模型解释与应用的叙述方式使枯燥乏味的数学Word格式.doc
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“老师，难道不用背自然数的定义吗？
”老师又肯定地回答：
“不用”。
接着，这女孩要求老师给她补习一下分数的加减法，直到学会了才罢休。
后来，这女孩判若二人，仿佛治好了心病似的，对数学的恐惧感消失了，不到一年，她的数学成绩从不及格直升到优生行列。
我想，这位老师对学生最重要的价值引导，就是“会做数学”比“会说数学”更重要。
从数学课堂的大量观察中，发现一种普遍的现象：
让学生说数学比做数学的机会多得多。
这是否本末倒置？
存在这种现象的主要原因，是不是我们的数学教学过于迷恋集体作业的方式了？
呈现一个问题情境后，经常看到的是老师很快就请学生起来应答，这几个学生把问题解决了，似乎就相信全班学生都会了。
这就是所谓集体作业的教学方式。
老师们之所以喜欢这种教学方式，也许是它既能活跃课堂又便于控制教学节奏和进程。
可是，苏霍姆林基斯曾经指出：
这种方式容易造成“表面的积极性”和“一切顺利”的假象。
在这样的方式下，那些中等学生和思维迟钝的学生是否也有独立思考、独立解决问题的体验，我们仍不得而知，我们有理由为他们感到不安。
为此，苏霍姆林斯基的重要建议是：
“要把学生的独立的、个别的作业做为学习数学的基础。
”①
有一节小学一年级数学课，难以忘怀。
课题是：
在学过二位数减一位数不退位减法的基础上，进一步学习二位数减一位数的退位减法。
这位老师设计了一个人人都能做数学的情境，开始了师生共同探索的历程。
课前，老师为每张课桌都准备了5张卡片，上面分别写着2、3、7、—和=等五个数字或运算符号。
上课伊始，教师就请同桌的两位小朋友分工合作：
一位用这五张卡片摆出所有可能的二位数减一位数的算式，另一位动笔记下所摆的算式，准备汇报。
孩子们都动起来了，而且兴致勃勃，热烈地讨论着，紧张地摆着、写着。
尔后，老师才根据学生的汇报和补充，在黑板是写下所有可能的六道算式：
27—3=37—2=73—2=
23—7=32—7=72—3=
老师由衷地赞赏学生的探索成果，接着又提出挑战：
我们班是不是每个同学都能独立地心算出这几道算式的结果？
请大家把这些算式都抄在自己的本子上，并写出心算的结果；
能够算出所有算式的，还要想想该怎样用口头语言表述你的算法步骤；
遇到障碍的要找出难点，力争自己克服，或者翻阅课本寻求帮助。
显然，老师在激励孩子发挥自己的学习潜能，并让有差异的孩子去意识、去发现自己的学习目标，使每个学生都有事做。
几分钟过去了，老师巡堂了解全班学生独立学习的情况后，回到讲台，拿起粉笔在黑板上醒目地写下以下两个算式：
32—7=3532—7=25
“同一个算式，在我们同学中为什么会得出这样两个不同的结果？
它们都对？
都错？
还是一个对一个错呢？
”老师把全班学生的目光吸引到黑板上，以一连串的追问激化他们的认知冲突，“今天的挑战是二位数减一位数，如果遇到个位数字不够减时该怎么算。
”老师挑明了探索的重点之后，要求小组展开讨论：
辨别上述两种计算结果的正误，对的要说出算理，错的要找出错因。
课堂顿时又活跃起来。
到了小组汇报时，孩子踊跃而自信。
老师把学生关于32—7=25的多种算法，一一展示在黑板上；
并针对32—7=35的错误，请用竖式算法计算这道题的同学说一说：
竖式算法要注意哪些问题。
老师对课题作了简要的小结后，就让学生用自己喜欢或擅长的算法进行当堂练习……
这节课始终以“做数学”为主旋律贯通始终，老师少教学生反而多学，让人感到踏实、放心。
老师不断创设有意义的问题情境或数学活动，激励学生自己去做数学，从做中学。
在做数学中，人人都必须独立思考，都能够自主探究；
在做数学中，人人都可能发现问题，产生合作交流的愿望。
在这里，“做数学”真正成为师生互动的基础和纽带，成为课堂发展的原动力。
从这里，我们还能体验到：
改变“重教轻学”、“重说轻做”的倾向，采取“先学后教”、“先做后说”的教学策略是必要的、有效的。
数学课本，让不让学生自己先学？
有位在小学、初中数学成绩蛮好的孩子，到了高中学习困难，成绩掉了，来找我指点迷津。
我发现他对数学课本十分陌生，果然数学课本他从来就没有读过。
他说：
“学数学就靠听课、笔记、做习题。
