DSP课程设计说明书基于MATLAB的语音信号分析及滤波文档格式.docx

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在某种最小化误差准则下，建立差分方程系数ak、bk对理想特性的逼近方程，使用迭代方法解方程组得到最佳逼近

系统。

由于此方法计算量大，需要借助于计算机进行设计。

在此主要介绍由模拟滤波器转换为数字滤波器的设计方法。

2.2.1IIR模拟低通滤波器的设计

为了从模拟滤波器设计IIR数字滤波器，必须先设计一个满足技术指标的模拟原型滤波器。

设计“模拟原型”滤波器有多种方法，如模拟低通逼近有巴特沃斯（Butterworth）型，切比雪夫（Chebyshev）型或椭圆（Elliptic）型。

低通滤波器是最基本的，至于高通、带通、带阻等滤波器可以用频率变换的方法由低通滤波器变换得到。

模拟滤波器设计就是将一组规定的设计要求，转化为相应的模拟系统函数

Ha（s），使其逼近某个理想滤波器的特性。

这里主要介绍巴特沃斯

（Butterworth）低通滤波器的设计原理。

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为：

|H（jl）|2=

1+C2l2N

（2-1）

其中C为一常数参数，N为滤波器阶数，l为归一化低通截止频率,

l=W/Wp。

式中N为整数，是滤波器的阶次。

巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性，这就是说，N阶低通滤波器在W=0处幅度平方函数的前2N-1阶导数等于零，在阻带内的逼近是单调变化的。

巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图2-1所示。

H（jW）2

0.707

N=2

N=4

N=10

Wp W

图2-1巴特沃斯低通滤波器的振幅特性

滤波器的特性完全由其阶数N决定。

当N增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然由（2-1）式决定了在W=Wp处的幅度函数总是衰减3dB，但是它们将在通带的更大范围内接近于1，在阻带内更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。

