小学二年级奥数下册第十一讲 找规律法习题+答案教学提纲.docx

小学二年级奥数下册第十一讲 找规律法习题+答案教学提纲.docx

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小学二年级奥数下册第十一讲找规律法习题+答案教学提纲

第十一讲找规律法

　　观察、搜集已知事实，从中发现具有规律性的线索，用以探索未知事件的奥秘，是人类智力活动的主要内容.

　　数学上有很多材料可用以来模拟这种活动、培养学生这方面的能力.

　　例1观察数列的前面几项，找出规律，写出该数列的第100项来？

　　12345，23451，34512，45123，…

　　解：

为了寻找规律，再多写出几项出来，并给以编号：

　　仔细观察，可发现该数列的第6项同第1项，第7项同第2项，第8项同第3项，…也就是说该数列各项的出现具有周期性，他们是循环出现的，一个循环节包含5项.

　　100÷5=20.

　　可见第100项与第5项、第10项一样（项数都能被5整除），即第100项是51234.

　　例2把写上1到100这100个号码的牌子，像下面那样依次分发给四个人，你知道第73号牌子会落到谁的手里？

　　解：

仔细观察，你会发现：

　　分给小明的牌子号码是1，5，9，13，…，号码除以4余1；

　　分给小英的牌子号码是2，6，10，14，…，号码除以4余2；

　　分给小方的牌子号码是3，7，11，…，号码除以4余3；

　　分给小军的牌子号码是4，8，12，…，号码除以4余0（整除）.

　　因此，试用4除73看看余几？

　　73÷4=18…余1

　　可见73号牌会落到小明的手里.

　　这就是运用了如下的规律：

　　用这种规律预测第几号牌子发给谁，是很容易的，请同学们自己再试一试.

　　例3四个小动物换位，开始小鼠、小猴、小兔和小猫分别坐在1、2、3、4号位子上（如下图所示）.第一次它们上下两排换位，第二次左右换位，第三次又上下交换，第四次左右交换.这样一直交换下去，问十次换位后，小兔坐在第几号座位上？

　　解：

为了能找出变化规律，再接着写出几次换位情况，见下图.

　　盯住小兔的位置进行观察：

　　第一次换位后，它到了第1号位；

　　第二次换位后，它到了第2号位；

　　第三次换位后，它到了第4号位；

　　第四次换位后，它到了第3号位；

　　第五次换位后，它又到了第1号位；

　　…

　　可以发现，每经过四次换位后，小兔又回到了原来的位置，利用这个规律以及10÷4=2…余2，可知：

　　第十次换位后，小兔的座位同第二次换位后的位置一样，即在第二号位.

　　如果再仔细地把换位图连续起来研究研究，可以发现，随着一次次地交换，

　　小兔的座位按顺时针旋转，

　　小鼠的座位按逆时针旋转，

　　小猴的座位按顺时针旋转，

　　小猫的座位按逆时针旋转，

　　按这个规律也可以预测任何小动物在交换几次后的座位.

　　例4从1开始，每隔两个数写出一个数，得到一列数，求这列数的第100个数是多少？

　　1，4，7，10，13，…

　　解：

不难看出，这是一个等差数列，它的后一项都比相邻的前一项大3，即公差=3，还可以发现：

　　第2项等于第1项加1个公差即

　　4=1+1×3.

　　第3项等于第1项加2个公差即

　　7=1+2×3.

　　第4项等于第1项加3个公差即

　　10=1+3×3.

　　第5项等于第1项加4个公差即

　　13=1+4×3.

　　…

　　可见第n项等于第1项加（n-1）个公差，即

　　按这个规律，可求出：

　　第100项=1+（100-1）×3=1+99×3=298.

　　例5画图游戏先画第一代，一个△，再画第二代，在△下面画出两条线段，在一条线段的末端又画一个△，在另一条的末端画一个○；画第三代，在第二代的△下面又画出两条线段，一条末端画△，另一条末端画○；而在第二代的○的下面画一条线，线的末端再画一个△；…一直照此画下去（见下图），问第十次的△和○共有多少个？

　　解：

按着画图规则继续画出几代，以便于观察，以期从中找出图形的生成规律，见下图.

　　数一数，各代的图形（包括△和○）的个数列成下表：

　　可以发现各代图形个数组成一个数列，这个数列的生成规律是，从第三项起每一项都是前面两项之和.按此规律接着把数列写下去，可得出第十代的△和○共有89个（见下表）：

　　这就是著名的裴波那契数列.裴波那契是意大利的数学家，他生活在距今大约七百多年以前的时代.

　　例6如下图所示，5个大小不等的中心有孔的圆盘，按大的在下、小的在上的次序套在木桩上构成了一座圆盘塔.现在要把这座圆盘塔移到另一个木桩上.规定移动时要遵守一个条件，每搬一次只许拿一个圆盘而且任何时候大圆盘都不能压住小圆盘.假如还有第三个木桩可作临时存放圆盘之用.问把这5个圆盘全部移到另一个木桩上至少需要搬动多少次？

（下图所示）

　　解：

先从最简单情形试起.

仅有一个圆盘时，显然只需搬动一次（见下页图）.

　　②当有两个圆盘时，只需搬动3次（见下图）.

　　③当有三个圆盘时，需要搬动7次（见下页图）.

