第八九章 拉丁方设计裂区设计正交设计教学内容与组织安排.docx

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第八九章拉丁方设计裂区设计正交设计教学内容与组织安排

教学内容与组织安排：

第四节：

拉丁方设计（latinsquaredesign）

“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。

拉丁方设计（latinsquaredesign）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。

在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。

在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。

一、拉丁方简介

（一）拉丁方以n个拉丁字母A，B，C……，为元素，作一个n阶方阵，若这n个拉丁方字母在这n阶方阵的每一行、每一列都出现、且只出现一次，则称该n阶方阵为n×n阶拉丁方。

例如：

AB

BA

BA

AB

为2×2阶拉丁方，2×2阶拉丁方只有这两个。

ABC

BCA

CAB

为3×3阶拉丁方。

第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排列的拉丁方，叫标准型拉丁方。

3×3阶标准型拉丁方只有上面介绍的1种，4×4阶标准型拉丁方有4种，5×5阶标准型拉丁方有56种。

若变换标准型的行或列，可得到更多种的拉丁方。

在进行拉丁方设计时，可从上述多种拉丁方中随机选择一种；或选择一种标准型，随机改变其行列顺序后再使用。

（二）常用拉丁方在动物试验中，最常用的有3×3，4×4，5×5，6×6阶拉丁方。

下面列出部分标准型拉丁方，供进行拉丁方设计时选用。

其余拉丁方可查阅数理统计表及有关参考书。

3×3

4×4

（1）

（2）

（3）

（4）

A

B

C

B

C

A

C

A

B

A

B

C

D

B

A

D

C

C

D

B

A

D

C

A

B

A

B

C

D

B

C

D

A

C

D

A

B

D

A

B

C

A

B

C

D

B

D

A

C

C

A

D

B

DC

B

A

A

B

C

D

B

A

D

C

C

D

AB

D

C

BA

5×5

（1）

（2）

（3）

（4）

A

B

C

D

E

B

A

D

E

C

C

E

A

B

D

D

C

E

A

B

E

D

B

C

A

A

B

C

D

E

B

A

E

C

D

C

D

B

E

A

D

E

A

B

C

E

C

D

A

B

A

B

C

D

E

B

A

E

C

D

C

E

D

B

A

D

C

A

E

B

E

D

B

A

C

A

B

C

D

E

B

A

D

E

C

C

D

E

B

A

D

E

A

C

B

E

C

B

A

D

6×6

A

B

C

D

E

F

B

F

D

A

C

E

C

D

E

F

A

B

D

C

F

E

B

A

E

A

B

C

F

D

F

E

A

B

D

C

二、拉丁方设计方法

在畜牧、水产等动物试验中，如果要控制来自两个方面的系统误差，且试验动物的数量又较少，则常采用拉丁方设计。

下面结合具体例子说明拉丁方设计方法。

【例12.4】为了研究5种不同温度对蛋鸡产蛋量的影响，将5栋鸡舍的温度设为A、B、C、D、E，把各栋鸡舍的鸡群的产蛋期分为5期，由于各鸡群和产蛋期的不同对产蛋量有较大的影响，因此采用拉丁方设计，把鸡群和产蛋期作为单位组设置，以便控制这两个方面的系统误差。

拉丁方设计步骤如下：

（一）选择拉丁方选择拉丁方时应根据试验的处理数和横行、直列单位组数先确定采用几阶拉丁方，再选择标准型拉丁方或非标准型拉丁方。

此例因试验处理因素为温度，处理数为5；将鸡群作为直列单位组因素，直列单位组数为5；将产蛋期作为横行单位组因素，横行单位组数亦为5，即试验处理数、直列单位组数、横行单位组数均为5，则应选取5×5阶拉丁方。

