计算机控制系统5教案Word格式文档下载.docx
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jw£
jp/T，映射到
因为s=jw，则z=eTs=ejwT=1Ð
wT。
z的模z=1；
相角
j=wT=0~p。
⑵ S平面②～③段，s=s+jw
，s=0~-¥
，w=p/T。
因而，映射到Z平面上，z的模z
=e（0~-¥
）T
=1~0，z的相
角j=wT
=p。
该段对应于Z平面上的②～③段，实际上
它是与负实轴重合（沿着负实轴由-1变到0），但为了表示清楚，将②～③段同负实轴分开画出。
⑶ S平面③～④段，s=s+
jw，s=-¥
，
w=+p/T
~-p/T。
因而，映射到Z平面上，z的模
jw
jpS平面
T
s
-jp
⑤
④
①
-¥
②
③
Im
Z平面
1
-1 ③
④0
Re
图5.1S平面与Z平面之间的关系
z=e-¥
=0，z的相角j=wT
=p~-p。
③点、④点重合，
但相角改变了p。
⑷ S平面④～⑤段，s=s+jw，s=-¥
~0，w=-p/T。
因而，映射到Z平面上，z的模z=e（-¥
~0）T=0~1，z的相角
-5-
j=wT=-p。
该段对应于Z平面上的④～⑤段。
⑸ S平面⑤～①段，s 沿负虚轴变化，s=s+jw，s=0，w=-p/T~0。
因而，映射到Z平面上，z的模z=e0T=1，z的相角j=wT=-p~0。
对应于Z平面上的
⑤～①段，半径为1的下半圆。
⑹若s的实部s>
0,则z的模z=esT>
1。
以上的分析表明：
S平面左半面映射到Z平面单位圆内部；
S平面右半平面映射到Z平面单位圆外部；
S平面虚轴映射到Z平面单位圆上。
由此我们可以得出离散系统的稳定条件。
离散系统的稳定条件
如果离散系统脉冲传递函数的根，即特征方程的根都位于Z平面单位圆内部，则系统稳定；
如果有一个根位于单位圆外部，则系统不稳定；
如果有根位于单位圆上，则系统临界稳定。
图5.2中阴影部分即为两平面的稳定区。
S平面左半平面
o<
0
S平面
Im
w=-¥
~+¥
-1
Z平面单位圆内
z<
1
Ð
z=-¥
图5.2S平面与Z平面的稳定区
5.1.3计算机控制系统的稳定性
现在进一步论证关于离散系统中脉冲传递函数在Z平面中的稳定区问题。
设图5.3为某离散系统（或环节）的
R（z）
C（z）
G（z）
5.3离散控制系统
方框图，脉冲传递函数为
bzm+bzm-1+L+b
G（z）=0 1 m
zn+azn-1+L+a
1 n
（5.4）
式中m£
n，设m=n，式（5.4）的分母写成因式相乘的形式
-7-
G（z）=b
+b'
zn-1+b'
2
zn-2+L+b'
n
0 zn+azn-1+L+a
=b+
b'
（z-p1）（z-p2）L（z-pn）
设输入
（5.5）
r（k）为单位脉冲函数
d（k）=ì
1,
í
î
0,
k=0
，
k¹
Z[r（k）]=Z[d（k）]=1,
即R（z）=1，因此
C（z）=G（z）R（z）=G（z）
（5.6）
C（z）=b0+
d1
z-p1
+d2
z-p2
+L+
dn
z-pn
式中p1,p2,L,pn是脉冲传递函数的极点。
系统脉冲响应为
c（k）=Z-1[C（z）]=Z-1é
b+ d1
+L+
dn ù
（5.7
ê
0 z-p z-p z-pú
ë
1 2 nû
）
上式中第一项的Z反变换为b0d（k）,
k=0。
其余各项为
（5.8）
di =
z-pi
dz-1
i
1-piz
i=1,2,L,n
式（5.8）的Z反变换为
-é
dz-1
ù
= ³
ú
ii
Z1 i
1-pz-1
dpk-1,k 1
（5.9）所以
ë
i û
ì
b0d（k）,
c（k）=í
k=0
（5.10）
î
dipik-1,
k³
系统脉冲响应分析：
c（k）的第一项b0d（k）只是在
k=0时存在，b0是系统脉冲响应的初值。
极点
p1,p2,L,pn所对应脉冲响应为dipik-1,
di为常数，
i=1,2,L,n。
pi可能是实数（可能是正实数，也可能是
负实数）；
也可能是复数。
1若p1,p2,L,pn为实数
随着k的变化，对于不同的pi，其脉冲响应也随之不同，
参看图5.4。
①pi>
1时，系统对应的输出分量是发散序列。
图5.4
中极点p1
>
1，其输出为pk-1，是发散序列；
-8-
②pi=1时，对应的输出分量是等幅不衰减序列，如图
5.4中p2=1点；
pk-1
6
p1
k-1
×
p×
p
×
5
4
p p
3
2 1
pk-1
图5.4离散系统实数极点相应的脉冲响应
③0<
pi<
1时，对应的输出分量pik-1是单调衰减序列，
如图5.4中pk-1；
i i
④-1<
p<