滤波器的振幅特性对参数N的依赖关系如图2-1所示。

设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为l，归一化传递函数为H（p），

其中p=

jl，则由（2-1）式得：

H（jl）2

l=p

= 1

1+C2（-1）Np2N

由于

Ha（s）Ha

（-s）=A2（W）

W=-js

1+（

sjWc

）2N

（2-2）

所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。

1.常用设计巴特沃斯低通滤波器指标

lp：

通带截止频率；

ap：

通带衰减，单位：

dB；

ls：

阻带起始频率；

as：

阻带衰减，单位：

dB。

H（jW）

图2-2巴特沃斯低通滤波器指标

说明：

（1）衰减在这里以分贝（dB）为单位；

即

a=10lg

=10lgé

1+C2l2Nù

（2）当a=3dB时Wp=WC为通常意义上的截止频率。

（3）在滤波器设计中常选用归一化的频率l=W/WC，即

l=Wp=1, l=Ws

p W s W

p p

2.巴特沃斯低通滤波器设计实质

根据设计指标要求lp，ap，ls，as确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度

平方函数中的待定系数C及滤波器的阶数N；

然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H（s）。

（1）将实际频率W归一化得l=Wp

=1，l=Ws，再根据已知的a

a |H（jl）|2= 1

s p，

s，幅度平方函数

（2）求C和N

1+C2l2N

确定C和N。

由a（l）=10lg 1

=10lg（1+C2l2N）并带入l，a，l，a得

10lg（1+C2l2N）=a

p s s

10lg（1+C2l2N）=a

s s

C2l2N

=10

10-1

因为lp=1，所以

C2l2N=

as10-1

C2=1010-1

as as

由l2N=1010-1=1010-1两边取对数得：

s C2

1010-1

N=lga

lgls

其中a=

这样可以求出C和N。

注意：

当a=3dB时，C2=1010-1=100.3-1=1，即C=1，此时巴特沃斯滤波器只剩下一个参数N。

（3）确定巴特沃斯滤波器的传递函数H（p）。

H（p）H（-p）=G（jl）2

l=p=

（p）2N

= 1

1+（-1）Np2N

由1+（-1）Np2N=0，解得极点为：

p=ej2k+N-1p,

k=1,2,L,2N

将p左半平面的极点赋予H（p）即

H（p）=1

其中pk

=ej2k+N-1p,

（p-p1）（p-p2）L（p-pN）

k=1,2,L,N

为了便于设计，工程上已将当lp=1时，各阶巴特沃斯低通滤波器系统函数设计成表格供查阅，该表如表2-1所示。

在表2-1中的函数被称为归一化巴特沃斯原型低通滤波器系统函数。

阶次

归一化系统函数

s+1

s2+ 2s+1

s3+2s2+2s+1

s4+2.6s3+3.4s2+2.6s+1

s5+3.2361s4+5.2361s3+5.2361s2+3.2361s+1

表2-1归一化巴特沃斯模拟低通滤波器系统函数表

（4）去掉归一化影响上面设计中采用归一化的频率即lp=1，而实际中截止频率为Wp，所以要进行如下的变量代换：

p=jl=jW=s

Wp Wp

即 H（s）=H（p）

p=s

综上，归纳出设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下：

（1）计算归一化频率l=Wp=1，l=Ws。

p s

（2）根据设计要求按照C2=1010-1和N=

lga

其中a= 计算

巴特沃斯滤波器的参数C和阶次N；

注意当ap=3dB时C=1。

（3）利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数H（p）；

（4）令H（p）中的p=s得到截止频率为W

的巴特沃斯低通滤波器的系

统函数。

2.2.2IIR数字低通滤波器的设计（双线性变换法）

从模拟滤波器设计IIR数字滤波器就是要由模拟滤波器的系统函数Ha（s）进一步求得H（z）。

归根结底是一个由s平面到z平面的变换。

这个变换应遵循两个基本的目标。

（1）H（z）的频响必须要模仿Ha（s）的频响，也即s平面的虚轴jΩ应该映射到z平面的单位圆上。

（2）Ha（s）的因果稳定性，通过映射后仍应在所得到的H（z）中保持，也即

s平面的左半平面应该映射到z平面单位圆以内。

从模拟滤波器映射（变换）成数字滤波器常用的是脉冲响应不变变换法和双线性变换法两种。

其中脉冲响应不变法设计数字滤波器的优点是器频率坐标的转换是线性的，在不存在频率混叠的情况下，能够完全逼近模拟滤波器的频率

特性。

但是当模拟滤波器的传输函数H（ejw）超出±

p时，映射后必然存在频谱

混叠的现象，这是脉冲响应不变法不足的地方，所以一般只用来设计低通、带通滤波器。

对于高通、带通滤波器，由于它们在高频部分不衰减，当一定要追求频率响应线性而采用脉冲响应不变法时，必须先对模拟高通、带阻滤波器加一保护滤波器，从而加大了设计成不，一般不采用这种方法。

脉冲响应不变法设计滤波器时，从模拟预到数字域的转换是“多对一”的关系，而双线性变换法是“一对一”的关系，从而避免了频率混叠现象，因此本课程设计中采用双线性变换法设计滤波器，下面主要介绍双线性变换法的原理。

1.变换原理

双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。

为了克服脉冲响应不变法的多值映射这一缺点，我们首先把整个s平面压缩变换到某一中介的s1平面的一横带里（宽度为2p/T，即从

-p/T到p/T），然后再通过上面讨论过的标准变换关系z=esT将此横带变换到

整个z平面上去，这样就使s平面与z平面是一一对应的关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，基本原理如图2-3所示。

