华东师范大学出社九年级上册数学知识点总结Word文件下载.docx
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及乘法公式仍然适用．
（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次
根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
第22章一元二次方程
1.一元二次方程：
1）一元二次方程：
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程．
2）一元二次方程的一般形式：
ax2bxc0（a0）．
它的特征：
等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式
右边是零．
ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；
bx叫做一次项，b叫做一
次项系数；
c叫做常数项．
2.一元二次方程的解法：
1）直接开平方法：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程
的解的方法．
直接开平方法适用于解形如（xa）2b的一元二次方程．根据平
方根的定义可知，xa是b的平方根，当b0时，xab，
xab，当b<
0时，方程没有实数根．
2）配方法：
配方法的理论根据是完全平方公式a22abb2（ab）2，
把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有
222
x22bxb2（xb）2．
配方法的步骤：
先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系
数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完
全平方公式．
3）公式法：
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．
一元二次方程ax2bxc0（a0）的求根公式：
bb24ac2
x（b4ac0）
2a
4）因式分解法：
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程
分解因式法的步骤：
把方程右边化为0，然后看看是否能用提取
公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相
乘，如果可以，就可以化为乘积的形式．
3.一元二次方程根的判别式：
一元二次方程ax2bxc0（a0）中，b24ac叫做一元二次方程
ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用“”来表示，即b24ac
1）当△>
0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
2）当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；
3）当△<
0时，一元二次方程没有实数根
4.韦达定理：
如果方程ax2bxc0（a0）的两个实数根是x1，x2，那么x1x2b，
a
x1x2c也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根
之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；
两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商
5.一元二次方程的二次函数的关系：
其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程
也是二次函数的一个特殊情况，就是当y=0的时候就构成了一元
二次方程了那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方
程就是二次函数中，图象与X轴的交点，也就是该方程的解了
第23章图形的相似
1比例线段的有关概念
在比例式ac（a:
bc:
d）中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b、d叫后
bd
项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项
2比例性质
②更比性质（交换比例的内项或外项）：
3黄金分割
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>
BC），
如果ACBC，即AC2=AB×
BC，那么称线段AB被点C黄金分割，
ABAC
点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比其
AC
AB≈AB2
平行线分线段成比例定理
①定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成
l1∥l2∥l3则BACBDEFE
ABDEBC
，
ACDFAC
EF
DF
②推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边
的延长线）所得的对应线段成比例
③定理：
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）
对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
相似三角形的判定
①两角对应相等，两个三角形相似；
②两边对应成比例且夹角相等，
两三角形相似；
③三边对应成比例，两三角形相似
相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；
②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等
于相似比；
③相似三角形周长的比等于相似比；
面积的比等于相似比的平方
六种相似基本模型：
DE∥BC
B∠AED
B∠ACD
X型
AC∥BD射影定理
B∠C
AD是Rt△ABC斜边上的高
由，得，即；
由，得，即．
9．中位线
1）三角形的中位线：
连结三角形两边中点的线段．
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心
与一边中点的线段的长是对应中线长的1．
3
2）梯形的中位线：
连结梯形两腰中点的线段．
梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半．
10．位似
1如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经
过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似
中心，这时的相似比又称为位似比．
2位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
第24章解直角三角形
考点一、直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角互余．
可表示如下：
∠C=90°
∠A+∠B=90°
2.在直角三角形中，30°
角所对的直角边等于斜边的一半．
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4.勾股定理
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c2．
5.摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例
中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项．
6.常用关系式
由三角形面积公式可得：
AB?
CD=AC?
BC
考点二、直角三角形的判定
2.锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数．
3.各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系：
sinA=cos（90°
—A），cosA=sin（90°
—A）
tanA=cot（90—°
A），cotA=tan（90—°
A）
（2）平方关系：
sin2Acos2A1
（3）倒数关系：
tanA?
cotA=1
（4）弦切关系：
tanA=sinA；
cotA=cosA
cosAsinA
4.锐角三角函数的增减性：
当角度在0°
~90°
之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
5.一些特殊角的三角函数值
三角函
数
0°
30
°
45
60
90°
sinα
1
cosα
tanα
不存
在
cotα
考点四、解直角三角形
1.解直角三角形的概念：
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐
角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程
叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中，∠C=90°
，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，
c
（1）三边之间的关系：
a2b2c2（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：
∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
第25章随机事件的概率
1.概率
（1）表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概
率．
P（所关注的事件）=所关注的结果/所有等可能的结果．
2.概率的预测
（1）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果．
（2）要清楚所有机会的结果．
（1）、
（2）两个结果个数之比就是关注的结果发生的概率．
方法：
画树状图、列表法．
事件的分类
1、确定事件
必然发生的事件：
当A是必然发生的事件时，P（A）=1
不可能发生的事件：
当A是不可能发生的事件时，P（A）=0
2、随机事件：
当A是可能发生的事件时，０<
P（A）<
１
概率的意义
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率n会稳定
m
在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
概率的表示方法
一般地，事件用英文大写字母A，B，C，⋯，表示事件A的概率
p，可记为P（A）=P
概率的求解方法
１．利用频率估算法：
大量重复试验中，事件A发生的频率n会
稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（有些
时候用计算出Ａ发生的所有频率的平均值作为其概率）．
２．狭义定义法：
如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它
们发生的可能性都相等，考察事件A包含其中的m中结果，那么事件
A发生的概率为P（A）=m
n
３．列表法：
当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目
较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．其中
一个因素作为行标，另一个因素作为列标．
特别注意放回去与不放回去的列表法的不同．如：
一只箱子中有
三张卡片，上面分别是数字１、２、３，第一抽出一张后再放回去再
抽第二次，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？
若
不放回去，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？
放回去P（１和２）=2不放回去P（１和２）
9
2=
6
４．树状图法：
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表
法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状
图法求概率．
注意：
求概率的一个重要技巧：
求某一事件的概率较难时，可先求
其余事件的概率或考虑其反面的概率再用１减——即正难则反易．
概率的实际意义
对随机事件发生的可能性的大小即计算其概率．一方面要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是要看各事件发生概率．另一方面通过对概率的学习让我们更加理智的对待一些买彩票抽奖活动．
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