本例选取前面列出的第2个5×5标准型拉丁方，即：

ABCDE

BADEC

CEBAD

DCEBA

EDACB

（二）随机排列在选定拉丁方之后，如是非标准型时，则可直接按拉丁方中的字母安排试验方案。

若是标准型拉丁方，还应按下列要求对横行、直列和试验处理的顺序进行随机排列。

3×3标准型拉丁方：

直列随机排列，再将第二和第三横行随机排列。

4×4标准型拉丁方：

随机选择4个标准型拉丁方中的一个，然后再将横行、直列及处理都随机排列。

下面对选定的5×5标准型拉丁方进行随机排列。

先从随机数字表（Ⅰ）第22行、第8列97开始，向右连续抄录3个5位数，抄录时舍去“0”、“6以上的数”和重复出现的数，抄录的3个五位数字为：

13542，41523，34521。

然后将上面选定的5×5拉丁方的直列、横行及处理按这3个五位数的顺序重新随机排列。

1、直列随机将拉丁方的各直列顺序按13542顺序重排。

2、横行随机再将直列重排后的拉丁方的各横行按41523顺序重排。

选择拉丁方

直列随机

横行随机

1

2

3

4

5

1

3

5

4

2

A

B

C

D

E

B

A

E

C

D

C

D

B

E

A

D

E

A

B

C

E

C

D

A

B

1

2

3

4

5

A

B

C

D

E

C

D

B

E

A

E

C

D

A

B

D

E

A

B

C

B

A

E

C

D

4

1

5

2

3

DAEBC

E

C

A

D

B

A

E

B

C

D

B

D

C

E

A

C

B

D

A

E

3、把5种不同温度按第三个5位数34521顺序排列即：

A=3，B=4，C=5，D=2，E=1，也就是说，在拉丁方中的A表示第3种温度，B表示第4种温度等，依次类推。

从而得出5×5拉丁方设计，如表12-8所示。

表12-85种不同温度对鸡产蛋量影响的拉丁方设计

产蛋期

鸡群

一

二

三

四

五

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

D

（2）

A（3）

E

（1）

B（4）

C（5）

E

（1）

C（5）

A（3）

D

（2）

B（4）

A（3）

E

（1）

B（4）

C（5）

D

（2）

B（4）

D

（2）

C（5）

E

（1）

A（3）

C（5）

B（4）

D

（2）

A（3）

E

（1）

注：

括号内的数字表示温度的编号

由表12-8可以看出，第一鸡群在第Ⅰ个产蛋期用第2种温度，第二鸡群在第Ⅰ个产蛋期用第1种温度，等等。

试验应严格按设计实施。

三、试验结果的统计分析

拉丁方设计试验结果的分析，是将两个单位组因素与试验因素一起，按三因素试验单独观测值的方差分析法进行，但应假定3个因素之间不存在交互作用。

将横行单位组因素记为A，直列单位组因素记为B，处理因素记为C，横行单位组数、直列单位组数与处理数记为r，对拉丁方试验结果进行方差分析的数学模型为：

（i=j=k=1，2，…，r）（12-3）

式中：

μ为总平均数；

为第i横行单位组效应；

为第j直列单位组效应，

为第k处理效应。

单位组效应

、

通常是随机的，处理效应

通常是固定的，且有

；

为随机误差，相互独立，且都服从N（0，σ2）。

注意：

k不是独立的下标，因为i、j一经确定，k亦随之确定。

平方和与自由度划分式为：

SST=SSA+SSB+SSC+SSe

dfT=dfA+dfB+dfc+dfe（12-4）

【例12.4】的试验结果如表12-9所示。

表12-95种不同温度对母鸡产蛋量影响试验结果（单位：

个）

产蛋期

鸡群

横行和xi.