”他的问题所在就是没有学会独立学习，没有摆脱对老师的依赖。
苏霍姆林斯基说过：
学会学习首先要学会阅读，“一个阅读能力不好的学生，就是一个潜在的差生。
如果在小学里没有教会他迅速地阅读，他日后学习中就会遇到无法克服的困难。
”②
我们的小学没有解决好这个问题，初中也没有。
在一堂初中的数学课上，老师讲授了30分钟新课后，留10分钟给学生做练习。
老师看到一个学生还在看书，没做练习，就上前催他动笔。
“刚才没听懂，想把书看懂了再做。
”老师却撂下一句：
“听都听不懂，还想看懂？
那简直是奇迹。
”可见，在传统观念的禁锢下，老师还有意无意地在强化着学生对教师的依赖。
课本是学生认识世界的窗口和工具。
可是，数学老师总是有意无意地挡住这个窗口，甚至整节课也没让学生翻过书，没有意识到必须让学生主动去接触、使用这个工具。
学会学习又从何谈起？
现代心理学研究表明：
任何学习都是学习者自主建构的过程。
在这个过程中，离不开学习主体与文本之间的交互作用。
有意义的接受学习是自主建构，有意义的发现学习也是自主建构。
前者的认识机制是同化，它引起认知结构的量变；
后者的认识机制是顺应，它引起认知结构的质变。
在学习过程中，既没有绝对的接受学习，也没有绝对的发现学习，总是两者相互交替、有机结合的。
在这个过程中，建构主义强调学习者主动接触外界的信息（包括课本），并用自己已有的知识与经验去解释这些信息，从而赋予认识对象以心理意义。
因此，课本必须成为学生自己赖以学会学习的读本；
一个好的数学老师不是在教数学，而是激励学生自己去学数学。
许多老师都有这样的疑问：
课本让学生先读了，还有什么可探究的？
其实，建构与探究是学习过程中相辅相成的、内外不同的两个向度，对外部世界是探究，在精神世界则是建构。
探究性学习并不排斥对文本有意义的接受学习，相反，它很需要应用这种学习方式来扩充认知的背景，提高探究的起点。
否则，像“四边形”名称之类的知识也要学生去猜想、发现，不仅浪费时间，而且毫无意义。
在读书的过程中，要找出疑问进行质疑，对例题进行变式，还要解题、问题解决，寻找新的算法，思考知识与知识之间、书本知识与现实生活之间的联系等等，无一不是探究性、创造性的学习，也无一不是源于课本又高于课本的建构活动。
让学生先学课本，旨在把独立学习引进教学过程，同时也意味着教师必须把“教”建立在学生“学”的基础之上，不能再充当面面俱到、照本宣科的讲授者的角色。
在学生先学之后，教师能不能有针对性地创设问题情景或数学活动，引导学生在质疑、操作、实验、探索中消除“假知”，获得真知，丰富体验，求得发展？
关键还是教师自身的教育底蕴与专业素养。
例如，小学数学（人教版第六册）“长方形与正方形的面积的计算”一课，学生先学之后，虽然知道“长方形的面积=长×
宽”，但他们还难以理解：
长方形的面积与它的长、宽为什么有这样的关系？
学生由此产生问题意识和解决这个问题的心向，渴望老师指导。
有位老师就处理得很好，他让每个学生都参与到如下的活动中去：
由同桌两位同学合作，从课前准备的12个小正方形（每个都表示1平方厘米面积单位）中，任意取出几个，把它们拼成一个长方形后，记下它的面积、长、宽等一组数据。
要求每桌至少拼出5个大小或形状不同的长方形，记下相应的每一组数据；
然后集中观察这几组数据，看能否从中发现什么规律；
向小组或全班汇报、交流所得到的结论。
经历这样的数学“再创造”和交流活动，不但抽象的长方形的面积公式，已经具体地根植在儿童的经验之中，无须死记硬背，而且儿童对发现真理的归纳方法也多了几分体验。
又如，小学五年级“长方体的初步认识”一课，不能满足于学生对课本知识的直观、肤浅的把握，有必要引导学生探究一个长方体的面、棱、顶点的个数之间的内在联系，思考从长方体面的个数与形状特征出发，如何算出长方体的棱（或顶点）的个数。
寻找这个算法，既有挑战，又有意义，更是学生经过努力或小组合作能够解决的。
只有在探索事物内部规律性的活动中，学生的抽象思维能力才能得到培养和发展；
只有抽象思维能力发展了，学生才能探究更复杂的规律性，解决更复杂的实际问题。
数学的读写能力作为数学的一种基本能力，已经成为现代社会要求每个公民必须具备的基本素养；
没有这种素养，便不可能自由地分享公共媒体与网络世界的丰富资源，也不可能进行有效的交流。