-p

图2-3双线性变换法的映射关系

将s平面整个平面压缩到s1平面的-p/T到p/T，可采用以下的变换关系

W=Ctgæ

W1Tö

（2-3）

2÷

其中C为常数；

这样W=±

经（2-3）式变为W1=±

p/T，W=0变为

2 2

ejW1T-e-jW1T

W1=0，可将上式写成jW=C

ejW1T+e-jW1T

令jW=s, jW1=s1，则可得

s1T -s1T -

e2-e2 1-es1T

s=C

sT sT=C -sT

（2-4）

1 1

e +e

1+e1

再将s1平面通过以下标准变化关系映射到z平面

z=es1T

（2-5）

这样（2-4）式可表示为

2.变换常数C的选择

1-z-1s=C1+z-1

z=C+s

C-s

（2-6）

（2-7）

为了使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较确切的对应关系，即在低频处有W»

W1，当W1较小时有

tgæ

W1T

2÷

由（2-3）式可知

W»

CW1T

1 2

因而得

C=2

（2-8）

则（2-6）和（2-7）式可重新写成：

21-z-1s=T1+z-1

2+s

（2-9）

10）

3.逼近情况

z=T

2-sT

（2-

双线性变换具备模拟域到数字域映射变换的总要求，现分析如下：

（1）将s=d+jW代入到（2-9）式则得

2+d+jWz=T 2-d-jW

或

2 ö

+d÷

+W2

z=è

T ø

-d÷

+W2

（2-11）

由上式可见，当d<

0时，z<

1；

当d=0时，z=1；

当d>

0时，z>

1。

这就是说双线性变换把s左半平面映射在单位圆z=1的内部；

把s平面的整个

jW轴映射成单位圆z=1，把s右半平面映射在单位圆的外部。

（2）令s=

所以

jW，z=ejw，则由（2-9）式得

2+jWejw=T

2-jW

w=2arctgæ

WTö

由此得出模拟滤波器的频率W和数字滤波器频率w的关系式为

W=2tgæ

wö



（2-12）

T è

这一公式的关系如图2-4所示。

可以看出，当W=0时，w=0，当

W=+¥

时，w=p,当W=-¥

时，w=-p。

这就是说：

s平面的原点映射为z平面（1，0）点，而s平面的正虚轴和负虚轴分别映射成z平面单位圆的上半圆和下半圆。

W=2tg（w）

T 2

图2-4双线性变换的频率间非线性关系

由上所述，可得如下结论：

a.模拟滤波器H（s）中最大和最小值将保留在数字滤波器H（ejw）中，因此模拟滤波器的通带或阻带变换成数字滤波器的通带或阻带。

b.如果模拟滤波器是稳定的，则通过双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

c.由于s平面的整个虚轴映射为z平面上的单位圆，因此双线性变换法确实消除了脉冲响应不变变换法所存在的混叠误差，所以逼近是良好的。

但由（2-

13）式可见，在频率W与w间存在严重的非线性。

4.模拟滤波器的数字化

由于双线性变换法中，s与z之间有简单的代数关系，故可由模拟系统函数通过代数置换直接得到数字滤波器的系统函数。

21-z-1

H（z）=Ha（s）

21-z-1s=T1+z-1

=Ha（

T1+z

-1）

（2-14）

可见数字滤波器的极点数等于模拟滤波器的极点数。

频率响应也可用直接置换得到

H（ejw）=H

（jW）

2æ

=Hæ

（2-15）

a W=

tgç

aç

jTtgç

2÷

Tè

2ø

这一公式可用于将滤波器的数字域指标，转换为模拟域指标。

再者，可在未进行双线性变换前把原模拟系统函数分解成并联或级联子系

统函数，然后再对每个子系统函数分别加以双线性变换。

就是说，所有的分解，都可以就模拟滤波器系统函数来进行，因为模拟滤波器已有大量图表可供利用，且分解模拟系统函数比较容易。

5.优缺点

双线性变换法的主要优点是消除了脉冲响应不变变换法所固有的混叠误差。

这是由于s平面的整个jW轴单值地对应于z平面单位圆一周的缘故。

双线性变换法的缺点是频率W与w间的非线性。

2.2.3高通、带通及带阻滤波器的设计

在实际所使用的数字滤波器中除了低通型外，还有高通型、带通型以及带阻型等。

模拟高通型、带通性，以及带阻型滤波器的设计方法是先将要设计的滤波器的技术指标通过频率的转换变成模拟低通滤波器的技术指标，再根据这些性能指标设计出低通型滤波器的传递函数，最后依据频率转换关系的到所需要的滤波器的传递函数。