一

二

三

四

五

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

D（23）

A（22）

E（20）

B（25）

C（19）

E（21）

C（20）

A（25）

D（22）

B（20）

A（24）

E（20）

B（26）

C（25）

D（24）

B（21）

D（21）

C（22）

E（21）

A（22）

C（19）

B（22）

D（23）

A（23）

E（19）

108

105

116

116

104

直列和x.j

109

108

119

107

106

x..=549

注：

括号内数字为产蛋量

表12-10各种温度（处理）的合计

温度

A

B

C

D

E

x（k）

116

23.2

114

22.8

105

21.0

113

22.6

101

20.2

现对表12-9资料进行方差分析。

1、计算各项平方和与自由度

矫正数C=x2../r2=5492/52=12056.04

总平方和SST=Σx2ij（k）-C=232+212+……+192-12056.04=12157-12056.04=100.96

横行平方和SSA=Σx2i./r-C=（1082+1052+……+1042）/5-12056.04=27.36

直列平方和SSB=Σx2.j/r-C=（1092+1082+……+1062）/5-12056.04=22.16

处理平方和SSC=Σx2（K）/r-C=（1162+1142+……+1012）/5-12056.04=33.36

误差平方和SSe=SST-SSA-SSB-SSc=100.96-33.36-27.36-22.16=18.08

总自由度dfT=r2-1=52-1=24

横行自由度dfA=r-1=5-1=4

直列自由度dfB=r-1=5-1=4

处理自由度dfC=r-1=5-1=4

误差自由度dfe=dfT-dfA-dfB-dfC=（r-1）（r-2）=（5-1）（5-2）=12

2、列出方差分析表，进行F检验

表12-11表12-9资料的方差分析表

变异来源

SS

df

MS

F

F0.05

F0.01

横行间

直列间

温度间

误差

27.36

22.16

33.36

18.08

4

4

4

12

6.84

5.54

8.34

1.50

4.56*

3.69*

5.56**

3.26

3.26

3.26

5.41

5.41

5.41

总变异

100.96

24

经F检验，产蛋期间和鸡群间差异显著,温度间差异极显著。

因在拉丁方设计中，横行、直列单位组因素是为了控制和降低试验误差而设置的非试验因素，所以即使显著一般也不对单位组间进行多重比较。

下面对不同温度平均产蛋量间作进行多重比较。

3、多重比较

列出多重比较表，见表12-12。

表12-12不同温度平均产蛋量多重比较表（q法）

温度

平均数

-20.2

-21

-22.6

-22.8

A

B

D

C

E

23.2

22.8

22.6

21.0

20.2

3.0*

2.6*

2.4*

0.8

2.2

1.8

1.6

0.6

0.2

0.4

温度平均数标准误为:

由dfe=12和k=2，3，4，5从q值表查得临界q值：

q0.05和q0.01,并与

相乘得

值，列于表12-13。

表12-13q值和LSR值表

dfe

k

q0.05

q0.01

LSR0.05

LSR0.01

12

2

3

4

5

3.08

3.77

4.20

4.51

4.32

5.04

5.50

5.84

1.69

2.07

2.31

2.48

2.38

2.77

3.03

3.21

多重比较结果表明：

温度A、B、D平均产蛋量显著地高于E，即第3、4、2种温度的平均产蛋量显著高于第1种温度的平均产蛋量，其余之间差异不显著。

第1种和第5种温度平均产蛋量最低。

四、拉丁方设计的优缺点

（一）拉丁方设计的主要优点

1、精确性高拉丁方设计在不增加试验单位的情况下，比随机单位组设计多设置了一个单位组因素，能将横行和直列两个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而试验误差比随机单位组设计小，试验的精确性比随机单位组设计高。

2、试验结果的分析简便

（二）拉丁方设计的主要缺点因为在拉丁设计中，横行单位组数、直列单位组数、试验处理数与试验处理的重复数必须相等，所以处理数受到一定限制。

若处理数少，则重复数也少，估计试验误差的自由度就小，影响检验的灵敏度；若处理数多，则重复数也多，横行、直列单位组数也多，导致试验工作量大，且同一单位组内试验动物的初始条件亦难控制一致。

因此，拉丁方设计一般用于5-8个处理的试验。

在采用4个以下处理的拉丁方设计时，为了使估计误差的自由度不少于12，可采用“复拉丁方设计”，即同一个拉丁方试验重复进行数次，并将试验数据合并分析，以增加误差项的自由度。

应当注意，在进行拉丁方试验时，某些单位组因素，如奶牛的泌乳阶段，试验因素的各处理要逐个地在不同阶段实施，如果前一阶段有残效，在后一阶段的试验中，就会产生系统误差而影响试验的准确性。