让每个学生先对课本进行独立阅读、思考、作业，进而对课本进行质疑、重组、超越，必须成为数学教学不可或缺的有机组成部分。
实践证明：
这么做了，不但能满足学生想成为探索者、研究者、发现者的强烈需要，而且正如一个学生说的“自从看懂了数学书，才发现自己并不差，所以又重新鼓起了学习的希望”那样，学生发现自己的学习潜能，找回自信与自尊，开启学习的内驱力，也有了更多机会和可能。
不同的学生怎样才能学习不同的数学？
学生的差异是显著的。
一位农村初中教师曾做过一次尝试：
为了检验一个学期培养学生自主学习的实验成果，进一步了解学生的学习潜力，他布置初一寒假作业，就是要求学生在家超前自学初中代数第二册的第一章——二元一次方程组（包括完成课本中的习题）。
短短3周假期结束了，结果令他喜出望外：
所教两个班有百余人，90%左右的学生都完成了；
有50%左右的学生超额完成，自学了两章；
有10%左右的学生已经学完了整本书；
也有10%左右的学生自学还很困难，没有完成任务。
这个结果表明：
学生中蕴藏着极大的学习潜能，也存在着巨大的个体差异。
可想而知，学生对课堂教学的需要与期待也不会一样，甚至很不相同。
在一所农村中学初二的数学课堂上，我遇到十几位落伍得无可救药的，因而教师干脆对他们放弃不管的学生。
他们呆坐在教室的最后两排，显得一脸无奈和冷漠。
我问其中一位学生：
“听得懂吗？
”“书能看懂吗？
”他都摇头。
我的心情很沉重，因为对于他们的困境，我无能为力，爱莫能助。
教育是成全每一个完整的人生的，可他们却只能在课堂上虚度时光，浪费生命。
这一次经历，使我对数学课堂更关注学生中弱势群体的学习状态。
我注意到，即使在小学一年级的数学课堂里，学生参与学习的程度差异也是很明显的：
一部分学生争先恐后地应答，表现得很出众，很活跃，但更多的孩子或缺乏勇气，或不善言辞，抑或没有机会，而沦为听众或观众。
一次，我悄悄地鼓励就坐在身旁的一个小女孩举手争取发言，没想到邻座的男孩抢先说道：
“她说她一举手，心脏就跳得厉害。
”后来，这女孩终于举起了手，可惜没被老师瞧到。
我突然悟到，这女孩此刻最需要的也许不是知识，而是一次战胜胆怯、超越自己的机会。
让不同的学生学习不同的数学，首先，要为每一个学生创造平等的参与学习的机会。
我们之所以认为“先学后教”“先做后说”很重要，也是因为这些教学策略的实施，更可能为所有学生提供平等和有效的学习机会。
其次，要创造人人都有自尊，都有安全感的课堂教学氛围。
重要的是教师必须学会宽容和善待“差生”。
为师者要懂得，就在这些数学的“差生”中，很难保证不会产生出未来的牛顿、爱因斯坦、普希金、吴晗、钱钟书……在有安全感的课堂里，所有的学生才能敞开心扉，发挥潜能，显露个性和才华。
一位年轻的实验教师来信，高兴地告诉我：
他任教的班，数学成绩仍然遥遥领先；
在期末问卷调查中，有75%的学生认为数学学习是快乐的，其中还有一个数学才考30多分的学生。
我也特别为这位学生感到高兴和庆幸，因为保护了一颗健康、好学、进取的心灵比什么都重要。
我们深感忧虑的，是基础教育学业失败现象的严峻性。
美国教育家布鲁姆早就尖锐地揭露过，造成学业失败现象的深层原因，就在于以成绩的正态曲线为工具，对学生反复进行分等的教学制度本身。
在这种分等的制度下，总有大约三分之一的学生因年复一年屡遭学业的挫折、失败，而厌学、逃学或辍学；
他们不但心灵被扭曲，还会被逼到社会化的边缘，导致严重的社会问题。
③这决不是危言耸听。
学校的考试如果赋有改善教学过程，实现教学目标以外的其他价值，也会成为教育的灾难。
某地为了改变教育的落后面貌，曾出台“末位下岗”的奇招：
期末统考凡合格率不达标的教师一律被亮黄牌，被亮过两次黄牌的教师就得下岗。
结果弄得人心惶惶，舞弊成风，适得其反。
其实，因单纯追求合格率而衍生出了弄虚作假现象，在前苏联早有前车之鉴，它曾是前苏联1984年规模巨大的教育改革，要克服而没有克服的问题之一。
④要实现“不同的人学习不同的数学”这一“数学为大众”的目标，必须同步进行考试改革，取消国家选拔和水平考试以外的一切统考及其评比，把考试权还给学校；
要加强平时教学过程中，对不同学生的学习情感、态度、价值观，与学习方式、策略、水平的个性化的考察与评价；
对知识、技能、能力的考试，可以设目标水平不同的几种试卷，供学生自主选择，变考试成为学生的自我挑战、主动竞取的机会。
