微分方程数值解实验报告Word格式.docx
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第三章椭圆型方程的五点差分格式的基本思想与原理10
3.1椭圆型方程的五点差分格式的基本思路10
3.2用matlab编写源程序10
3.3椭圆型方程的五点差分格式的应用举例及结果12
第四章总结12
参考文献12
第一章常微分方程数值解法的基本思想与原理
1.1常微分方程数值解法的基本思路
常微分方程数值解法（numericalmethodsforordinarydifferentialequations）计算数学的一个分支.是解常微分方程各类定解问题的数值方法.现有的解析方法只能用于求解一些特殊类型的定解问题，实用上许多很有价值的常微分方程的解不能用初等函数来表示，常常需要求其数值解.所谓数值解，是指在求解区间内一系列离散点处给出真解的近似值.这就促成了数值方法的产生与发展.
1.2用matlab编写源程序
龙格库塔法：
M文件:
functiondx=Lorenz（t,x）
%r=28,sigma=10,b=8/3
dx=[-10*（x
（1）-x
（2））;
-x
（1）*x（3）+28*x
（1）-x
（2）;
x
（1）*x
（2）-8*x（3）/3];
运行程序：
x0=[1,1,1];
[t,y]=ode45（'
Lorenz'
[0,100],x0）;
subplot（2,1,1）%两行一列的图第一个
plot（t,y（:
3））
xlabel（'
time'
）;
ylabel（'
z'
%画z-t图像
subplot（2,2,3）
%两行两列的图第三个
plot（y（:
1）,y（:
2））
x'
y'
%画x-y图像
subplot（2,2,4）
plot3（y（:
2）,y（:
3））
zlabel（'
%画xyz图像
欧拉法：
h=0.010;
a=16;
b=4;
c=49.52;
x=5;
y=10;
z=10;
Y=[];
fori=1:
800
x1=x+h*a*（y-x）;
y1=y+h*（c*x-x*z-y）;
z1=z+h*（x*y-b*z）;
x=x1;
y=y1;
z=z1;
Y（i,:
）=[xyz];
end
plot3（Y（:
1）,Y（:
2）,Y（:
3））;
1.3常微分方程数值解法的应用举例及结果
应用举例：
a=10,b=8/3,0<
r<
+∞,当1<
24.74时，Lorenz方程有两个稳定的不动点c（
，
，r-1）和
（-
，-
，r-1），一个稳定的不动点0=（0，0，0），当r>
24.74时，c和
都变成不稳定的，此时存在混沌和奇怪吸引子。
运行结果：
第二章常系数扩散方程的经典差分格式的基本思想与原理
2.1常系数扩散方程的经典差分格式的基本思路
用有限差分法解常系数扩散方程
有加权隐式差分格式
其中
，当
时为Crank-Nicolson格式，当
时为向后差分格式，当
时为向前差分格式。
加权隐式格式稳定的条件是
，无限制，
当
。
加权隐式格式是两层隐式格式，用第n层计算第n+1层节点值的时候，要解线性方程组。
2.2用matlab编写源程序
M文件：
functionM=chase（a,b,c,f）
%追赶法求解三对角矩阵方程，Ax=f
%a是对角线下边一行的元素
%b是对角线元素
%c是对角线上边一行的元素
%M是求得的结果，以列向量形式保存
n=length（b）;
beta=ones（1,n-1）;
y=ones（1,n）;
M=ones（n,1）;
fori=（n-1）:
（-1）:
1
a（i+1）=a（i）;
%将a矩阵和n对应
beta
（1）=c
（1）/b
（1）;
fori=2:
（n-1）
beta（i）=c（i）/（b（i）-a（i）*beta（i-1））;
y
（1）=f
（1）/b
（1）;
n
y（i）=（f（i）-a（i）*y（i-1））/（b（i）-a（i）*beta（i-1））;
M（n）=y（n）;
M（i）=y（i）-beta（i）*M（i+1）;
end
functionoutput=diffuse_equation（a0,t_max,h,tao,D,a1,b1,c1,a2,b2,c2）
%一维扩散方程的有限差分法，采用隐式六点差分格式（Crank-Nicolson）
%a0:
x的最大值
%t:
_max:
t的最大值
%h:
空间步长
%tao:
时间步长
%D：
扩散系数
%a1,b1,c1是（x=0）边界条件的系数；
a2,b2,c2是（x=a0）边界条件的系数
x=0:
h:
a0;
n=length（x）;
t=0:
tao:
t_max;
k=length（t）;
P=tao*D/h^2;
P1=1/P+1;
P2=1/P-1;
u=zeros（k,n）;
%初始条件
u（1,:
）=exp（x）;
%求A矩阵的对角元素d
d=zeros（1,n）;
