+x＜0）

　　　　　=｜-x｜=-x．

　　解因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．

（1）当a，b，c均大于零时，原式=3；

（2）当a，b，c均小于零时，原式=-3；

　　（3）当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；

　　（4）当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．

　　说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．

　　例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．

　　解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．

（1）当y=2时，x+y=-1；

（2）当y=-2时，x+y=-5．

　　所以x+y的值为-1或-5．

　　例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．

　　解a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是

　　　　｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①

　　或

　　　　　｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②

　　由①有a=b且c=a±

1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；

由②有c=a且a=b±

1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有

｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，

　　所以

｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．

　　解依相反数的意义有

｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．

　　因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即

　　由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得

2y=2002，y=1001，

　　例8化简：

｜3x+1｜+｜2x-1｜．

　　分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们

为三个部分（如图1－2所示），即

　　这样我们就可以分类讨论化简了．

　　　　　　原式=-（3x+1）-（2x-1）=5x；

　　　　　　原式=（3x+1）-（2x-1）=x+2；

　　　　　原式=（3x+1）+（2x-1）=5x．

　　即

　　说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．

　　例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．

　　分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．

　　解有三个分界点：

-3，1，-1．

（1）当x≤-3时，

y=-（2x+6）-（x-1）+4（x+1）=x-1，

由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．

（2）当-3≤x≤-1时，

y=（2x+6）-（x-1）+4（x+1）=5x+11，

由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．

　　（3）当-1≤x≤1时，

y=（2x+6）-（x-1）-4（x+1）=-3x+3，

由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．

　　（4）当x≥1时，

y=（2x+6）+（x-1）-4（x+1）=-x+1，

由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．

　　综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．

　　例10设a＜b＜c＜d，求

｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜

　　的最小值．

　　分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．

　　解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．

　　因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：

　　所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即（d-a）+（c-b）．

　　例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．

　　分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有

｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．

　　故x应满足的条件是

　　此时

原式=2x+（4-5x）-（1-3x）+4

=7．

练习二

　　1．x是什么实数时，下列等式成立：

（1）｜（x-2）+（x-4）｜=｜x-2｜+｜x-4｜；

（2）｜（7x+6）（3x-5）｜=（7x+6）（3x-5）．

　　2．化简下列各式：

（2）｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．

　　3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．

　　4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．

　　5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？

　　6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．

　　7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为（）．

（1）在A，C点的右边；

（2）在A，C点的左边；

　　（3）在A，C点之间；

　　（4）以上三种情况都有可能．

第二讲绝对值

　　绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．

解

（1）不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．

（2）对．

　　于是有原式=（a-b）-（a+c）+（b-c）=a-b-a-c+b-c=-2c．

　　　　　=｜3+｜3+x｜｜

　　或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②

　　所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．

｜x-y+3｜＝｜x+y-1999｜．

　　由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002，y=1001，

　　所以

　原式=-（3x+1）-（2x-1）=5x；

　原式=（3x+1）-（2x-1）=x+2；

原式=（3x+1）+（2x-1）=5x．

（1）当x≤-3时，y=-（2x+6）-（x-1）+4（x+1）=x-1，

（2）当-3≤x≤-1时，y=（2x+6）-（x-1）+4（x+1）=5x+11，

　　（3）当-1≤x≤1时，y=（2x+6）-（x-1）-4（x+1）=-3x+3，

　　（4）当x≥1时，y=（2x+6）+（x-1）-4（x+1）=-x+1，

例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．

　　分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．

　　此时原式=2x+（4-5x）-（1-3x）+4=7．