0时，对应的输出分量pk-1是交替变号的衰减序列，如图5.4pk-1；
⑤p=-1时，对应的输出分量pk-1是交替变号的等幅序列，如图5.4pk-1；
⑥p<
-1时，对应的输出分量pk-1是交替变号发散序列，如图5.4pk-1。
2若p1,p2,L,pn极点中含有共轭复数对
若p1,p2,L,pn极点中含有共轭复数对时，则复数对极点所对应的系统脉冲响应为振荡序列。
令共轭极点对为
-26-
pi1,2
=ai±
jbi，一般我们将共轭极点对所对应的部分分式
写成如下形式
C（z）=
ciz+di =
A + B
i （z-a）2+b2
z-a
-jb z-a+jb
（5.11）
i i i i
式中，Ci（z）的两个极点为
zi1
=ai+
jbi
=Rejqi,
zi2
=ai-
=Re-jqi
（5.12）
Ci（z）所对应的脉冲响应为下列组合
c（k）=A（Rejqi）k-1+B（Re-jqi）k-1
，k=1,2,L
i i i
上式中A,B的值可以由式（5.11）计算出。
而k的值由1开始算起，是由于式（5.11）的分式中，分母z的阶数比分子z的阶数大于1，k=0时，ci（0）=0。
经化简、合并计算，得出
c（k）=ì
0,
rRk-1sin[（k-1）q+j],
k³
ii i i
（5.13）
c2+ç
ii i÷
æ
ac+dö
è
b
i ø
式中，r=
，R= a2+b2，
-1æ
bici ö
i i i
biö
ji=tg
ç
ac+d
÷
，qi
=tg
a÷
ii iø
è
iø
由式（5.13）中表达式rRk-1sin[（k-1）q+j]中可以看出，
i i i i
式（5.11）共轭极点对所对应的脉冲响应为振荡形式，其
a2+b2
幅值发散或收敛决定于Ri= 的值：
如果Ri
>
1，则幅值发散；
<
1，则幅值收敛；
若Ri
=1，则等幅振荡。
qi的值确定ci（k）的振荡频率；
ji的值确定ci（k）的初相位。
根据式（5.13）绘制出Z平面上六种不同位置的复数
极点所对应的脉冲响应，如图5.5所示。
由图5.5可以看出：
①pi
1时，系统输出是发散振荡，如极点对
（p1
,p-
1）,（p6
）所对应的脉冲响应；
②pi
<
1时，系统输出是衰减振荡，如极点对
3 3 4 4
（p,p-）,（p,p-）所对应的脉冲响应；
③pi
=1时，系统输出是等幅振荡，如极点对
（p2,p-2）,（p5,p-5）所对应的脉冲响应。
综上所述，可以看出线性离散系统的闭环极点的分布影响系统的过渡特性。
当极点分布在Z平面的单位圆上或单位圆外时，对应的输出分量是等幅的或发散的序列，系统不稳定。
当极点分布在Z平面的单位圆内时，对应的输出分量是衰减序列，而且极点越接近Z平面的原点，输出衰减越快,系统的动态响应越快。
反之，极点越接近单位圆周，输出衰减越慢，系统过渡时间越长。
另外，当极点分布在单位圆内左半平面时，虽然输出分量是衰减的，但过渡特性不好。
6×
2 ×
p6×
p4
p3
p2
图5.5离散系统共轭极点对所对应的脉冲响应
因此，设计线性离散系统时，应该尽量选择极点在Z平面
上右半圆内。
由以上分析可知，计算机控制系统闭环极点不论实极点还是复极点（均在单位圆内）愈靠近Z平面原点（其模愈小），其暂态响应分量衰减就愈快。
反之愈靠近单位圆，其暂态响应分量衰减愈缓慢。
由此可以推想，对于有两个以上极点的高阶控制系统，如果系统有一对极点靠近单位圆，而其余极点和零点均靠近原点，那么这样的系统暂态
响应就主要由这对靠近单位圆的极点的暂态响应分量所支配，其它极点的暂态响应分量因衰减相对很快，可忽略不计，通常称这对最靠近单位圆的极点为主导极点。
这样的高阶系统就可以近似为二阶系统，它的暂态响应特性可由它的主导极点在Z平面的位置大致估计出来。
5.2计算机控制系统稳定性分析
由以上分析可知，离散系统稳定性判别归结为判断系统特征方程的根，亦即系统的极点是否全部分布于Z平面单位圆内部，或单位圆外部是否有系统的极点。
直接求解系统特征方程的根，虽然可以判别系统稳定性，但三阶以上的特征方程求解很麻烦。
为此，人们通常都用间接的方法来判别系统的稳定性。
下面给出几种间接判别离散系统稳定性的代数判据。
5.2.1通过双线性变换进行稳定性分析
w变换（又称双线性变换）。
w变换定义如下：
1+Twz=2
1-Tw
（5.14）
式中，T为采样周期。
解出w为
（5.15）
w=2
z-1
z+1
在Z平面上，单位圆为z=ejwT，代入上式（5.15），则有
2z-1
Tz+1
2ejwT-1
w= jwT=
z=e T
=2ejwT/2-e-jwT/2
ejwT+1
= 2
wTö
（5.16）
TejwT/2
+e-jwT/2
j tgç
÷
2ø
利用三角恒等式，上式也可以表示为