d（1,1）=b1*P1+h*a1;
d（2:
（n-1）,1）=2*P1;
d（n,1）=b2*P1+h*a2;
%求A矩阵的对角元素下面一行元素e
e=-ones（1,n-1）;
e（1,n-1）=-b2;
%求A矩阵的对角元素上面一行元素f
f=-ones（1,n-1）;
f（1,1）=-b1;
R=zeros（k,n）;
%求R
%追赶法求解
k
R（i,1）=（b1*P2-h*a1）*u（i-1,1）+b1*u（i-1,2）+2*h*c1;
forj=2:
n-1
R（i,j）=u（i-1,j-1）+2*P2*u（i-1,j）+u（i-1,j+1）;
end
R（i,n）=b2*u（i-1,n-1）+（b2*P2-h*a2）*u（i-1,n）+2*h*c2;
M=chase（e,d,f,R（i,:
））;
u（i,:
）=M'
;
plot（x,u（i,:
axis（[0a00t_max]）;
pause（0.1）
output=u
%绘图比较解析解和有限差分解
[X,T]=meshgrid（x,t）;
Z=exp（-pi.*pi.*T）.*sin（pi.*X）;
surf（X,T,Z）,xlabel（'
）,ylabel（'
t'
）,zlabel（'
u'
）,title（'
解析解'
%colormap（gray
（1））;
%使图向变为黑色
figure
surf（X,T,u）,xlabel（'
有限差分解'
%一维扩散方程的有限差分法
clear,clc;
%定义初始常量
a1=1;
b1=1;
c1=0;
a2=1;
b2=-1;
c2=0;
a0=1.0;
t_max=8;
D=0.1;
h=0.1;
tao=0.1;
%调用扩散方程子函数求解
u=diffuse_equation（a0,t_max,h,tao,D,a1,b1,c1,a2,b2,c2）;
2.3常系数扩散方程的经典差分格式的应用举例及结果
考虑常系数扩散方程的初边值问题
，取
为时间步长，
为网格比，对不同的时间步长
，计算当
时初边值问题的解u（0.4,0.4）,并且与精确解比较，分析比较结果。
第三章椭圆型方程的五点差分格式的基本思想与原理
3.1椭圆型方程的五点差分格式的基本思路
对Laplace方程的第一边值问题
利用taylor展开可得逼近它的五点差分格式的差分逼近
分别为
轴和
轴步长，边界条件可以由
离散可得，当
时有
注意五点格式计算节点是由边界的已知节点，计算内部节点，计算时需要联立大型方程组，该方程组可以用迭代法求解。
3.2用matlab编写源程序
function[peuxyk]=wudianchafenfa（h,m,n,kmax,ep）
%g-s迭代法解五点差分法问题%kmax为最大迭代次数
%m,n为x,y方向的网格数，例如（2-0）/0.01=200;
%e为误差，p为精确解
symstemp;
u=zeros（n+1,m+1）;
x=0+（0:
m）*h;
y=0+（0:
n）*h;
n+1
u（i,1）=sin（pi*y（i））;
u（i,m+1）=exp
（1）*exp
（1）*sin（pi*y（i））;
forj=1:
m
f（i,j）=（pi*pi-1）*exp（x（j））*sin（pi*y（i））;
t=zeros（n-1,m-1）;
fork=1:
kmax
fori=2:
n
forj=2:
temp=h*h*f（i,j）/4+（u（i,j+1）+u（i,j-1）+u（i+1,j）+u（i-1,j））/4;
t（i,j）=（temp-u（i,j））*（temp-u（i,j））;
u（i,j）=temp;
end
t（i,j）=sqrt（t（i,j））;
ifk>
kmax
break;
ifmax（max（t））<
ep
m+1
p（i,j）=exp（x（j））*sin（pi*y（i））;
e（i,j）=abs（u（i,j）-exp（x（j））*sin（pi*y（i）））;
[peuxyk]=wudianchafenfa（0.1,20,10,10000,1e-6）;
surf（x,y,u）;
xlabel（'
title（'
五点差分法解椭圆型偏微分方程'
3.3椭圆型方程的五点差分格式的应用举例及结果
给定如下Laplace方程（poisson方程的特殊情况）的定值问题
利用椭圆型方程的五点格式，计算该问题的近似解，并且画出近似解的图形
第四章总结
通过本次课程设计，在实践操作中我学会了很多，同时也认识到了自身的不足之处。
课程设计是对在课本上学到的知识的一种实际应用，由于我对课本知识掌握的不牢固，所以在实践操作中遇到了很多问题。
自课程设计中我深刻的认识到了理论知识的重要性，只要有牢固的掌握理论知识，才能在实践操作中以理论知识为基础，得心应手地处理各种问题。
参考文献
《微分方程数值解法》（第四版）李荣华，刘播高等教育出版社
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