“教学和教育的技巧和艺术就在于，要使每一个儿童的力量和可能性发挥出来，使他享受到脑力劳动中的成功的乐趣。
这就是说，在学习中，无论就脑力劳动的内容（作业的性质），还是就所需的时间来说，都应当采取个别对待的态度。
”⑤苏霍姆林斯基在数学课堂上观察到，有如下五种不同的学生：
第一种是无需任何帮助就能很容易地解答任何应用题，教师刚刚读完条件就举手要求回答的学生。
教师还要挑选一些“超纲”的习题，给这些学生的智慧以力所能及的、但并不轻松的、要求紧张地动脑的工作；
有时候，需要给学生布置这样的习题，使他不能独立地解答出来，但是教师给予的帮助是以稍加指点和提示为限。
第二种能很好地完成作业，他们是靠付出劳动和用功学习而取胜的学生。
第三种能在没有帮助的情况下完成中等难度的习题，但是对复杂的习题有时解不出来。
第四种学生对应用题的理解很慢，解答也很慢。
他们在一节课上所能完成的作业，要比第二种、第三种学生所做的少一半到三分之二，但是教师无论如何不要催促他们。
第五种学生完全没有能力应付中等难度的习题。
教师要为他们专门另选一些题目，始终只能指望他们在一节课上有所进步，哪怕一点点进步也好。
“如果教师善于把学生引进一种力所能及的、向他们预示着并且使他们得到成功的脑力劳动中去，就连那些调皮捣蛋的学生也能多么勤奋地、专心致志地学习啊！
这些学生在紧张的劳动中显示他们那积极活动的精神，他们变得跟以前完全两样了，因为他们的全部注意力都集中在如何更好地完成作业上。
”⑥凡是给人以成功的乐趣的脑力劳动，总会收到发展学生能力的结果的；
每一个学生都在尽量靠自己的努力去达到目的，不同的学生才能真正学到不同的数学。
看我们实验数学的课堂教学，正在认真实践“算法多样化”的教学思想，把算法最优化与思维的个性化结合起来。
但是，对不同的学生所需不同的学习时间，还很缺乏个别对待的共识和态度。
教师预设的教案仍像幽灵一样操纵着教学同步划一的进程，尤其是肩负着一个地区、一所学校荣辱的观摩课，更容易异化为教案剧的表演；
在平时课堂练习的时候，少见教师为不同的学生提供不同的习题，更多的是教师对每一道习题一般化的评点、反馈，把学生独立练习时间搞得支离破碎，最缺少的是教师沉下去对需要帮助的学生进行针对性的个别指导。
有位实验教师很有创意地把学习者分为四种角色，即追赶者、跟随者、奔跑者和飞翔者，请学生自己给自己定位。
开始全班都是追赶者或跟随者，一年后就诞生20位的奔跑者和飞翔者了。
在民主、开放的教育环境中，学生所焕发的潜能和展现的差异，令人吃惊。
无论潜能还是差异，我们深切地体会到，它们都是急待开发利用的教育资源；
越是班模大、人数多的班级，越需要小组合作学习。
请飞翔者或奔跑者担任小组的领头雁与援助者；
让每一个学生都有归属感，不再无助；
小组学习既拓展了课堂教学的时空，又加强了教学的个别化；
因小组的精诚合作，课堂才不会再有被冷落或遗忘的角落。
“在这种情况下，教师和学生的相互关心与相互信任相结合。
学生就不会把教师单纯地看成严厉的监督者，也不会把评分当成一种棍棒。
他可以坦率地对教师说：
某某地方我没有做好，某某地方我不会做。
他的良心是纯洁的，他不可能去抄袭别人的作业或者考试时搞夹带。
他想树立起自己的尊严。
”⑦
待到不同的学生真正能够学习不同的数学的时候，也许才能说：
数学学习的主动权才真正属于学生。
到那时候，也许不会再有令人揪心的学业失败现象，把教师弄得心情焦躁、精疲力竭；
而是更多的成就感，更深切地体验到自己在跟学生一起进步，一起发展。
注：
①苏霍姆林斯基：
《给教师的建议》教育科学出版社1980年版第300页
②苏霍姆林斯基：
《给教师的建议》教育科学出版社1980年版第304页
③布鲁姆：
《掌握学习论文集》福建教育出版社1986年版第66—67页
④吴文侃主编：
《当代国外教学论流派》 福建教育出版社1990年版第118—119页
⑤苏霍姆林斯基：
《给教师的建议》教育科学出版社1980年版第2页
⑥苏霍姆林斯基：
《给教师的建议》教育科学出版社1980年版第5页
⑦苏霍姆林斯基：
《给教师的建议》教育科学出版社1980年版第2—3页
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