此时应根据实际情况，安排适当的试验间歇期以消除残效。

另外，还要注意，横行、直列单位组因素与试验因素间不存在交互作用，否则不能采用拉丁方设计。

第五节：

裂区设计及其统计方法

一裂区设计

裂区设计是多因素试验的一种形式。

裂区设计是先将每一区按第一因素的处理数划分为小区，称为主区（整区），在主区里随机安排主处理。

在主区内引进第二个因素的各个处理（副处理），就是主处理的小区内分设与副处理相等的更小的小区，称为副区（裂区），在副区里随机排列副处理。

在这种试验处理中，从第二个因素来讲，主区就是一个区组;从整个试验所有处理组合讲，主区又是一个不完全区组。

这种设计将主区分裂为副区，称为裂区设计。

主处理分设在主区，副处理分设于主区内的副区，副区之间比主区之间的试验空间更为接近。

在进行统计分析时，可分别估算主区与副区的试验误差，而副区的试验误差小于前者，即副区的比较比主区的比较更为精确。

裂区设计应用情况；

1在一个因素的各处理比另一个因素的各处理需要更大区域时。

需要较大区域的因素作为主处理，设在主区，需要较小区域的因素作为副处理，设在副区

2试验中某一因素的主效比另一因素的主效更为重要，而且要求的精度较高。

将要求精度较高的因素作为副处理，另一因素作为主处理。

3根据以往的研究，知道某些因素的效应比另一些因素的效应更大时也适于采用裂区设计。

将可能表现较大差异的因素作为主处理

4试验设计需要临时改动再加入一个试验因素。

可在原设计中的小区（主区）中再划分小区（副区），增加一个试验因素，就成了裂区设计。

二统计分析

A1A2A3Aa

B1B2B3…BbB1B2B3…BbB1B2B3…BbB1B2B3…Bb

A因素a个水平、B因素b个水平、r个区组共rab观测值。

变异原因

自由度

主区部分；

区组

r--1

A因素

a-1

误差A

（a-1）（r-1）

总变异

ar-1

副区部分

B因素

b-1

A*B互作

（a-1）（b-1）

误差B

A（b-1）（r-1）

总变异

Abr-1

以后各步同随机区组设计的方差分析。

略

第六节正交设计

在动物试验研究中，对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。

但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。

正交设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。

一、正交设计的概念及原理

（一）正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。

它利用从试验的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。

例如，影响某品种鸡的生产性能有3个因素：

A因素是饲料配方，分A1、A2、A33个水平；B因素是光照，分B1、B2、B33个水平；C因素是温度，分C1、C2、C33个水平。

这是一个3因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。

如果试验方案包含各因素的全部水平组合，即进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。

这是全面试验的优点。

但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、试验动物、经费等限制而难于实施。

若试验的目的主要是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。

正交设计的基本特点是：

用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。

正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。

虽然正交设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。

如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9（34）安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。

（二）正交设计的基本原理在试验安排中，每个因素在研究的范围内选几个水平，就好比在选优区内打上网格，如果网上的每个点都做试验，就是全面试验。

如上例中，3个因素的选优区可以用一个立方体表示（图12-2），3个因素各取3个水平，把立方体划分成27个格点，反映在图12-2上就是立方体内的27个“.”。

若27个网格点都试验，就是全面试验，其试验方案如表12-20所示。

表12-203因素3水平全面试验方案

C1

C2

C3

A1

B1

A1B1C1

A1B1C2

A1B1C3

B2

A1B2C1

A1B2C2

A1B2C3

B3

A1B3C1

A1B3C2

A1B3C3

A2

B1

A2B1C1

A2B1C2

A2B1C3

B2

A2B2C1

A2B2C2

A2B2C3

B3

A2B3C1

A2B3C2

A2B3C3

A3

B1

A3B1C1

A3B1C2

A3B1C3

B2

A3B2C1

A3B2C2

A3B2C3

B3

A3B3C1

A3B3C2

A3B3C3

图12-23因素3水平试验的均衡分散立体图

3因素3水平的全面试验水平组合数为33=27，4因素3水平的全面试验水平组合数为34=81，5因素3水平的全面试验水平组合数为35=243，这在动物试验中是不可能做到的。

正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。

图12-2中标有试验号的九个“⊙”，就是利用正交表L9（34）从27个试验点中挑选出来的9个试验点。

即：

（1）A1B1C1

（2）A2B1C2（3）A3B1C3

（4）A1B2C2（5）A2B2C3（6）A3B2C1

（7）A1B3C3（8）A2B3C1（9）A3B3C2

上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭配一次。

对于A、B、C3个因素来说，是在27个全面试验点中选择9个试验点，仅是全面试验的三分之一。

从图12-2中可以看到，9个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体的每个平面上，都恰是3个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。

9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反映选优区内的基本情况。

二、正交表及其特性

（一）正交表由于正交设计安排试验和分析试验结果都要用正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。

表12-21是一张正交表，记号为L8（27），其中“L”代表正交表；L右下角的数字“8”表示有8行，用这张正交表安排试验包含8个处理（水平组合）；括号内的底数“2”表示因素的水平数，括号内2的指数“7”表示有7列，用这张正交表最多可以安排7个因素。

表12-21L8（27）正交表

试验号

列号

1

2

3

4

5

6

7

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

2

2

2

3

1

2

2

1

1

2

2

4

1

2

2

2

2

1

1

5

2

1

2

1

2

1

2

6

2

1

2

2

1

2

1

7

2

2

1

1

2

2

1

8

2

2

1

2

1

1

2

常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行正交设计时选用。

2水平正交表有L4（23）、L16（215）；3水平正交表有L9（34）、L27（213）……等（详见附表14及有关参考书）。

（二）正交表的特性任何一张正交表都有如下两个特性：

1、任一列中，不同数字出现的次数相等例如L8（27）中不同数字只有1和2，它们各出现4次；L9（34）中不同数字有1、2和3，它们各出现3次。

2、任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相等例如L8（27）中（1,1）,（1,2）,（2,1）,（2,2）各出现两次；L9（34）中（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（3,3）各出现1次。

即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。

根据以上两个特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。

所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的。

由图12-2可以看出，在立方体中，任一平面内都包含3个“⊙”，任一直线上都包含1个“⊙”，因此，这些点代表性强，能够较好地反映全面试验的情