　　总结，找规律：

　　①当仅有一个圆盘时，只需搬1次.

　　②当有两个圆盘，上面的小圆盘先要搬到临时桩上，等大圆盘搬到中间桩后，小圆盘还得再搬回来到大圆盘上.所以小的要搬两次，下面的大盘要搬1次.这样搬到两个圆盘需3次.

　　③当有三个圆盘时，必须先要把上面的两个小的圆盘搬到临时桩上，见上图中的

（1）～（3）.由前面可知，这需要搬动3次.然后把最下层的最大圆盘搬一次到中间桩上，见图（4），之后再把上面的两个搬到中间桩上，这又需搬3次，见图中（5）～（7）.

　　所以共搬动2×3+1=7次.

　　④推论，当有4个圆盘时，就需要先把上面的3个圆盘搬到临时桩上，需要7次，然后把下面的大圆盘搬到中间桩上（1次），之后再把临时桩上的3个圆盘搬到中间桩上，这又需要7次，所以共需搬动2×7+1=15次.

　　⑤可见当有5个圆盘时，要把它按规定搬到中间桩上去共需要：

　　2×15+1=31次.

　　这样也可以写出一个一般的公式（叫递推公式）

　　对于有更多圆盘的情况可由这个公式算出来.

　　进一步进行考察，并联想到另一个数列：

　　若把n个圆盘搬动的次数写成an，把两个表对照后，

　　可得出

　　有了这个公式后直接把圆盘数代入计算就行了，不必再像前一个公式那样进行递推了.

习题十一

　　1.先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续往下写出一些算式：

　　①1×9+2=②9×9+7=

　　12×9+3=98×9+6=

　　123×9+4=987×9+5=

　　1234×9+5＝9876×9+4=

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　　2.先计算下面的奇妙算式，找出规律，再继续写出一些算式：

　　19+9×9=

　　118+98×9=

　　1117+987×9=

　　11116+9876×9=

　　111115+98765×9=

　　…

　　3.先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续写出一些算式：

　　1×1=

　　11×11=

　　111×111=

　　1111×1111=

　　11111×11111=

　　…

　　4.有一列数是2、9、8、2、…，从第三个数起，每一个数都是它前面的两个数相乘积的个位数字（比如第三个数8就是2×9=18的个位数字）.问这一列数的第100个数是几？

　　5.如果全体自然数按下表进行排列，那么数1000应在哪个字母下面？

　　6.如果自然数如下图所示排成四列，问101在哪个字母下面？

　　7.3×3的末位数字是9，3×3×3的末位数是7，3×3×3×3的末位数字是1.求35个3相乘的结果的末位数字是几？

习题十一解答

　　1.①1×9+2=11

　　12×9+3=111

　　123×9+4=1111

　　1234×9+5=11111

　　12345×9+6=111111

　　123456×9+7=1111111

　　1234567×9+8=11111111

　　12345678×9+9=111111111.

　　②9×9+7=88

　　98×9+6=888

　　987×9+5=8888

　　9876×9+4=88888

　　98765×9+3=888888

　　987654×9+2=8888888

　　9876543×9+1=88888888.

　　2.19+9×9=100

　　118+98×9=1000

　　1117+987×9=10000

　　11116+9876×9=100000

　　111115+98765×9=1000000

　　1111114+987654×9=10000000

　　11111113+9876543×9=100000000

　　111111112+98765432×9=1000000000

　　1111111111+987654321×9=10000000000.

　　3.

　　1×1=1

　　11×11=121

　　111×111=12321

　　1111×1111=1234321

　　11111×11111=123454321

　　111111×111111=12345654321

　　1111111×1111111=1234567654321

　　11111111×11111111=123456787654321

　　111111111×111111111=12345678987654321

　　4.解：

按数列的生成规律再多写出一些数来，再仔细观察，找出规律：

　　2、9、8、2、6、2、2、4、8、2、6、2、2、4、8、2、6、2、2、4、…

　　可见，除最前面的两个数2和9以外，8、2、6、2、2、4这六个数依次重复出现.因此，可利用这个规律，按下面的方法找出第100个数出来：

　　100-2=98，

　　98÷6=16…2.

　　即第100个数与这六个数的第2个数相同，即第100个数是2.

　　5.解：

不难发现，每个字母下面的数除以7的余数都是相同的.如第1列的三个数1、8和15，除以7时的余数都是1；第2列的三个数2、9和16，除以7时的余数都是2；第3列的三个数3、10和17，除以7的余数都是3；….利用这个规律，可求出第1000个自然数在哪个字母下面：

　　1000÷7＝142…6

　　所以1000在字母F的下面.

　　6.解：

可以这样找出排列的规律性：

全体自然数依次循环排列在A、B、C、D、D、C、B、A八个字母的下面，即

　　依上题解题方法：

　　101÷8=12…5.

　　可知101与5均排在同一字母下面，即在D的下面.

　　7.解：

从简单情况做起，列表找规律：

　　仔细观察可发现，乘积的末位数字的出现有周期性的规律：

看相乘的3的个数除以4的余数，

　　余1时，积的末位数字是3，

　　余2时，积的末位数字是9，

　　余3时，积的末位数字是7，

　　整除时，积的末位数字是1，

　　35÷4=8…3

　　所以这个积的末位数字是7.