w=j2
sinwT
（5.17）
T1+coswT
因而，由上式可以看出，Z平面的单位圆变成w平面上的虚轴，见图5.6。
z
1+Tw
1- w
Im
W平面
0 Re
图5.6Z平面与W平面的映射关系
w平面上的稳定区就是左半平面。
双线性变换就是通过式（5.14）将Z平面上离散系统的特征方程变换到w平面上，再判定特征方程的根是否位于w平面左半平面部分来确定系统是否稳定。
劳斯（Routh）稳定性判据
我们假设读者熟悉劳斯判据，应用步骤简单地总结如
下：
⑴若已知特征方程
F（w）=b
wn+b
wn-1+L+bw+b
=0（5.18
则劳斯阵列为
n
wn
wn-1
n-1
bnb
bn-2b
1 0
bn-4 L
b L
wn-2
M
w1w0
c1d1j1k1
n-3
c2d2
n-5
c3d3
⑵ 阵列的前两行是由特征方程的系数得到的，其余行
计算如下：
c=bn-1bn-2-bnbn-3
bn-1
d=c1bn-3-bn-1c2
c1
c=bn-1bn-4-bnbn-5
d=c1bn-5-bn-1c3
c =bn-1bn-6-bnbn-7 M
⑶一旦阵列求出，劳斯判据为：
对于特征方程来说，具有正实部根的个数等于阵列中第一列系数符号改变的次数。
现在通过两个例子，说明劳斯判据的应用。
例5.1研究图5.7所示系统的稳定性。
T=0.1sec,开环传递函数为
R（s）+
G（s）
C*（s）
E（s） E*（s）
1-e-Ts
- T s
k
s（s+1）
C（s）
5.7单位反馈离散系统
=é
1-esTù
é
1
[]=
G（s） ê
s
ú
s（s+1）ú
k
kG1（s） 。
û
解由Z变换表，我们可以得出
z-1é
（e-T+T-1）z2+（1-e-T-Te-T）zù
G1（z）=Z
[G1（s）]= ê
（z-1）2（z-e-T） ú
=0.00484z+0.00468（z-1）（z-0.905）
采用双线性变换
G1（w）=G1（z）
z=1+（T/2）w1-（T/2）w
=G1（z）
z=1+0.05w1-0.05w
即
特征方程为
G1（w）=
-0.00016w2-0.1872w+3.813.81w2+3.80w
1+kG1（w）=0
即 （3.81-0.00016k）w2+（3.80-0.1872k）w+3.81k=0
由上面的特征方程，列出劳斯阵列
w2 3.81-0.00016kw1 3.80-0.1872kw0 3.81k
3.81k
阵列的第一列中，系数全部大于零（即无符号改变）时
① 3.81-0.00016k
0，得出
k<
23812.5
② 3.80-0.1872k>
，得出
20.3
③ 3.81k
k>
由此可知，0<
20.3系统稳定。
例5.2我们仍研究图5.7所示系统，此时，采样周期
T=1sec。
解系统特征方程为
1+kG1（w）=1+kG1（z）
z=1+0.5w
1-0.5w
kæ
0.368×
1+0.5w+0.264ö
=1+
ø
1+0.5wö
1-0.5w ÷
ç
-1.368ç
+0.368
1-0.5wø
1+kG1（w）=1+
-0.038kw2-0.386kw+0.924kw2+0.924w
特征方程劳斯阵列
=（1-0.038k）w2+（0.924-0.386k）w+0.924k
w2+0.924w
（1-0.038k）w2+（0.924-0.386k）w+0.924k=0
w2 1-0.038k
w1 0.924-0.386kw0 0.924k
0.924k
考查阵列的第一列，系数全大于零（即无符号改变）时，可以得出
①1-0.038k>
0 得出
26.32
② 0.924-0.386k>
0 得出 k<
2.39
③ 0.924k>
得出 k>
所以0<
k<
3.39时系统稳定。
由上面的分析可知，对于同一系统来说，采样周期T
由0.1sec加大到1sec时，系统稳定时，其放大系数减小。
值得提出的是，有些教科书中，双线性变换的定义采用z=1+w，其分析方法同上。
1-w
5.2.2朱里（Jury）稳定性准则
朱里稳定性准则给出了系统特征根（极点）位于单位圆内（∣z∣<
1）的充分、必要条件。
现在来讨论朱里稳定性准则。
设离散系统的特征方程
为
（5.19）
F（z）=an
zn+a
n-1
zn-1+L+az+a=0
式中an>
如果an<
0，则用（-1）乘F（z），使an变为正值。
根据式（5.19）方程的系数，列出朱里阵列
─────────────────────────────────────
─
z0 z1
z2 L
zn-k L
zn-1 zn
a
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