2.3FIR滤波器的设计原理

IIR滤波器的最大缺点是不容易实现线性相位，而在语音、图像、数据通信等系统普遍要求数字滤波器具有线性相位特性，FIR滤波器正是因为具有线性

相位特性而获得广泛的应用。

另外，H（z）永远稳定，这也是FIR滤波器的另一

个突出优点。

2.3.1FIR滤波器的线性相位条件和幅度特性

第一类线性相位条件是h（n）为实序列，且关于n=（N-1）/2偶对称，即

h（n）=h（N-n-1）

第二类线性相位条件是h（n）为实序列，且关于n=（N-1）/2奇对称，即

h（n）=-h（N-n-1）

具有线性相位FIR滤波器幅度特性H（w）的特点，由于h（n）的长度N取奇数或偶数对幅度特性H（w）有影响，因而可分为4种情况进行讨论，从而获得对

FIR滤波器额原则。

（1）h（n）为偶对称（满足第一类线性相位条件），且N为奇数类型时可实现所有滤波器的特性，即可实现低通、高通、带通和帯阻滤波器。

（2）h（n）为偶对称（满足第一类线性相位条件），且N为偶数类型时不可用来实现设计高通、带通滤波器。

（3）h（n）为奇对称（满足第二类线性相位条件），且N为奇数类型时不可用来实现低通、高通和帯阻滤波器，只能实现带通滤波器。

（4）h（n）为奇对称（满足第二类线性相位条件），且N为偶数类型时不可

用来实现低通滤波器。

2.3.2FIR滤波器的设计（窗函数法）

如前所述，FIR滤波器的设计方法与IIR滤波器的设计方法有很大的不同。

FIR滤波器的设计目标是选择有限长度的h（n），使其传输函数H（ejw）满足技术要求。

设计FIR常用的方法有窗函数法和频率采样法等，这里主要讨论窗函数法。

对于希望得到理想的的滤波器特性Hd（ejw），如理想低通滤波器，其传输函数Hd（ejw）应为

e-jwa

Hd（ejw）=í

|w|£

wc<

|w|<

单位采样响应hd（n）可由Hd（ejw）的傅里叶反变换求得

d ò

h（n）=1pH（ejw）ejwndw

2p-p

求出的hd（n）是无限长并且是非因果的，这在实际中无法实现，窗函数法所需要完成的工作就是找到一个有限长的因果h（n）来逼近hd（n）。

其思路是利用一

个有限长的窗函数w（n）对无限长的理想滤波器单位采样响应hd（n）截取，即通过

关系式

h（n）=hd（n）w（n）

得到了有限长的采样序列h（n）。

（2-16）

对式（2-16）两边进行傅里叶变换，得到理想滤波器与近似数字滤波器在频域的对应关系为

H（ejw）=

1Hd（ejw）*W（ejw）2p

（2-17）

w（n）就称为窗函数。

实现窗函数的具体步骤如下：

理想低通滤波器的传递函数Hd（ejw）为

对应的单位采样响应hd（n）为

hd（n）=1ò

wcHd（ejw）ejwndw1ò

wce-jwnejwndw=sin（wc（n-a））

2p-wc

p（n-a）

上式反映出理想低通滤波器的单位取样响应hd（n）是无限长且是非因果的，一种获得有限长因果采样响应的方法是用矩形窗进行简单地截短，所获得的

h（n）为

h（n）=ì

hd（n）0£

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